Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία (από την ελληνική τρĩγονον "τρίγωνο" + μέτρον "μέτρο" ) είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη ειδικών συναρτήσεων των γωνιών και τις εφαρμογές τους σε διάφορους υπολογισμούς, όπως στην επίλυση τριγώνου, δηλαδή με τον προσδιορισμό άγνωστων στοιχείων τριγώνου, σε συνάρτηση πλευρών και γωνιών. Η τριγωνομετρία ανάλογα του είδους των τριγώνων διακρίνεται σε επίπεδη και σφαιρική τριγωνομετρία.

Τα βασικά της τριγωνομετρίας συχνά διδάσκονται στο σχολείο, είτε ως ξεχωριστό μάθημα ή ως μέρος ενός μαθήματος λογισμού. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι διάχυτες σε τμήματα των καθαρών μαθηματικών και των εφαρμοσμένων μαθηματικών, όπως η ανάλυση Φουριέ και την εξίσωση του κύματος, που με τη σειρά τους είναι απαραίτητα για πολλούς κλάδους της επιστήμης και της τεχνολογίας. Η σφαιρική τριγωνομετρία μελετά τρίγωνα σε σφαίρες και επιφάνειες με σταθερή θετική καμπυλότητα στην ελλειπτική γεωμετρία. Είναι θεμελιώδους σημασίας για την αστρονομία και την πλοήγηση. Η τριγωνομετρία σε επιφάνειες αρνητικής καμπυλότητας είναι μέρος της υπερβολικής γεωμετρίας.

Ο όρος τριγωνομετρία καθιερώθηκε το 1595 από τον Γερμανό μαθηματικό Bartholomäus Pitiscus στο έργο του Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus. Εντούτοις η τριγωνομετρία αναπτύχθηκε και ήταν μέρος των μαθηματικών από την αρχαιότητα. Ο Αρίσταρχος χρησιμοποίησε ορθογώνια τρίγωνα για να υπολογίσει την απόσταση της Γης από τον Ήλιο και τη Σελήνη. Οι αστρονόμοι Ίππαρχος και Πτολεμαίος χρησιμοποιούσαν καταλόγους που μετέτρεπαν γωνίες κύκλου σε μήκος χορδής, η γνωστή σε μας τριγωνομετρική συνάρτηση του ημίτονου.

Οι Σουμέριοι αστρονόμοι εισήγαγαν το μέτρο της γωνίας, χρησιμοποιώντας ένα διαχωρισμό του κύκλου σε 360 μοίρες. Αυτοί και οι διάδοχοί τους, οι Βαβυλώνιοι μελέτησαν τις αναλογίες των πλευρών ομοίων τριγώνων και ανακάλυψαν κάποιες ιδιότητες αυτών των αναλογιών, αλλά δεν το μετέτρεψαν σε μια συστηματική μέθοδο για την εύρεση πλευρών και γωνιών των τριγώνων. Οι αρχαίοι Νουβίοι χρησιμοποιούσαν μια παρόμοια μέθοδο. Οι αρχαίοι Έλληνες μετέτρεψαν την τριγωνομετρία σε μια διατεταγμένη επιστήμη.

