Geometria (grezieraz γεωμετρία, geo = lurra, metria = neurtu) gorputzen tamaina, forma eta posizio erlatibo eta espazioaren propietateez arduratzen den matematikaren ataletako bat da. Geometria zientziarik zaharrenetariko bat da. Hasiera batean luzera, azalera eta bolumenaren inguruan kezkatzen zen, baina K.a. III. mendetik aurrera Euklidesekaxioma ezberdinak proposatu zituenetik mendetan zehar estandar hauetan oinarritu da. Astronomiak eman zuen hurrengo milurteko eta erdian buruhauste geometriko nagusia.
XIX. mendeangeometria ez-euklidearra aurkitu zenean espazioren kontzeptuak aldaketa izugarria jasan zuen. Gaur egungo geometriak tolesak eta lokarriak ere aintzat hartzen ditu, euklidear espazioa baino abstraktuagoak diren objektuak, eta eskala txikietan baina geometria klasikoaren itxura duten objektuak ere ikertzen ditu. Gaur egungo geometriak harreman handia du fisikarekin, batez ere geometria Riemanniarra eta erlatibitate orokorraren artean. Fisikaren teoriarik berrienetako bat ere, korden teoria, oso geometrikoa da azken finean.
Geometria irudi bidez adierazgarria izateak matematikaren beste atalak baino ulergarriagoa egiten du, batez ere aljebra edo zenbakien teoriarekin alderatuta. Hala ere, hizkera geometrikoa normalean ohituak gauden esparruetatik at ere mugitzen da, adibidez geometria fraktalean eta batez ere geometria aljebraikoan.
EuklidesenGeometriako Elementuak (K.a. 300) geometriaren sortze-testuetatik garrantzitsuenetariko bat da. Liburu horretan geometria axioma ideal batzuen barnean kokatzen zen eta horregatik da ezaguna euklidear geometria izenaz. Tratatu hau ez da, hala ere, Antzinako Greziako matematikariek geometriaren inguruan zekiten guztiaren bilduma, baizik eta sarrera bat, besterik ez.[1] Euklidesek berak beste zortzi liburu sakonago idatzi zituen. Gainera, beste iturri batzuek diotenaren arabera, berea ez zen izan geometriaren alorreko lehenengo oinarrizko liburua.
Aldaketa hauen guztien ondorioz geometriak aztertzen zuen espazio kontzeptua oso aberatsa eta ñabarra bilakatu zen. Geometria tradizionala gaur egun espazio homogeneoaren geometriatzat hartzen da, hau da, hainbeste simetria dute espazioak ezen puntu batetik bestera begiratuta berdinak diruditen.
Euklidesek geometriaren ikuspegi abstraktua hartu zuen bere Elementuetan[5], inoiz idatzi den libururik garrantzitsuenetako bat[6]. Euklidesek zenbait axioma edo postulatu sartu zituen, puntuen, zuzenen eta planoen propietate primarioak edo nabariak adierazten zituztenak[7]. Jarraian, arrazoiketa matematikoaren bidez beste propietate batzuk zorrozki deduzitu zituen. Euklidesen geometriak zorroztasuna zuen ezaugarri, geometria axiomatikoa edo sintetikoa deitu izan zaiona[8]. XIX. mendearen hasieran, Nikolai Ivanovitx Lobatxevskik (1792-1856), János Bolyaik (1802-1860), Carl Friedrich Gaussek (1777-1855) eta beste batzuek[9] euklidiarrak ez ziren geometriak aurkitu zituztenean, berriro piztu zen diziplina horrekiko interesa, eta XX. mendean, David Hilbertek (1862-1943) arrazonamendu axiomatikoa erabili zuen geometriari oinarri modernoa emateko[10].
Puntuak geometria eraikitzeko funtsezko objektutzat hartzen dira. Izan behar dituzten propietateen arabera defini daitezke, hala nola Euklidesen definizioan "parterik ez duena" bezala[11], edo geometria sintetikoan. Geometria klasikoan, puntuek ez dute ez luzera, ez zabalera, ez altuerarik. Matematika modernoetan, espazio izeneko multzo baten elementu gisa definitu ohi dira, eta multzo hori axiomatikoki definituta dago.
Definizio moderno horiekin, forma geometriko oro puntu-multzo gisa definitzen da; ez da gauza bera gertatzen geometria sintetikoan, non zuzen bat beste funtsezko objektu bat den, igarotzen den puntuen multzotzat hartzen ez dena.
Euklidesek lerro bat "zabalerarik gabeko luzera" bezala deskribatu zuen, "bere baitako puntuekiko era berean aurkitzen dena"[11]. Matematika modernoetan, geometria ugari dagoenez, zuzenaren kontzeptua geometria deskribatzeko moduari estuki lotuta dago. Adibidez, geometria analitikoan, planoko zuzen bat ekuazio lineal jakin bat asetzen duten koordenatuak dituzten puntuen multzo gisa definitu ohi da[13], baina ingurune abstraktuago batean, intzidentzia-geometrian adibidez, zuzen bat objektu independente bat izan daiteke, haren gainean dauden puntu-multzoaz bestelakoa[14]. Geometria diferentzialean, geodesika lerroaren nozioa espazio kurbatuetara orokortzea da.
Geometria euklidiarrean, plano bat bi dimentsioko azalera laua da[11], infinituki hedatzen dena; beste geometria mota batzuen definizioak honen orokortzeak dira. Planoak geometriaren alor askotan erabiltzen dira. Adibidez, planoak gainazal topologiko gisa azter daitezke, distantziei edo angeluei erreferentzia egin gabe[15]; antzeko espazio gisa azter daitezke, non kolinealtasuna eta erlazioak azter daitezkeen[16], baina ez distantziak; plano konplexu gisa azter daitezke, analisi konplexuko teknikak erabiliz[17]; eta abar.
Euklidesek angelua elkarrekiko inklinazio gisa definitzen du, plano horretan dauden edozein bi zuzenean artean ez badira elkarrekiko paralelo[11]. Termino modernoetan, angelua bi izpiz osatutako irudia da, angeluaren aldeak deituak, azken puntu komun bat partekatzen dutenak, angeluaren erpina deritzona[18].
Geometria euklidiarrean, angeluak poligonoak eta triangeluak aztertzeko erabiltzen dira, eta, gainera, berezko ezaugarriak dituzte aztertzeko modukoak. Triangelu baten angeluak edo zirkunferentzia unitario baten angeluak aztertzea da trigonometriaren oinarria[19].
Kurba objektu dimentsiobakarra da, zuzena izan daitekeena (lerro bat bezala) edo ez; bi dimentsioko espazioko kurbei kurba lauak esaten zaie, eta hiru dimentsioko espaziokoei, berriz, espazio-kurbak.
Topologian, kurba bat zenbaki errealetatik beste espazio baterako tarte bateko funtzio baten bidez definitzen da[22]. Geometria aljebraikoakkurba aljebraikoak aztertzen ditu, lehen dimentsioko aldaera aljebraiko gisa definitzen direnak[23].
Esfera bat parametrikoki definitu daitekeen gainazal bat da (x = r sin θ cos φ,y = r sin θ sin φ,z = r cos θ)) edo inplizituki (x2 + y2 + z2 − r2 = 0.)
barietate bat topologia-espazio bat da, puntu bakoitzetik hurbil dagoen espazio euklidearraren antzekoa. Zehatzago, n-dimentsio-barietate bat, edo n n-barietate laburtzeko, topologia-espazio bat da, non puntu bakoitzak auzotasun bat baitu, n n-dimentsioko espazio euklidianoaren azpimultzo ireki bati homeomorfoa dena. Dimentsio bakarreko kolektoreek lineak eta zirkuluak dituzte, baina ez lemniskatak. Bi dimentsioko barietateei ere azalera esaten zaie. Hona hemen adibide batzuk: planoa, esfera eta toroidea, Kleinen botila eta benetako plano proiektiboa.
