Polinomo de Legendre

La ekvacio de Legendre estas la sekvanta: ${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}]+n(n+1)y=0}$ 

Polinomo de Legendre de grado n estas ${\displaystyle P_{n}}$  (pri ĉiu entjera nombro n), kiu estas solvo de la antaŭa ekvacio :

${\displaystyle {\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x}}[(1-x^{2}){\frac {{\textrm {d}}P_{n}(x)}{{\textrm {d}}x}}]+n(n+1)P_{n}(x)=0,\qquad P_{n}(1)=1.}$ 

Oni povas konsideri ${\displaystyle P_{n}=P_{n}^{(0,0)}}$ , kiam ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$  indikas polinomon de Jacobi kun indico n ligita al parametroj α kaj β.

La ĉisupra ekvacio estas ligita al laplaca ekvacio ${\displaystyle \Delta \psi \ =\ 0}$ , kiam oni serĉas ties solvoj kaj kiam ĝi estas skribita en sferaj koordinatoj; ekzemple pri elektrostatika problemo, kie la ŝarga denseco estas nula aŭ en vakuo.

Polinomoj de Legendre estas koeficientojn en serio de Maclaurin de funkcio ${\displaystyle G(x,t)=(1-2xt+t^{2})^{-1/2}}$ ,

do estas formulo:

• rikura formulo: ${\displaystyle P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n-1}(x)\quad (n=1,2,\ldots )}$ 
• orteco en intervalo [-1,1]: ${\displaystyle \langle P_{m},P_{n}\rangle =\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x=0\qquad \mathrm {pour} \qquad m\neq n}$ 

• Akompanaj funkcioj de Legendre