Campila de Eudoxo

La campila de Eudoxo (en griego καμπύλη: curva) es una curva determinada por una ecuación cartesiana:

${\displaystyle x^{4}=x^{2}+y^{2}}$

de la cual se ha de excluir la solución x = y = 0, o, en coordenadas polares:

${\displaystyle r=\sec ^{2}\theta \,.}$

El astrónomo y matemático griego Eudoxo de Cnido (c. 408 a. C. - c. 347 a. C.) estudió esta curva cuártica en relación con el problema clásico de la duplicación del cubo.

La campila es simétrica con respecto a ambos ejes: ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$. Corta el eje ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle (-1,0)}$ y en ${\displaystyle (1,0)}$. Tiene cuatro puntos de inflexión, en:

${\displaystyle (\pm {\sqrt {3/2}},\pm {\sqrt {3}}/2)}$

(uno en cada cuadrante). La primera mitad de la curva es asintótica a ${\displaystyle x^{2}-{\frac {1}{2}}}$ cuando ${\displaystyle x\to \infty }$. En efecto se puede escribir así:

${\displaystyle y=x^{2}{\sqrt {1-x^{-2}}}=x^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{n\geq 0}C_{n}(2x)^{-2n}}$

donde

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}}$

es el ${\displaystyle n}$-ésimo número de Catalan.