Luzerak, azalerak eta bolumenak objektu baten tamaina edo hedadura deskribatzen dute, dimentsio batean, bi dimentsiotan eta hiru dimentsiotan, hurrenez hurren[24].
Azalera eta bolumena luzerarekiko independenteak diren funtsezko magnitude gisa defini daitezke, edo plano edo hiru dimentsioko espazio bateko luzeren arabera deskribatu eta kalkula daitezke. Matematikariek formula esplizitu asko aurkitu dituzte azalerarako eta hainbat objektu geometrikoren bolumenerako. Kalkuluan, area eta bolumena integralekin defini daitezke, hala nola Riemannen integrala[26] edo Lebesgueren integrala[27].
Beste norabide batean, luzeraren, azaleraren eta bolumenaren kontzeptuak zabaldu egiten dira neurketaren teoriarekin. Teoria horrek multzoei tamaina edo neurri bat esleitzeko metodoak aztertzen ditu, non neurriek arearen eta bolumen klasikoaren antzeko arauak jarraitzen dituzten[30].
Kongruentzia eta antzekotasuna bi formek antzeko ezaugarriak noiz dituzten deskribatzen duten kontzeptuak dira. Geometria euklidearrean, antzekotasuna forma bera duten objektuak deskribatzeko erabiltzen da, eta kongruentzia, berriz, tamainan zein forman berdinak diren objektuak deskribatzeko. Hilbertek, geometriarako oinarri zorrotzagoa sortzeko lanean, kongruentzia termino mugagabe gisa tratatu zuen, eta haren propietateak axiomen bidez definitzen dira[29].
Kongruentzia eta antzekotasuna transformazioen geometrian orokortzen dira, transformazio mota desberdinak kontserbatzen dituzten objektu geometrikoen propietateak aztertzen baititu[30].
Geometra klasikoek arreta berezia jartzen zuten beste moduren batean deskribatutako objektu geometrikoen eraikuntzan. Klasikoki, eraikuntza geometriko gehienetan erabiltzen diren tresna bakarrak konpasa eta erregela dira. Gainera, eraikuntza bakoitza urrats kopuru mugatu batean osatu behar zen. Hala ere, arazo batzuk konpontzea zaila edo ezinezkoa izan zen bitarteko horiekin bakarrik, eta neusiak, parabolak eta beste kurba batzuk edo gailu mekanikoak erabiltzen zituzten eraikuntza burutsuak aurkitu ziren.
Geometria tradizionalak dimentsio kontzeptua garatzen du. Dimentsio 1 (lerro bat), 2 (plano bat) eta 3 (espazio tridimentsional gisa sortutako gure giro-mundua) onartzen dituen bitartean, matematikariek eta fisikariek ia bi mende daramatzate dimentsio handiagoak erabiltzen[31]. Goiko dimentsioen erabilera matematikoaren adibide bat sistema fisiko baten konfigurazio-espazioa da, sistemaren askatasun-mailen pareko dimentsioa duena. Adibidez, torloju baten konfigurazioa bost koordenaturen bidez deskriba daiteke.
Topologia orokorrean, dimentsioaren kontzeptua zenbaki naturaletatik dimentsio infinitura (Hilberten espazioak, adibidez) eta zenbaki erreal positiboetara (geometria fraktalean) hedatu da[32]. Geometria aljebraikoan, barietate aljebraiko baten dimentsioak itxuraz ezberdinak diren hainbat definizio jaso ditu, guztiak kasu arruntenetan baliokideak direnak[33].
Simetria da propietate bat
objektu batena berez
itxura bera baldin badauka
begiratuta aldrebes
karratu eta zirkuluetan
nahiz ikus liteken errez
Simetrikoa da banatuta
erdiko komaren bidez
“Orea ore, eroa ero”
esaldia adibidez.
Simetria forma geometriko, sistema, ekuazio eta beste objektu material edo abstraktu batzuen ezaugarri berezi bat da, transformazio, mugimendu eta aldaketetan oinarritzen dena.[34]
Operazio matematikoan oinarritzen bagara, objektu bat simetrikoa da operazioa aplikatu ondoren objektuak eta bere itxurak aldaketarik gabe jarraitzen dutenean.
