آزمون مربع کای

فرض کنید یک شهر 1،000،000 نفری با چهار محله: A ، B ، C ، و D. وجود دارد. یک نمونه تصادفی از 650 نفر از ساکنان شهر انتخاب شده و شغل آنها شامل کارگر یقه‌سفید ، کارگر یقه‌آبی یا کارگر یقه‌صورتی بودند. فرضیه صفر این است که محل زندگی هر شخص مستقل از طبقه بندی شغلی فرداست. جدول مشاهداتی به صورت ذیل آورده شده است:

	A	B	C	D	جمع
یقه سفید	90	60	104	95	349
یقه آبی	30	50	51	20	151
یقه صورتی	30	40	45	35	150
جمع	150	150	200	150	650

حال براساس محله A، 150، تخمین بزنید که چه نسبتی از کل 1،000،000 در محله زندگی می کنند A به همین ترتیب 349/ 650 را برآورد کنید که نسبت آن بر 1،000،000 نفر یقه سفید نشان می دهد. با فرض مستقل بودن، طبق این فرضیه باید "انتظار داشته باشیم" تعداد کارگران یقه سفید در محله A به‌صورت زیر باشد باشد.

${\displaystyle 150\times {\frac {349}{650}}\approx 80.54}$ 

سپس در آن "سلول" جدول، خواهیم داشت:

${\displaystyle {\frac {\left({\text{observed}}-{\text{expected}}\right)^{2}}{\text{expected}}}={\frac {\left(90-80.54\right)^{2}}{80.54}}\approx 1.11}$ 

مجموع این مقادیر در کل سلول ها ، آماره کای 2 است. در این حالت حدود ${\displaystyle \approx 24.6}$  است. در فرضیه صفر ، این مجموع تقریباً دارای یک توزیع کای 2 است که تعداد درجات آزادی آن برابر است با

${\displaystyle ({\text{number of rows}}-1)({\text{number of columns}}-1)=(3-1)(4-1)=6}$ 

اگر آماره آزمون با توجه به آن توزیع مجذور کای 2 مورد انتظار زیاد باشد ، فرضیه صفر مستقل رد می شود.

یک مسئله مرتبط، آزمون هم توزیعی است. فرض کنید به جای اینکه به هر ساکن از هر چهار محله فرصت برابری برای درج در نمونه بدهیم ، از قبل تصمیم بگیریم که تعداد ساکنان هر محله تعیین شود. پس از آن هر ساکن همان شانس انتخاب را دارد که همه ساکنان یک محله یکسان هستند ، اما اگر چهار اندازه نمونه متناسب با جمعیت چهار محله نباشد ، ساکنان محله های مختلف احتمال انتخاب آنها متفاوت است. در چنین شرایطی ، ما "هم توزیعی" را آزمایش می کنیم تا "مستقل بودن". سؤال این است که آیا نسبت کارگران یقه آبی ، یقه سفید و یقه صورتی در چهار محله یکسان است؟ با این حال ، آزمایش به همان روش انجام می شود.

• آزمون‌های آماری