Κλασικοί Έλληνες μαθηματικοί (όπως ο Ευκλείδης και ο Αρχιμήδης) μελέτησαν τις ιδιότητες των χορδών και των χαραγμένων γωνιών σε κύκλους, και απόδειξαν θεωρήματα που ισοδυναμούν με σύγχρονους τριγωνομετρικούς τύπους παρόλο που τα απεδείκνυαν γεωμετρικά και όχι αλγεβρικά. Ο Κλαύδιος ο Πτολεμαίος διεύρυνε τις χορδές του Ίππαρχου σε ένα κύκλο στην Αλμαγέστη του. Η σύγχρονη ημιτονοειδής συνάρτηση ορίσθηκε για πρώτη φορά στη Surya Siddhanta, και οι ιδιότητές της ήταν τεκμηριωμένες περαιτέρω από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο του 5ου αιώνα Αριαμπάτα. Τα ελληνικά και τα ινδικά αυτά έργα έχουν μεταφραστεί και επεκταθεί από Ισλαμιστές μαθηματικούς του μεσαίωνα. Μέχρι τον 10ο αιώνα, οι ισλαμιστές μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν και τις έξι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, είχαν ταξινομημένες τις τιμές τους, και τις χρησιμοποιούσαν για τα προβλήματα στη σφαιρική γεωμετρία. Την ίδια περίπου εποχή, Κινέζοι μαθηματικοί ανέπτυξαν την τριγωνομετρία ανεξάρτητα, αν και δεν ήταν σημαντικό πεδίο μελέτης για αυτούς. Η γνώση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και μεθόδων έφτασε στην Ευρώπη μέσω λατινικών μεταφράσεων των έργων των Περσών και Αράβων αστρονόμων όπως ο Αλ-Μπατάνι και Νασίρ αλ-Ντιν αλ-Τουσί. Ένα από τα πρώτα έργα στην τριγωνομετρία από έναν ευρωπαίο μαθηματικό είναι το De Triangulis από τον Γερμανό μαθηματικό Ρεγιομοντάνος του 15ου αιώνα. Η τριγωνομετρία ήταν ακόμα τόσο λίγο γνωστή στην Ευρώπη του 16ου αιώνα που ο Νικόλαος Κοπέρνικος αφιέρωσε δύο κεφάλαια του De Revolutionibus orbium coelestium για να εξηγήσει τις βασικές έννοιες.

Καθοδηγούμενη από τις απαιτήσεις της ναυσιπλοΐας και την αυξανόμενη ανάγκη για ακριβείς χάρτες των μεγάλων περιοχών, η τριγωνομετρία μεγάλωσε σε ένα σημαντικό κλάδο των μαθηματικών. Ο Bartholomaeus Pitiscus ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τη λέξη, δημοσιεύοντας την trigonometría του το 1595. Ο Gemma Frisius περιέγραψε για πρώτη φορά τη μέθοδο της τριγωνοποίησης η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα στη χωρομέτρηση. Ήταν ο Λέοναρντ Όιλερ ο οποίος ενσωμάτωσε πλήρως τους μιγαδικούς αριθμούς στην τριγωνομετρία. Τα έργα του James Gregory τον 17ο αιώνα και του Colin Maclaurin τον 18ο αιώνα ήταν μεγάλη επιρροή στην ανάπτυξη των τριγωνομετρικών σειρών. Επίσης, τον 18ο αιώνα, ο Brook Taylor καθόρισε τη γενική σειρά Taylor.

Οι Άραβες υιοθέτησαν τις τριγωνομετρικές μελέτες των αρχαίων Ελλήνων και των Ινδών και ανάπτυξαν τη σφαιρική τριγωνομετρία. Οι μαθηματικοί της Ευρώπης μυήθηκαν στην τριγωνομετρία τον 15ο αιώνα, όταν την εποχή της Αναγέννησης ασχολήθηκαν με τον υπολογισμό βαλλιστικών τροχιών. Ο Γερμανός αστρονόμος Ρεγιομοντάνος σύνταξε μια πεντάτομη διδασκαλία της επίπεδης και σφαιρικής τριγωνομετρία με τίτλο De triangulis omnimodis. Σήμερα ο τρόπος γραφής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων βασίζεται κατά μεγάλο βαθμό στα έργα του Όιλερ.

Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι 90 μοίρες και μια από τις άλλες γωνίες είναι γνωστή, η τρίτη επίσης καθορίζεται, επειδή το άθροισμα των τριών γωνιών του τριγώνου είναι 180 μοίρες. Οι δύο οξείες γωνίες ωστόσο έχουν άθροισμα 90 μοίρες, δηλαδή είναι συμπληρωματικές γωνίες. Το σχήμα ενός τριγώνου είναι απολύτως καθορισμένο από τις γωνίες, εκτός από την ομοιότητα. Όταν είναι γνωστές οι γωνίες, οι αναλογίες των πλευρών καθορίζονται ανεξαρτήτως του συνολικού μεγέθους του τριγώνου. Αν το μήκος της μίας από τις πλευρές είναι γνωστό, τότε αυτομάτως προσδιορίζονται οι άλλες δύο. Αυτές οι αναλογίες δίνονται από τις ακόλουθες τριγωνομετρικές συναρτήσεις της γνωστής γωνίας ${\displaystyle \varphi }$, όπου ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ και ${\displaystyle \gamma }$ είναι τα μήκη των πλευρών στο συνοδευτικό σχήμα:

• Ημιτονοειδής συνάρτηση (${\displaystyle \sin }$), ορίζεται ως ο λόγος της απέναντι πλευράς της γωνίας προς την υποτείνουσα.

${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {\text{απέναντι πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}}={\frac {\alpha }{\gamma }}}$.

• Συνημιτονειδής συνάρτηση (${\displaystyle \cos }$), ορίζεται ως ο λόγος της προσκείμενης της γωνίας προς την υποτείνουσα.

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\text{προσκείμενη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}}={\frac {\beta }{\gamma }}}$.

• Συνάρτηση της εφαπτομένης (${\displaystyle \tan }$), ορίζεται ως ο λόγος της απέναντι προς την προσκείμενη της γωνίας.

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {\text{απέναντι πλευρά}}{\text{προσκείμενη πλευρά}}}={\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }}}$.

Η υποτείνουσα είναι η πλευρά απέναντι από τη γωνία 90 μοιρών σε ένα ορθό τρίγωνο: είναι η μακρύτερη πλευρά του τριγώνου, και μία από τις δύο προσκείμενες πλευρές στη γωνία φ. Η προσκείμενη πλευρά είναι η πλευρά που πρόσκεινται στη γωνία φ. Η απέναντι πλευρά είναι η πλευρά που είναι απέναντι από τη γωνία φ. Οι κάθετοι όροι και η βάση χρησιμοποιούνται μερικές φορές για τις απέναντι και τις προσκείμενες πλευρές αντίστοιχα.

Οι αντίστροφες των συναρτήσεων αυτών ονομάζονται συντέμνουσα (${\displaystyle \csc }$ ή ${\displaystyle \mathrm {cosec} }$), τέμνουσα (${\displaystyle \sec }$), και συνεφαπτομένη (${\displaystyle \cot }$), αντίστοιχα:

${\displaystyle \csc \varphi ={\frac {1}{\sin \varphi }}={\frac {\gamma }{\alpha }}}$,

${\displaystyle \sec \varphi ={\frac {1}{\cos \varphi }}={\frac {\gamma }{\beta }}}$,

${\displaystyle \cot \varphi ={\frac {1}{\tan \varphi }}={\frac {\cos \varphi }{\sin \varphi }}={\frac {\beta }{\alpha }}}$.

Οι αντίστροφες συναρτήσεις ονομάζονται τόξο ημίτονου, συνημίτονου και τόξο εφαπτομένης, αντίστοιχα. Υπάρχουν αριθμητικές σχέσεις μεταξύ αυτών των συναρτήσεων οι οποίες είναι γνωστές ως τριγωνομετρικές ταυτότητες. Το συνημίτονο, η συνεφαπτομένη και η συντέμνουσα ονομάζονται έτσι επειδή είναι, αντίστοιχα, το ημίτονο, η εφαπτομένη, και η τέμνουσα της συμπληρωματικής γωνίας με τα αρχικά "συν-".

Με αυτές τις συναρτήσεις κάποιος μπορεί να απαντήσει σχεδόν σε όλες τις ερωτήσεις σχετικά με αυθαίρετα τρίγωνα χρησιμοποιώντας τον νόμο των ημιτόνων και τον νόμο των συνημιτόνων. Αυτοί οι νόμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υπολογιστούν οι υπόλοιπες γωνίες και οι πλευρές οποιουδήποτε τριγώνου όταν δύο πλευρές και η περιεχόμενη γωνία ή δύο γωνίες και μία πλευρά ή τρεις πλευρές είναι γνωστές. Αυτοί οι νόμοι είναι χρήσιμοι σε όλους τους κλάδους της γεωμετρίας, αφού κάθε πολύγωνο μπορεί να περιγραφεί ως ένας πεπερασμένος συνδυασμός τριγώνων.

Οι παραπάνω ορισμοί ισχύουν για γωνίες μεταξύ 0 και 90 μοιρών (0 και π/2 ακτίνια) μόνο. Χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο μπορεί κανείς να τις επεκτείνει για όλες τις θετικές και αρνητικές τιμές (βλ. τριγωνομετρική συνάρτηση). Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές, με περίοδο τις 360° μοίρες ή ${\displaystyle 2\pi }$ ακτίνια. Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές τους επαναλαμβάνονται σε αυτά διαστήματα. Η συνάρτηση της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης έχουν επίσης μια μικρότερη περίοδο, 180 μοιρών ή ${\displaystyle \pi }$ ακτίνιων.