Operazio multzo baten ondorioz objektu batetik beste bat sortzen bada bi objektu horiek simetrikoak izango dira. Geometrian, bi dimentsioko simetriaren motako garrantzitsuenak espazio euklidearretan oinarritzen dira: translazioak, birak eta islapenak; baita higitzen direnak ere. Izaki bizidunetan simetria ere ager daiteke.[35]
Bereziki, geometria diferentziala garrantzitsua da fisika matematikorako, Albert Einsteinenerlatibitate orokorrakunibertsoakurbatua dela dioen postulazioaren ondorioz[46]. Geometria diferentziala intrintsekoa izan daiteke (horrek esan nahi du kontuan hartzen dituen espazioak barietate leunak direla, eta horien egitura geometrikoa Riemannen metrika batek zuzentzen duela, puntu bakoitzetik gertu distantziak nola neurtzen diren zehazten duena) edo kanpokoa (aztertutako objektua ingurumen-espazio euklideo planoren baten zati denean)[47].
Geometria euklidearra ez zen aztertutako geometriaren forma historiko bakarra izan. Geometria esferikoa astronomo, astrologo eta nabigatzaileek erabili zuten luzaroan[48].
Immanuel Kantek zioenez, geometria absolutu bat baino ez dagoela, adimenaren barne-ahalmen baten bidez a priori egiazkotzat ezagutzen dena: geometria euklidearra a priori sintetikoa zen.[49] Hasiera batean, Saccheri bezalako pentsalariek zalantzan jarri zuten ikuspuntu hau, azkenean Bolyai, Lobatxevski eta Gaussen lanetan geometria ez-euklidearraren aurkikuntza iraultzaileak (bere teoria inoiz argitaratu ez zuena[50]) kendu zuena. Euklidear espazio arrunta geometria garatzeko aukera bat besterik ez dela frogatu zuten. Geometriaren gaiari buruzko ikuspegi zabala eman zuen Riemannek 1867an Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Geometriaren oinarri diren hipotesiei buruz) izeneko inaugurazio-hitzaldian[51], hil ondoren bakarrik argitaratua. Riemannen espazioaren ideia berria erabakigarria izan zen Albert Einsteinen erlatibitatearen teoria orokorrerako. Riemannen geometria, luzeraren nozioa definitzen den espazio oso orokortzat hartzen duena, geometria modernoaren zutabeetako bat da[52].
Topologiafuntzio jarraituen propietateez arduratzen den eremua da, eta geometria euklidearraren orokortzetzat har daiteke. Praktikan, topologia espazioen eskala handiko propietateez arduratzen da, hala nola konexutasunaz eta trinkotasunaz.
Geometria konplexua azterketa-eremu independente gisa agertu zen lehen aldiz, Bernhard RiemannekRiemannen gainazalen azterketan egindako lanetatik abiatuta[62][63]. XX. mendearen hasieran, geometria aljebraikoaren eskola italiarrak Riemannen ildoan lan egin zuen. Geometria konplexuaren trataera garaikidea Jean-Pierre Serreren lanekin hasi zen. Azken horrek sorten kontzeptua sartu zuen gaian eta geometria konplexuaren eta geometria aljebraikoaren arteko erlazioak argitu zituen[64][65]. Geometria konplexuaren aztergai nagusiak barietate konplexuak, barietate aljebraiko konplexuak eta barietate analitiko konplexuak dira, baita holomorfo bektorialak eta espazio horien gaineko sorta koherenteak ere. Geometria konplexuan aztertutako espazioen adibide bereziak Riemannen gainazalak eta Calabi-Yauren barietateak dira, eta espazio horiek korden teorian erabiltzen dira. Zehazki, korden unibertso-orriak Riemann-en gainazalen bidez modelatzen dira, eta superkorden teoriak aurreikusten du 10 dimentsioko espazio-denboran 6 dimentsio gehigarriak Calabi-Yau-ren kolektoreen bidez modelatu daitezkeela.
