Tentsore

• 0 ordenako tentsorea: Eskalar bat da, zenbaki bat, hain zuzen ere (adibidez, tenperatura, energia). Adibidea:

${\displaystyle T=5^{\circ }C}$ 

• 1 ordenako tentsorea: Bektore bat da, magnitudea eta norabidea dituen objektu matematikoa da (adibidez, azelerazioa, indarra). Halako tentsoreek ${\displaystyle T^{i}}$  osagaiak dituzte, non ${\displaystyle i}$  indizeak osagai bakoitza izendatzen duen. Adibidea:

${\displaystyle A=(A^{1},A^{2},A^{3})=(0,1,0)m/s^{2}}$ 

• 2 ordenako tentsorea: Matrize baten bidez adierazten da, aplikazio linealak (${\displaystyle {T^{i}}_{j}}$ ) edo forma bilinealak (${\displaystyle T_{ij}}$ ) edo orokorrean bektoreen arteko erlazioak deskribatzen ditu (adibidez, solido batean tentsioak edo inertzia tentsorea). Halako tentsoreek  ${\displaystyle T^{ij}}$  osagaiak dituzte, non, oro har (konbentzioz), lehenego indizea ("${\displaystyle i}$ ") matrize baten errenkadak eta bigarrenak ("${\displaystyle j}$ ") zutabeak diren. Bi norabideen arteko erlazioak kodetzen ditu. Adibidea:

${\displaystyle {\bar {\bar {I}}}=I^{ij}={\begin{pmatrix}I^{xx}&I^{xy}&I^{xz}\\I^{yx}&I^{yy}&I^{yz}\\I^{zx}&I^{zy}&I^{zz}\\\end{pmatrix}}m^{2}kg}$ 

kontuan hartu orokorrean ${\displaystyle i}$  eta ${\displaystyle j}$  zenbaki oso bezala uler ditzakegun arren, batzuetan, fisikan norabideen izenak ere har ditzaketela, ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$  eta ${\displaystyle z}$  kasu.

• Ordena handiagoko tentsorea: Orokorrean, ordenak elementu guztiak "aurkitzeko" behar diren indize kopurua adierazten du. Hiru ordenako tentsoreak matrize multzo bat litzateke, kubo bat hain zuzen ere, osagai bat aurkitzeko hiru indize beharko dituena. 4 ordenakoa "tetrakuboa" litzateke, kubo multzoa, hain zuzen ere, eta abar. Adibidea: ${\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta \gamma \rho }}$  Riemannen kurbadura-tentsorea.

   

Orokorrean bi indize mota ditugu: goi- eta azpi-indizeak. Horrelako zenbat dauzkagun ordenean ere zehaztu ohi da. Ordena (n,l) duen tentsore batek ${\displaystyle T^{\mu _{1}'\mu _{2}'\ldots \mu _{n}'}{}_{\nu _{1}'\nu _{2}'\ldots \nu _{l}'}}$  osagaiak ditu, hots, n goi-indize (kontrabariante) eta l azpi-indize (kobariante). Indizeen kokalekua garrantzitsua da, tentsoreak kordenatu aldaketetan eraldatze-arau ezberdina baitu indizearen kokalekuaren arabera. Hortaz, orokorrean osagai bat izendatzeko ezin da besterik gabe azpi-indize bat edo goi indize bat idatzi, ezta azpi-indize bat goi-indize bihurtu ere edota alderantiz, horik esanahia baitute.

Tentsoreen idazkeran Einstein-en batura hitzarmena erabili ohi da. Hitzarmen honen arabera, gai bateko indize bat errepikatuta agertzen denean, indize horrek har ditzakeen balio guztietarako gai horren batuketa egin behar dela esan nahi du.

Adibidez,${\displaystyle A_{i}B^{i}}$  adierazpenean, ${\displaystyle i}$  balio posible guztien batura egin behar dela ulertzen da. Adibidez, ${\displaystyle i}$  indizeak 1,2,3 balioak izan baditzazke ${\displaystyle i\in \{1,2,3\}}$ , orduan:

${\displaystyle A_{i}B^{i}=\sum _{i=1}^{3}A_{i}B^{i}=A_{1}B^{1}+A_{2}B^{2}+A_{3}B^{3}.}$ 

Oharra: Batzen diren indizeak zein batzen ez direnak dituzten adierazpenetan, adibidez, ${\displaystyle T^{ij}S_{j}}$ , batzen diren indizeei "mutuak/fiktizioak" deritze eta batzen ez direnei "askeak". Hala, mutuei izena alda dakieke ${\displaystyle \left(a_{i}b^{i}=a_{j}b^{j}\right)}$  , ez ordea, askeei ${\displaystyle a^{i}\neq {a^{j}}}$ .