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να οριστούν και με άλλους τρόπους εκτός από τoυς παραπάνω γεωμετρικούς ορισμούς, χρησιμοποιώντας εργαλεία από τον λογισμό και σειρές του απειροστικού λογισμού. Αυτοί οι ορισμοί επιτρέπουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις να οριστούν και για μιγαδικούς αριθμούς. Η σύνθετη εκθετική συνάρτηση είναι ιδιαίτερα χρήσιμη:

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}$.

Δείτε τους τύπους του Όιλερ και του ντε Μουάβρ.

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ήταν από τις πρώτες χρήσεις των μαθηματικών πινάκων. Τέτοιοι πίνακες ενσωματώθηκαν σε μαθηματικά εγχειρίδια και οι μαθητές διδάχθηκαν να αναζητούν τις τιμές και πως να παρεμβαίνουν μεταξύ των τιμών που αναφέρονται για υψηλότερη ακρίβεια. Οι κυλιόμενοι κανόνες είχαν ειδικές κλίμακες για τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Σήμερα, οι επιστημονικές αριθμομηχανές έχουν κουμπιά για τον υπολογισμό των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων (${\displaystyle \sin }$, ${\displaystyle \cos }$, ${\displaystyle \tan }$, και μερικές φορές cis και των αντιστρόφων τους). Οι περισσότερες επιτρέπουν την επιλογή της γωνίας μέτρησης: μοίρες, ακτίνια και, μερικές φορές grad. Οι περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού παρέχουν βιβλιοθήκες συναρτήσεων για να υπολογίζουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Η μονάδα κινητής υποδιαστολής FPU είναι ένας μικροεπεξεργαστής που υπάρχει στους περισσότερους προσωπικούς υπολογιστές, έχει ενσωματωμένες οδηγίες για τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Οι παρακάτω ταυτότητες σχετίζονται με το Πυθαγόρειο θεώρημα:^[1]:81

${\displaystyle \sin ^{2}\varphi +\cos ^{2}\varphi =1}$,

${\displaystyle \sec ^{2}\varphi -\tan ^{2}\varphi =1}$,

${\displaystyle \csc ^{2}\varphi -\cot ^{2}\varphi =1}$.

Η δεύτερη και η τρίτη προκύπτουν από την πρώτη διαιρώντας με ${\displaystyle \cos ^{2}\varphi }$ και ${\displaystyle \sin ^{2}\varphi }$ αντίστοιχα.

Ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις:^{[2][1]: 92-104}

• ${\displaystyle -1\leq \sin \varphi \leq 1}$ και ${\displaystyle -1\leq \cos \varphi \leq 1}$
• ${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi \right)=\cos \varphi }$ και ${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\varphi \right)=\sin \varphi }$
• ${\displaystyle \sin(\pi -\varphi )=\sin \varphi \,}$, ${\displaystyle \cos(\pi -\varphi )=-\cos \varphi \,}$ και ${\displaystyle \tan(\pi -\varphi )=-\tan \varphi }$

Οι παρακάτω ταυτότητες σχετίζονται με το άθροισμα και τη διαφορά δύο γωνιών:^{[3][1]: 114-123}

${\displaystyle \sin(\varphi \pm \theta )=\sin \varphi \cos \theta \pm \cos \varphi \sin \theta }$,

${\displaystyle \cos(\varphi \pm \theta )=\cos \varphi \cos \theta \mp \sin \varphi \sin \theta }$,

${\displaystyle \tan(\varphi \pm \theta )={\frac {\tan \varphi \pm \tan \theta }{1\mp \tan \varphi \ \tan \theta }}}$,

${\displaystyle \cot(\varphi \pm \theta )={\frac {\cot \varphi \ \cot \theta \mp 1}{\cot \theta \pm \cot \varphi }}}$.

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ${\displaystyle 2\varphi }$ μπορούν να γραφτούν συναρτήσει αυτών της γωνίας ${\displaystyle \varphi }$:^{[1]: 124-138}

${\displaystyle \sin(2\varphi )=2\sin \varphi \cdot \cos \varphi }$,

${\displaystyle \cos(2\varphi )={\cos }^{2}\varphi -{\sin }^{2}\varphi =2{\cos }^{2}\varphi -1}$,

${\displaystyle \tan(2\varphi )={\frac {2\tan \varphi }{1-{\tan }^{2}\varphi }}}$.

Αντίστοιχα, για τη γωνία ${\displaystyle 3\varphi }$:

${\displaystyle \sin(3\varphi )=3\sin \varphi -4{\cos }^{3}\varphi }$,

${\displaystyle \cos(3\varphi )=4{\cos }^{3}\varphi -3\cos \varphi }$,

${\displaystyle \tan(3\varphi )={\frac {3\tan \varphi -{\tan }^{3}\varphi }{1-3\tan ^{2}\varphi }}}$.

Γενικότερα τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ${\displaystyle n\cdot \varphi }$ για ${\displaystyle n}$ φυσικό αριθμό, μπορούμε να τις γράψουμε συναρτήσει των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ${\displaystyle \varphi }$ ως εξής:

${\displaystyle \sin(n\varphi )={\frac {e^{in\varphi }-e^{-in\varphi }}{2i}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot {\cos }^{k}\varphi \cdot {\sin }^{n-k}\varphi \cdot \sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (n-k)\cdot \pi \right)}$,

${\displaystyle \cos(n\varphi )={\frac {e^{in\varphi }+e^{-in\varphi }}{2}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot {\cos }^{k}\varphi \cdot {\sin }^{n-k}\varphi \cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (n-k)\cdot \pi \right)}$,

Για το άθροισμα και τη διαφορά των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δύο γωνιών ισχύει ότι:^{[1]: 139-162}

${\displaystyle \sin \varphi \pm \sin \theta =2\cdot \sin {\frac {\varphi \pm \theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\varphi \mp \theta }{2}}}$,

${\displaystyle \cos \varphi +\cos \theta =2\cdot \cos {\frac {\varphi +\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\varphi -\theta }{2}}}$,

${\displaystyle \cos \varphi -\cos \theta =-2\cdot \sin {\frac {\varphi +\theta }{2}}\cdot \sin {\frac {\varphi -\theta }{2}}}$,

${\displaystyle \tan \varphi \pm \tan \theta ={\frac {\sin(\varphi \pm \theta )}{\cos \varphi \cdot \cos \theta }}}$.

Ορισμένες εξισώσεις περιλαμβανομένων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι αληθείς για όλες τις γωνίες και είναι γνωστές ως τριγωνομετρικές ταυτότητες. Ορισμένες ταυτότητες εξισώνουν μια έκφραση σε μια διαφορετική έκφραση που περιλαμβάνει τις ίδιες γωνίες. Αυτά αναφέρονται στον κατάλογο των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων. Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες που συνδέουν τις πλευρές και γωνίες ενός δοσμένου τριγώνου αναφέρονται παρακάτω.

Στις ακόλουθες ταυτότητες, ${\displaystyle {\rm {\hat {A}}}}$, ${\displaystyle {\rm {\hat {B}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\hat {\Gamma }}}}$ είναι οι γωνίες ενός τριγώνου και ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ και ${\displaystyle \gamma }$ είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου απέναντι από τις αντίστοιχες γωνίες.

Ο νόμος των ημιτόνων (επίσης γνωστός ως «κανόνας ημίτονου») για ένα τυχόν τρίγωνο είναι η εξής σχέση:

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin {\hat {\rm {A}}}}}={\frac {\beta }{\sin {\hat {\rm {B}}}}}={\frac {\gamma }{\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}}=2R}$,

όπου ${\displaystyle R}$ είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Το εμβαδόν ${\displaystyle {\rm {E}}}$ ενός τριγώνου δίνεται από τον παρακάτω τύπο:^[4]: 65

${\displaystyle \mathrm {E} ={\tfrac {1}{2}}\cdot \alpha \beta \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}$.

Συνδυάζοντας τους παραπάνω δύο τύπους με τον τύπο του Ήρωνα, προκύπτει ότι^[5]:104

${\displaystyle \sin {\hat {\rm {A}}}={\frac {2}{\beta \gamma }}\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}}$,

${\displaystyle \sin {\hat {\rm {B}}}={\frac {2}{\gamma \alpha }}\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}}$,

${\displaystyle \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}={\frac {2}{\alpha \beta }}\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}}$,

και επίσης ότι

${\displaystyle R={\frac {\alpha \beta \gamma }{\sqrt {(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha -\beta +\gamma )(\alpha +\beta -\gamma )(\beta +\gamma -\alpha )}}}}$.

Ο νόμος των συνημιτόνων είναι γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήματος σε τρίγωνα που δεν είναι κατά ανάγκη ορθογώνια:

${\displaystyle \gamma ^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2\alpha \beta \cos \Gamma }$,

ή ισοδύναμα:

${\displaystyle \cos \Gamma ={\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{2\alpha \beta }}}$.

Ο νόμος των εφαπτομένων είναι η εξής σχέση:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {A}}-{\hat {B}})\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}({\hat {A}}+{\hat {B}})\right)}}}$.

Η σχέση αυτή προκύπτει από τους τύπους Mollweide:

${\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}=\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)}$,

και

${\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}=\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}})\right)}$.

Το θεώρημα των προβολών δίνει ότι^[4]:62

${\displaystyle \alpha =\beta \cdot \cos {\hat {\rm {\Gamma }}}+\gamma \cdot \cos {\hat {\rm {B}}}}$,

${\displaystyle \beta =\gamma \cdot \cos {\hat {\rm {A}}}+\alpha \cdot \cos {\hat {\rm {\Gamma }}}}$,

${\displaystyle \gamma =\alpha \cdot \cos {\hat {\rm {B}}}+\beta \cdot \cos {\hat {\rm {A}}}}$.

Ο τύπος του Όιλερ δίνει ότι ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ και συνεπάγεται τις ακόλουθες αναλυτικές ταυτότητες για το ημίτονο, συνημίτονο και την εφαπτομένη όσον αφορά το ${\displaystyle e}$ και τη φανταστική μονάδα ${\displaystyle i}$:

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.}$

• Ισχύουν οι εξής τύποι για τις μισές γωνίες:^{[1]: 243-246 [4]: 65 [5]: 104}

${\displaystyle \sin {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}={\sqrt {\frac {(\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\beta \gamma }}}}$, ${\displaystyle \quad \sin {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}={\sqrt {\frac {(\tau -\gamma )\cdot (\tau -\alpha )}{\gamma \alpha }}}}$ και ${\displaystyle \quad \sin {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )}{\alpha \beta }}}}$,

${\displaystyle \cos {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\alpha )}{\beta \gamma }}}}$, ${\displaystyle \quad \cos {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\beta )}{\gamma \alpha }}}}$ και ${\displaystyle \quad \cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}={\sqrt {\frac {\tau \cdot (\tau -\gamma )}{\alpha \beta }}}}$,

${\displaystyle \tan {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}={\sqrt {\frac {(\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau \cdot (\tau -\alpha )}}}={\frac {\rho }{\tau -\alpha }}}$, ${\displaystyle \quad \tan {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\gamma )}{\tau \cdot (\tau -\beta )}}}={\frac {\rho }{\tau -\beta }}}$ και ${\displaystyle \quad \tan {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )}{\tau \cdot (\tau -\gamma )}}}={\frac {\rho }{\tau -\gamma }}}$,

όπου ${\displaystyle \rho }$ είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και ${\displaystyle \tau }$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

• ${\displaystyle \sin {\hat {\rm {A}}}+\sin {\hat {\rm {B}}}+\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2R}}}$,^[1]: 143
• ${\displaystyle \sin(2{\hat {\rm {A}}})+\sin(2{\hat {\rm {B}}})+\sin(2{\hat {\rm {\Gamma }}})=2\sin {\hat {\rm {A}}}\cdot \sin {\hat {\rm {B}}}\cdot \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}$.^[1]: 233
• Για τα γινόμενα τριγωνομετρικών συναρτήσεων ισχύουν οι εξής σχέσεις:^{[4]: 72 [5]: 119,123}

${\displaystyle 4\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2R}}}$,

${\displaystyle 4\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}={\frac {\rho }{R}}}$,

${\displaystyle 4\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}={\frac {\rho _{\rm {A}}}{R}}}$,

• Για τα ύψη ${\displaystyle u_{\rm {A}},u_{\rm {B}},u_{\rm {\Gamma }}}$ ενός τριγώνου ισχύει ότι:^{[1]: 260 [5]: 126}

${\displaystyle {\upsilon }_{\rm {A}}=\alpha \cdot {\frac {\sin {\hat {\rm {B}}}\cdot \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}{\sin {\hat {\rm {A}}}}}}$, ${\displaystyle \quad {\upsilon }_{\rm {B}}=\beta \cdot {\frac {\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}\cdot \sin {\hat {\rm {A}}}}{\sin {\hat {\rm {B}}}}}}$ και ${\displaystyle \quad {\upsilon }_{\rm {\Gamma }}=\gamma \cdot {\frac {\sin {\hat {\rm {A}}}\cdot \sin {\hat {\rm {B}}}}{\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}}}$.

• Η ακτίνα ${\displaystyle \rho }$ του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, δίνεται από^{[1]: 261-262}

${\displaystyle \rho =\alpha \cdot {\frac {\sin {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}}{\cos {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}}}=\beta \cdot {\frac {\sin {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}}{\cos {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}}}=\gamma \cdot {\frac {\sin {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}}{\cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}}}}$,

και από

${\displaystyle \rho =(\tau -\alpha )\cdot \tan {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}=(\tau -\beta )\cdot \tan {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}=(\tau -\gamma )\cdot \tan {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}}$.

• Για τις διαμέσους ${\displaystyle \mu _{\rm {A}},\mu _{\rm {B}},\mu _{\rm {\Gamma }}}$ ενός τριγώνου, έχουμε ότι^{[1]: 261-262 [4]: 71 [5]: 127}

${\displaystyle \mu _{\alpha }^{2}=\alpha ^{2}\cdot {\frac {2\sin ^{2}{\hat {\rm {B}}}+2\sin ^{2}{\hat {\rm {\Gamma }}}-\sin ^{2}{\hat {\rm {A}}}}{4\cdot \sin ^{2}{\hat {\rm {A}}}}}}$, ${\displaystyle \quad \mu _{\beta }^{2}=\alpha ^{2}\cdot {\frac {2\sin ^{2}{\hat {\rm {\Gamma }}}+2\sin ^{2}{\hat {\rm {A}}}-\sin ^{2}{\hat {\rm {B}}}}{4\cdot \sin ^{2}{\hat {\rm {A}}}}}}$ και ${\displaystyle \quad \mu _{\gamma }^{2}=\alpha ^{2}\cdot {\frac {2\sin ^{2}{\hat {\rm {A}}}+2\sin ^{2}{\hat {\rm {B}}}-\sin ^{2}{\hat {\rm {\Gamma }}}}{4\cdot \sin ^{2}{\hat {\rm {A}}}}}}$.

• Οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων δίνονται από τις σχέσεις^[1]: 264

${\displaystyle \rho _{\rm {A}}=\alpha \cdot {\frac {\cos {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}}{\cos {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}}}}$, ${\displaystyle \quad \rho _{\rm {B}}=\beta \cdot {\frac {\cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}}{\cos {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}}}\quad }$ και ${\displaystyle \quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\gamma \cdot {\frac {\cos {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}}{\cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}}}}$,

και επίσης

${\displaystyle \rho _{\rm {A}}=\tau \cdot \tan {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}}$, ${\displaystyle \quad \rho _{\rm {B}}=\tau \cdot \tan {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}\quad }$ και ${\displaystyle \quad \rho _{\rm {\Gamma }}=\tau \cdot \tan {\frac {\rm {\hat {\Gamma }}}{2}}}$.

• Τα μήκη των εσωτερικών διχοτόμων ${\displaystyle \delta _{\rm {A}},\delta _{\rm {B}},\delta _{\rm {\Gamma }}}$ δίνονται από τις σχέσεις^{[1]: 265-266 [4]: 69 [5]: 128}

${\displaystyle \delta _{\rm {A}}={\frac {2\beta \gamma }{\beta +\gamma }}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}},}$ ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}={\frac {2\gamma \alpha }{\gamma +\alpha }}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}\quad }$ και ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}={\frac {2\alpha \beta }{\alpha +\beta }}\cdot \cos {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}}$,

και επίσης

${\displaystyle \delta _{\rm {A}}={\frac {\alpha \cdot \sin {\hat {\rm {B}}}\cdot \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}{\sin {\rm {A}}\cdot \cos {\frac {{\hat {\rm {B}}}-{\hat {\rm {\Gamma }}}}{2}}}}}$, ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}={\frac {\beta \cdot \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}\cdot \sin {\hat {\rm {A}}}}{\sin {\hat {\rm {B}}}\cdot \cos {\frac {{\hat {\rm {\Gamma }}}-{\hat {\rm {A}}}}{2}}}}\quad }$ και ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}={\frac {\gamma \cdot \sin {\hat {\rm {A}}}\cdot \sin {\hat {\rm {B}}}}{\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}\cdot \cos {\frac {{\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}}}{2}}}}}$.

• Τα μήκη των εξωτερικών διχοτόμων ${\displaystyle \delta _{\rm {A}}',\delta _{\rm {B}}',\delta _{\rm {\Gamma }}'}$ δίνονται από τις σχέσεις^{[1]: 266-267 [4]: 70}

${\displaystyle \delta _{\rm {A}}'={\frac {2\beta \gamma }{|\beta -\gamma |}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}}$, ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}'={\frac {2\gamma \alpha }{|\gamma -\alpha |}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}\quad }$ και ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}'={\frac {2\alpha \beta }{|\alpha -\beta |}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}}$.

και επίσης

${\displaystyle \delta _{\rm {A}}'={\frac {\alpha \cdot \sin {\hat {\rm {B}}}\cdot \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}{\sin {\hat {\rm {A}}}\cdot \sin {\frac {{\hat {\rm {B}}}-{\hat {\rm {\Gamma }}}}{2}}}}}$, ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}'={\frac {\beta \cdot \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}\cdot \sin {\hat {\rm {A}}}}{\sin {\hat {\rm {B}}}\cdot \sin {\frac {{\hat {\rm {\Gamma }}}-{\hat {\rm {A}}}}{2}}}}\quad }$ και ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}'={\frac {\gamma \cdot \sin {\hat {\rm {A}}}\cdot \sin {\hat {\rm {B}}}}{\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}\cdot \sin {\frac {{\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}}}{2}}}}}$.

Η σφαιρική τριγωνομετρία αποτελεί εν μέρει αντικείμενο της ουράνιας μηχανικής στην αστρονομία και αφορά στην επίλυση σφαιρικών τριγώνων.

Η τριγωνομετρία και οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις βρίσκουν εφαρμογές σε πολλούς τομείς. Για παράδειγμα, η τεχνική του τριγωνισμού χρησιμοποιείται στην αστρονομία για να μετρήσει την απόσταση σε κοντινά αστέρια, στη γεωγραφία για τη μέτρηση αποστάσεων μεταξύ ορόσημων, και στα συστήματα δορυφορικής πλοήγησης. Οι συναρτήσεις ημίτονου και συνημίτονου είναι θεμελιώδους σημασίας στη θεωρία των περιοδικών συναρτήσεων όπως αυτές που περιγράφουν τα κύματα ήχου και φωτός.

Τα επιστημονικά πεδία που χρησιμοποιούν την τριγωνομετρία ή τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις συμπεριλαμβάνουν το πεδίο της αστρονομίας (ειδικά για τον εντοπισμό θέσης των ουράνιων αντικειμένων, στην οποία η σφαιρική τριγωνομετρία είναι απαραίτητη) και ως εκ τούτου στην πλοήγηση (στους ωκεανούς, σε αεροσκάφη, και στο διάστημα), θεωρία της μουσικής, σύνθεση ήχου, ακουστική, οπτική, ανάλυση των χρηματοπιστωτικών αγορών, θεωρία πιθανοτήτων, στατιστική, βιολογία, ακτινοδιαγνωστική (ακτινογραφία και υπερηχογράφημα), φαρμακευτική, χημεία, θεωρία αριθμών (και ως εκ τούτου, κρυπτογραφία), σεισμολογία, μετεωρολογία, ωκεανογραφία, πολλές φυσικές επιστήμες, τοπογραφία και γεωδαισία, την αρχιτεκτονική, φωνητική, οικονομία, ηλεκτρονική, μηχανολογία, κατασκευές, γραφικά υπολογιστών, χαρτογραφία, κρυσταλλογραφία και την ανάπτυξη παιχνιδιών.

• Τριγωνομετρική συνάρτηση

Το Βικιλεξικό έχει σχετικό λήμμα:   τριγωνομετρία

Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα    Τριγωνομετρία

• http://portal.survey.ntua.gr/main/courses/hisatgeodesy/geoastro/book/GeoAstro_chapter11.pdf Αρχειοθετήθηκε 2013-04-18 στο Wayback Machine.