Geometria konbexua Antzinarokoa da[76]. Arkimedesek eman zuen konbexutasunaren lehen definizio zehatza. Problema isoperimetrikoa, geometria ganbilaren kontzeptu errepikakorra, greziarrek ere aztertu zuten, horien artean Zenodorok. Arkimedesek, Platonek, Euklidesek eta, geroago, Keplerrek eta Coxeterrekpolitopo konbexuak eta haien propietateak aztertu zituzten. XIX. mendetik aurrera, matematikariek matematika konbexuaren beste arlo batzuk aztertu dituzte, hala nola politopo handienak, gorputz konbexuen bolumena eta azalera, Gaussen kurbadura, algoritmoak, teselatzeak eta saretak.
Artistek denbora asko daramate diseinuan proportzio kontzeptuak erabiltzen. Vitruviok giza irudiarentzako proportzio idealen teoria konplexu bat garatu zuen[78]. Kontzeptu horiek erabili eta egokitu dituzte artistek, Michelangelotik hasi eta komikietako marrazkilari modernoetaraino[79].
Urrezko proportzioa artean paper eztabaidagarria izan duen proportzio berezia da. Sarritan esaten da estetikoki atseginagoa den luzera-proportzioa dela, eta sarritan baieztatzen da artelan ospetsuetan txertatuta dagoela, nahiz eta adibide fidagarri eta zalantzarik gabekoenak nahita egin zituzten legenda horretaz jabetzen ziren artistek[80].
Teselatuak artean erabili izan dira historian zehar. Arte islamiarrak maiz jotzen du haietara, M. C. Escherren arteak bezala[81]. Escherrek geometria hiperbolikoa ere erabili zuen.
Cezannek proposatu zuen irudi guztiak esferatik, konotik eta zilindrotik eraiki daitezkeela. Gaur egungo artearen teorian hori erabiltzen jarraitzen da, nahiz eta formen zerrenda zehatza autore batetik bestera aldatzen den[82][83].
Geometriak aplikazio asko ditu arkitekturan. Izan ere, geometria diseinu arkitektonikoaren oinarria dela esan izan da[84][85]. Geometriak arkitekturari egiten dizkion aplikazioek barne hartzen dute geometria proiektiboa erabiltzea ikuspegi behartua sortzeko[86], kupulak eta antzeko objektuak eraikitzeko sekzio konikoak erabiltzea, teselazioak erabiltzea eta simetria erabiltzea[87].
Astronomiaren eremua, batez ere izarren eta planetenzeru-esferako posizioen kartografiari eta zeruko gorputzen mugimenduen arteko erlazioaren deskribapenari dagokienez, problema geometrikoen iturri garrantzitsua izan da historian zehar[88].
Geometria riemanndarra eta geometria pseudo-riemanndarra erlatibitate orokorrean erabiltzen dira[89]. Korden teoriak geometriaren hainbat aldaera erabiltzen ditu[90], informazioaren teoria kuantikoak bezala[91].
Geometriak eragin handia izan zuen kalkuluan. Adibidez, René Descartesek koordenatuak sartzeak eta aljebra aldi berean garatzeak etapa berri bat markatu zuten geometriarentzat, kurba lauak bezalako irudi geometrikoak analitikoki irudika zitezkeelako funtzio eta ekuazio moduan. Horrek berebiziko garrantzia izan zuen XVII. mendeko kalkulu infinitesimalaren agerpenean. Geometria analitikoak aurre-kalkuluko eta kalkuluko ikasketa-planen zutabeetako bat izaten jarraitzen du[92].
↑(Gaztelaniaz)Alej; MaculetCurs, ro; Finanzas, o actualmente el Grado de Maestro en Educación Primaria en la Universidad Autónoma de Madrid Técnico Superior en Administración y; Quiromasajista; naturaleza, Masajista Deportivo y Músico Forma parte del equipo de desarrollo de contenidos de Smartick Curioso por; Pasiones, Música Y. Ciencia Son Dos De Sus. (2018-09-17). «Simetría: qué es en matemáticas y ejercicios»Smartick(Noiz kontsultatua: 2022-11-12).