Lehenik eta behin, ohartu indize idazkeran idatzitako oro ez dela tentsorea (Adibidez, aurretik aipatutako Levi-Civita ikurra ez da tensorea, ezta Christoffel-en ikurrak ere.). Matrize guztiak ez dira tentsoreak, osagaiek ez baituzte kordenatu- aldaketa arauak betetzen. Atal honetan ohikoak diren matrize edo bektoreen eragiketen laburpen bat egingo da indize idazkeran.

Matrize idazkeran biderketa eskalarra honela idatziko litzateke:

${\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\begin{pmatrix}A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}=A_{1}B^{1}+A_{2}B^{2}+A_{3}B^{3},}$ 

eta indize idazkeran idatzi dugula ikusi dugu, ${\displaystyle A_{i}B^{i}}$  moduan alegia,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}=A_{i}B^{i}.}$ 

Orokorrean, biderkaketa eskalarra, metrika baten bitartez ere uler dezakegu.

${\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {A}}\mathbb {I} {\vec {B}}={\begin{pmatrix}A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}\underbrace {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}} _{\mathbb {I} }{\begin{pmatrix}B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}=A_{1}B^{1}+A_{2}B^{2}+A_{3}B^{3},}$ 

Kasu honetan metrika, identitate matrizea da, baina beste koordenatu batzuetan beste adierazpen bat izan dezake, orokorrean metrika ${\displaystyle g}$ -rekin izendatuko dugu. Hala, indize idazkeran:

${\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=g_{ij}A^{i}B^{j}}$ 

Hala, adierazitako, bi tentsorez osatutako biderkaketa eskalarrak, beti eskalar bat itzuliko du, tentsorea dena.

Euklidear espazioko metrikan, oinarri ortonormalean, identitate matrizea berreskuratzen dugu, hortaz ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$ , non ${\displaystyle \delta _{ij}}$  Kroneckerren delta den.

${\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=\delta _{ij}A^{i}B^{j}=A_{i}B^{i}}$ 

Matrize baten iraulketa, matrize idazkeran ${\displaystyle A^{T}}$  da:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A^{11}&A^{12}\\A^{21}&A^{22}\end{pmatrix}}\longrightarrow A^{T}={\begin{pmatrix}A^{11}&A^{21}\\A^{12}&A^{22}\end{pmatrix}}.}$ 

Indize idazkeran, hau honela adierazten da:

${\displaystyle \left({A^{T}}\right)_{ij}=A_{ji}.}$ 

Beraz, indizeak ez dira trukagarriak tentsore idazkeran, haien kokaleku erlatiboa aldatzea eragiketa bat egitea baita.

Orokorrean, ${\displaystyle A}$  tentsorea bada, ${\displaystyle A^{T}}$ tentsorea ere bada.

Izan bitez ${\displaystyle m\times n}$  dimentsioko ${\displaystyle A}$  matrize bat eta ${\displaystyle n\times p}$  dimentsioko ${\displaystyle B}$  matrize bat.

${\displaystyle C=AB}$  matrizearen ${\displaystyle c_{ij}}$  sarrera honela kalkulatzen da:

${\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.}$ 

Honela:

• ${\displaystyle a_{ik}}$  ${\displaystyle A}$  matrizearen ${\displaystyle i}$  errenkada eta ${\displaystyle k}$  zutabean dagoen elemetua da.
• ${\displaystyle {b_{kj}}}$  ${\displaystyle B}$  matrizearen ${\displaystyle k}$  errenkada eta ${\displaystyle j}$  zutabean dagoen elementua.
• Batura ${\displaystyle k}$  indizean egiten da, eta honek 1etik ${\displaystyle n}$ -ra bitarteko balioak hartzen ditu.

C matrizearen sarrera bakoitza A matrizearen errenkada bakoitzeko osagai guztien eta B matrizearen zutabe bakoitzeko osagai biderketaren bidez lortzen da. Errenkada eta zutabeak ${\displaystyle c_{ij}}$  sarrerako indizeek adierazten dute, non ${\displaystyle i}$  lehenengo matrizearen errenkada eta ${\displaystyle j}$  bigarrenaren zutabea diren.

Adibidez, 2x2 matrizeen kasuan:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}}.}$ 

Lehen sarrera ${\displaystyle c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}=a_{1k}b_{k1}}$  izango litzateke. Azken hau Einstein batura hitzarmena erabiliz.

Beraz,

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}a_{1k}b_{k1}&a_{1k}b_{k2}\\a_{2k}b_{k1}&a_{2k}b_{k2}\end{pmatrix}},}$ 

eta tentsore idazkeran:

${\displaystyle c_{ij}=a_{ik}b_{kj}.}$ 

Hemen ${\displaystyle k}$  indizea batzen ari da, Einsteinen hitzarmenagatik. Beraz, espresioa baliokidea da.

Azkenik, tentsore idazkeran gai ezberinen posizioa aldatu dezakegula kontuan izatea garrantzitsua da: ${\displaystyle a_{ik}b_{kj}=b_{kj}a_{ik}}$ , izan ere, ${\displaystyle a_{ik}}$  eta ${\displaystyle b_{kj}}$  errealak edo konplexuak diren zenbakiak dira, eta hauen biderketa trukagarria da. Badirudi hori matrize idazkeran gertatzen denarekin ${\displaystyle AB\neq BA}$  kontraesanean dagoela. Ezberdintza hori ordea, indizeen posizioan datza; hauek baitira ez trukakorrak, izan ere, ${\displaystyle a_{ik}b_{kj}\neq a_{ik}b_{jk}}$  edo ${\displaystyle a_{ik}b_{kj}\neq b_{jk}a_{ik}}$  edo ${\displaystyle a_{ik}b_{kj}\neq b_{ik}a_{kj}}$ . Lehen berdintasunak ${\displaystyle AB=A(B^{T})}$  dio, bigarrenak ${\displaystyle AB=(A^{T})B}$  eta hirugarrenak ${\displaystyle AB=BA}$  esango luke, eta orokorrean ez dira betetzen.

Orokorrean, A eta B tentsoreak badira, ${\displaystyle C=AB}$  tentsorea izango da baldin eta goi- eta behe- indizeen arteko biderkaketa bada.

Tentsoreen kontrakzioa tentsore baten ordena murrizten duen eragiketa bat da. Zehazki, (n, m) motako tentsore bat (n - 1, m - 1) motako tentsore batera murrizten du. Hortaz, kontrakzioaren ondorioz, tentsore baten ordena bi unitatetan gutxitzen da. Eragiketa hau bi indize ezberdin berdintzean datza, hau da, goi-indize bat eta azpi-indize bat berdintzean datza. Ondorioz, Einsteinen batura hitzarmena kontuan hartuz, termino guztien batura egin behar da, bi indize ezberdinak dituzten osagaiak baztertuz. Beraz, tentsoreen kontrakzioa matrize baten aztarnaren kasu orokortu bat da, aztarna (1,1) ordenako tentsoreen kasu partikularra baita.

Adibidez, demagun (2, 2) motako tentsore bat dugula, ${\displaystyle {T^{ab}}_{cd}}$ , lau indize dituelarik: bi goi-indize eta bi azpi-indize. Tentsore honen kontrakzio bat adibidez, a = c egitean izango dugu. Horrek honakoa esan nahi du:

${\displaystyle {T^{b}}_{d}={T^{ab}}_{ad}}$ .

Hala, tentsore berri bat lortzen dugu, bi indize gutxiagorekin.

Biderkaketa tentsoriala, bi tentsoren arteko eragiketa bat da, ordena handiagoko tentsore berri bat sortzen duena. Tentsore berriaren ordena, hasierako ordenaren batuketatik lortzen da. Bi matrize m × n eta p × q neurrikoak badira, haien biderkaketa tensorialak (m × p) × (n × q) neurria izango du.

Orokorrean, osagai idazkeran honela idatz daiteke:

${\displaystyle {{{(S\otimes T)^{i_{1}\ldots i_{l}}}_{j_{1}\ldots j_{k}}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}}_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}={S^{i_{1}\ldots i_{l}}}_{j_{1}\ldots j_{k}}{T^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}}_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}.}$ 

Adibidez, demagun ${\displaystyle 2\times 2}$  dimentsioko bi tentsore ditugula:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}}$ .

Biderkaketa tensoriala ${\displaystyle A\otimes B}$  honela kalkulatzen da, 4 ordenako, tentsore bat emanez (${\displaystyle 2\times 2\times 2\times 2}$  matrize bat)

${\displaystyle A\otimes B={\begin{pmatrix}a\cdot B&b\cdot B\\c\cdot B&d\cdot B\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}a\cdot e&a\cdot f\\a\cdot g&a\cdot h\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}b\cdot e&b\cdot f\\b\cdot g&b\cdot h\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}c\cdot e&c\cdot f\\c\cdot g&c\cdot h\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}d\cdot e&d\cdot f\\d\cdot g&d\cdot h\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}}$ .

Emaitza ''4 × 4'' matrize gisa ere adieraz daiteke:

${\displaystyle A\otimes B={\begin{pmatrix}a\cdot e&a\cdot f&b\cdot e&b\cdot f\\a\cdot g&a\cdot h&b\cdot g&b\cdot h\\c\cdot e&c\cdot f&d\cdot e&d\cdot f\\c\cdot g&c\cdot h&d\cdot g&d\cdot h\end{pmatrix}}}$ .

Hala eta guztiz ere, ez da ahaztu behar (m × p) × (n × q) ordenakoa dela, eta hortaz, 4. ordeneko tentsoreen eraldaketa araua jarraitu beharko duela, eta ez (m · p) × (n · q) -rena, hots, 2 ordenako batena.

Indize bat jaisteko, hots, indize kontrabariante bat indize-kobariante bihurtzeko, metrika tentsorea erabiltzen da:

Hala, ${\displaystyle {T^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{l}}}$  osagaiak dituen tentsore baten kasuan, ${\displaystyle i_{m}}$  indizea jaisteko formula honakoa da:

${\displaystyle {{{T^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m-1}}}_{i_{m}}}^{i_{m+1}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{l}}=g_{i_{m}k_{m}}{T^{i_{1}i_{2}\cdots k_{m}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{l}}.}$ 

non, espazioaren metrika tentsorea den.

${\displaystyle {{{T^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m-1}}}_{i_{m}}}^{i_{m+1}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{l}}}$  osagaiez osaturiko tentsorea, ${\displaystyle i_{m}}$  indizean kobarianteki transformatzen dela froga daiteke betiere ${\displaystyle {T^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{l}}}$ osagaiak tentsore batenak badira.

Alderantziz, indize bat igotzeko, (indize kobariantetik kontrabariantera pasatzeko) metrika tentsorearen alderantzizkoa (${\displaystyle g^{ij}}$  ) erabiltzen da.

${\displaystyle g_{ik}g^{kj}=\delta _{i}^{j}}$ .

Konturatu hau identitatea ematen duen matrize biderkaketa baten baliokidea dela, hau da, ${\displaystyle g^{ij}}$  tentsorea ${\displaystyle g_{ij}}$  tentsorearen alderantzizkoa dela esatearen baliokidea da.

Hortaz,

${\displaystyle {{{T^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{m-1}}}^{j_{m}}}_{j_{m+1}\cdots j_{l}}=g^{j_{m}k_{m}}{T^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots k_{m}\cdots j_{l}}}$ .

Tentsoreak definitzeko hainbat ikuspegi daude, hizkuntza desberdina eta abstrakzio maila ezberdinak erabililtzen dituztenak, baina denek nolabait honakoan bat egiten dute:

Tentsorea koordenatu aldaketa bat egitean aldaezin mantentzen den objektu matematikoa da.

Adibidea: Azelerazio jakin batekin mugitzen den objetu bat

Azelerazioa tentsore baten adibide sinplea da, bi erreferentzia-sistema inertzialek bat egingo baitute objektuak azelerazio bera duela adieraztean. Hala ere, erreferentzia-sistema ezberdinetako A eta B behatzaileak ez dira ados jarriko bektore horren osagaiekin.

Tentsorea, hautatutako koordenatu sistemarekiko independientea den objetu matematikoa da, hau da, edozein erreferentzia sistema ezberdinetako bi behatzaileek bat egiten duten objetu geometriko horri deritzo tentsore. Nahiz eta osagaiak aldatu daitezkeen, tentsoreak entitate fisiko edo geometriko bera irudikatzen jarraitzen du.

Oharra: Tentsore mota gehiago ere badirela kontuan hartu beharra dugu, hala nola tenperatura (eskalar bat), inertzia (matrizeak) etab. Tentsorearen definizioa bektorearen definiziotik haratago doa.

Bektore espazio bateko tentsorea osagaietan deskribatzen denean, beti bektore espazio horretako oinarri batekin, hau da, erreferentzia-sistema konkretu batekin batera egin behar da. Hortaz, B behatzailearen erreferentzia-sistema A sistemarekiko biraturik dagoela definituko dugu, aurrekoaren antzera.

Bi sistemen arteko biraketa-matrizea ${\displaystyle A\xrightarrow {} B}$  honakoa da:

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.}$ 

Beste modu batera esanda, B erreferentzia-sistema "prima" sistema bada, sistema hauen oinarriak honakoa beteko dute

${\displaystyle {\hat {e}}'={\begin{pmatrix}{\hat {i}}'\\{\hat {j}}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\hat {i}}\\{\hat {j}}\end{pmatrix}}.}$ 

Tentsoreen idazkeran (beraz, Einsteinen batura hitzarmena erabilita) honakoa da

${\displaystyle {\hat {e}}'_{\alpha }=R_{\alpha }{}^{\beta }{\hat {e}}_{\beta }.}$ 

Oharra: bektore batek bi oinarri ezberdinetan osagai berdinak edukiko balitu, biak bektore ezberdinetaz hitz egiten ariko lirateke.

Beraz, bi erreferentzia-sistema ezberdinek objektu geometriko berean bat egiteko, objektu horren osagaiak oso modu zehatzean aldatu behar dira, koordenatu-sistemaren oinarriaren biraketa desegiteko moduan, hain zuzen ere. Bestela, ez genuke objektu fisiko edo geometriko bera izango, hau da, tentsorea.

Osagaiak sistema biraketaren aurka biratu behar dira, objetu berdina izan dadin

${\displaystyle {\vec {v}}'=R^{-1}{\vec {v}}.}$ 

Tentsore-idazkeran hau honela adierazten da:

${\displaystyle v'^{\alpha }={{R^{-1}}^{\alpha }}_{\beta }v^{\beta }.}$ 

Bektorearen osagaiak, goi-indizea dutenak, kontrabariante izenez ere ezagutzen dira, haien biraketa-matrizea sistemaren oinarriarenaren aurkakoa baita.

Berreskuratu dezagun berriro tentsorearen definizioa:

Tentsore bat koordenatu-aldaketekiko aldaezina den objektu matematiko bat da.

Definizio matematikoa emateko hasi gaitezen oinarri eta ingurune bat definitzen:

Izan bitez ${\displaystyle {\hat {e}}_{\alpha }}$  espazio bektorial bateko oinarri bat eta ${\displaystyle {{\hat {e}}'}_{\beta }}$  aurrekoarekiko biraturik dagoen beste koordenatu sistema bateko oinarri bat. Era berean, izan bitez, tentsore baten osagaiak ${\displaystyle v^{\alpha }}$  eta ${\displaystyle v^{\beta }}$ , hurrenez hurren aipatu ditugun bi sistemetan.

Orain, izan bedi hurrengo objektu matematikoa:

${\displaystyle \mathbf {V} :=v'^{\alpha }{\hat {e}}'_{\alpha }\equiv {v'}^{1}{\hat {e}}'_{1}+v'^{2}{\hat {e}}'_{2}+\cdots +v'^{n}{\hat {e}}'_{n}.}$ 

Horretan, aurreko ekuazioak eta transformazioaren ekuazioak erabiliz, honako berdintasuna lortuko dugu:

${\displaystyle v'^{\alpha }{\hat {e}}'_{\alpha }=R^{-1}{}^{\alpha }{}_{\gamma }v^{\gamma }R_{\alpha }{}^{\beta }{\hat {e}}_{\beta }=R^{-1}{}^{\alpha }{}_{\gamma }R_{\alpha }{}^{\beta }v^{\gamma }{\hat {e}}_{\beta }=\delta _{\gamma }^{\beta }v^{\gamma }{\hat {e}}_{\beta }=v^{\alpha }{\hat {e}}_{\alpha }.}$ 

Hala, hurrengoa ondorioztatzen dugu:

${\displaystyle \mathbf {V} =v'^{\alpha }{\hat {e}}'_{\alpha }=v^{\alpha }{\hat {e}}_{\alpha }.}$ 

Orokorrean, ${\displaystyle {\hat {e}}_{\alpha }}$  espezio bektorialaren oinarria bada eta ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\alpha }}$  espazio dualaren oinarria bada tentsorea honela definitu dezakegu:

${\displaystyle {\textbf {T}}:={T^{\mu _{1}\ldots \mu _{n}}}_{\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{l}}{\hat {e}}^{\nu _{1}}\ldots {\hat {e}}^{\nu _{l}}{\hat {\theta }}_{\mu _{1}}\ldots {\hat {\theta }}_{\mu _{n}}.}$ 

Beraz, objektu hori (lodiz idatzia dagonea) koordenatu-aldaketekiko aldaezina den objektua da, hau da, tentsorea.

Oharra: Batzuetan ${\displaystyle {T^{\mu _{1}\ldots \mu _{n}}}_{\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{l}}}$  tentsore izenez ere deitzen zaio, baina hau akatsa edo zehaztasun faltaren ondorioa da. Izan ere, ${\displaystyle {T^{\mu _{1}\ldots \mu _{n}}}_{\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{l}}}$ , ${\displaystyle {\textbf {T}}}$ -tentsorearen osagaiak direla esan behar genuke.

Azkenik, osagaien transformazio-araua tentsorearen definiziotik abiatuta lor daiteke, hots, ekuazio honetatik. Honek tentsore ordena handiagoko kasuetara orokortzea ahalbidetzen du.

${\displaystyle T^{\mu _{1}'\mu _{2}'\ldots \mu _{n}'}{}_{\nu _{1}'\nu _{2}'\ldots \nu _{l}'}={\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu _{1}'}{}_{\mu _{1}}{\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu _{2}'}{}_{\mu _{2}}\ldots {\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu _{n}'}{}_{\mu _{n}}R^{\nu _{1}}{}_{\nu _{1}'}\ldots R^{\nu _{l}}{}_{\nu _{l}'}T^{\mu _{1}\mu _{2}\ldots \mu _{n}}{}_{\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{l}}.}$ 

Definizio zehatzagoa baduten arren, azpi- eta goi-indizeak, erreferentzi-sistema aldeketako biraketa matrizarekin batera aldatzen diren indizeak aurkako biraketarekin aldatzen direnetaz ezberdintzeko erabiltzen dira. Hau da, indize kobariante (azpi-indizeak) eta kontrabarianteen (goi-indizeak) arteko ezberdintasuna adierazten dute.

Askotan honela dio tentsorearen definizioak:

Tentsore bat koordenatu-aldaketa baten aurrean bere osagaiak tentsore bezala transformatzen dituen objektu matematiko bat da.

Definizio honek tautologikoa dirudi, baina askok tentsorearen transformazioa kanpo-definizio gisa hartzen dute, eta hori, hasiera batean esan dugun transformazioa da, hain zuzen ere.

Barietateetan, askotan koordenatu-oinarri bana aukeratzen da barietateko puntu guztietan existitzen den bektore-espazio tangente bakiotzerako. Hauek oso garrantzitsuak dira geometria diferentzialean eta fisikan. Eraldaketa-legea, orduan, koordenatu-funtzioen ( ${\displaystyle {\overline {x}}^{i}=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$  ) deribatu partzialen bidez adieraz daiteke,${\displaystyle {{\hat {T}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}{T^{i_{1}\dots i_{p}}}_{j_{1}\dots j_{q}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).}$ 

Azken hau aurreko erregelaren orokorpena da.

Tentsoreen orokorpen bat, tentsore dentsitateak dira. Horiek, honako erregela araua jarraitzen dute:

${\displaystyle T^{\mu _{1}'\mu _{2}'\ldots \mu _{n}'}{}_{\nu _{1}'\nu _{2}'\ldots \nu _{l}'}=|det(R)|^{-w}{\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu _{1}'}{}_{\mu _{1}}{\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu _{2}'}{}_{\mu _{2}}\ldots {\left(R^{-1}\right)}{}^{\mu _{n}'}{}_{\mu _{n}}R^{\nu _{1}}{}_{\nu _{1}'}\ldots R^{\nu _{l}}{}_{\nu _{l}'}T^{\mu _{1}\mu _{2}\ldots \mu _{n}}{}_{\nu _{1}\nu _{2}\ldots \nu _{l}},}$ 

non ${\displaystyle w}$  pisua den, eta 0 denean aurreko definizioa berreskuratzen den.