Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου

Ένα τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ έχει τρεις εξωτερικές διχοτόμους μία για κάθε κορυφή. Το διπλανό σχήμα δείχνει την εξωτερική διχοτόμο που αντιστοιχεί στην κορυφή ${\displaystyle \mathrm {A} }$. Οι εξωτερικές διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με ${\displaystyle \delta _{\rm {A}}',\delta _{\rm {B}}',\delta _{\rm {\Gamma }}'}$ ή ${\displaystyle \delta _{\alpha }',\delta _{\beta }',\delta _{\gamma }'}$ αντίστοιχα. Η εξωτερική διχοτόμος ${\displaystyle \delta _{\rm {A}}'}$ είναι κάθετη στην εσωτερική διχοτόμο ${\displaystyle \delta _{\rm {A}}}$.^{[1]:52[2]:79-89[3][4][5]:265-266}

Το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ η εξωτερική διχοτόμος ${\displaystyle \mathrm {A\Delta '} }$ ενός τριγώνου ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ με ${\displaystyle \mathrm {AB} <\mathrm {A\Gamma } }$ ικανοποιεί^[4]: 95-96

${\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.}$

Σε ένα τρίγωνο ${\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }$ οι εξωτερικές διχοτόμοι ${\displaystyle \delta _{\rm {A}}',\delta _{\rm {B}}'}$ και η εσωτερική διχοτόμος ${\displaystyle \delta _{\rm {\Gamma }}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στις τρεις πλευρές του τριγώνου.^[2]: 80-81 Ονομάζεται το παράκεντρο ${\displaystyle \mathrm {J} _{\mathrm {\Gamma } }}$ του τριγώνου και ο κύκλος λέγεται παρεγγεγραμμένος. Αντίστοιχα, ορίζονται και τα παράκεντρα ${\displaystyle {\rm {J_{B}}}}$ και ${\displaystyle {\rm {J_{\Gamma }}}}$.

Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:^{[3]: 40 [4]: 125-126}

${\displaystyle (\delta _{\rm {A}}')^{2}=\beta \gamma \cdot \left({\frac {\alpha ^{2}}{(\beta -\gamma )^{2}}}-1\right)}$, ${\displaystyle \quad (\delta _{\rm {B}}')^{2}=\gamma \alpha \cdot \left({\frac {\beta ^{2}}{(\gamma -\alpha )^{2}}}-1\right)\quad }$ και ${\displaystyle (\delta _{\rm {\Gamma }}')^{2}=\alpha \beta \cdot \left({\frac {\gamma ^{2}}{(\alpha -\beta )^{2}}}-1\right)}$.

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις^{[5]: 266-267 [3]: 70}

${\displaystyle \delta _{\rm {A}}'={\frac {2\beta \gamma }{|\beta -\gamma |}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}}$, ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}'={\frac {2\gamma \alpha }{|\gamma -\alpha |}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {B}}}{2}}\quad }$ και ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}'={\frac {2\alpha \beta }{|\alpha -\beta |}}\cdot \sin {\frac {\hat {\rm {\Gamma }}}{2}}}$.

και επίσης

${\displaystyle \delta _{\rm {A}}'={\frac {\alpha \cdot \sin {\hat {\rm {B}}}\cdot \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}}{\sin {\hat {\rm {A}}}\cdot \sin {\frac {{\hat {\rm {B}}}-{\hat {\rm {\Gamma }}}}{2}}}}}$, ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {B}}'={\frac {\beta \cdot \sin {\hat {\rm {\Gamma }}}\cdot \sin {\hat {\rm {A}}}}{\sin {\hat {\rm {B}}}\cdot \sin {\frac {{\hat {\rm {\Gamma }}}-{\hat {\rm {A}}}}{2}}}}\quad }$ και ${\displaystyle \quad \delta _{\rm {\Gamma }}'={\frac {\gamma \cdot \sin {\hat {\rm {A}}}\cdot \sin {\hat {\rm {B}}}}{\sin {\hat {\rm {\Gamma }}}\cdot \sin {\frac {{\hat {\rm {A}}}-{\hat {\rm {B}}}}{2}}}}}$.

• Διχοτόμος γωνίας
• Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου