Αλεξάντερ Μπίλινσον

Το 1978, ο Μπίλινσον δημοσίευσε μια εργασία σχετικά με συνεκτικές δέσμες και διάφορα προβλήματα στη γραμμική άλγεβρα. Το δισέλιδο σημείωμά του στο περιοδικό Functional Analysis and its applications (Λειτουργική Ανάλυση και οι εφαρμογές της) είναι ένα από τα άρθρα για τη μελέτη των κατηγοριών που προέρχονται από συνεκτικές δέσμες.

Το 1981, ο Μπίλινσον ανακοίνωσε την απόδειξη της εικασίας Καζντάν-Λούστιγκ και της εικασίας Γιάντζεν μαζί με τον Τζόζεφ Μπερνστάιν. Ανεξάρτητα από τον Μπίλινσον και τον Μπερνστάιν, οι Ζαν-Λυκ Μπριλίνσκι και Μασάκι Κασιβάρα πέτυχαν μια απόδειξη των εικασιών Καζντάν-Λούστιγκ. Ωστόσο, η απόδειξη των Μπίλινσον-Μπερνστάιν παρέχει επίσης μια μέθοδο εντοπισμού που καθιερώνει μια γεωμετρική περιγραφή ολόκληρης της κατηγορίας των απεικονίσεων της άλγεβρας Lie, "απλώνοντας" τις γεωμετρικές απεικονίσεις των αντικειμένων ζωής πάνω στη γενικευμένη ποικιλία των σημαιών^[3]. Αυ��ά τα γεωμετρικά αντικείμενα έχουν φυσικά μια εγγενή έννοια της παράλληλης μεταφοράς: είναι D-modules.

Το 1982, ο Μπίλινσον συνεργάστηκε με τους Τζόζεφ Μπερνστάιν, Πιερ Ντελίν και Οφέρ Γκάμπερ για τις διαστρεβλωμένες δέσμες: καθιέρωσαν το "θεώρημα αποσύνθεσης των Μπίλινσον, Μπερνστάιν, Ντελίν και Γκάμπερ", το οποίο, χάρη στο θεώρημα καθαρότητας του Γκάμπερ, οδηγεί στο πολύ δύσκολο θεώρημα του Λέφσετζ για τα υπερεπίπεδα^[4].

Επίσης, το 1982 ο Μπίλινσον δημοσίευσε τις δικές του εικασίες σχετικά με την ύπαρξη ομάδων κινητικής κοχομολογίας για σχήματα, που υλοποιούνται ως ομάδες υπερχομολογίας ενός συμπλέγματος αβελιανών ομάδων και συνδέονται με την αλγεβρική Κ-θεωρία μέσω μιας κινητικής φασματικής ακολουθίας ανάλογης με τη φασματική ακολουθία Ατίγια-Χίρζεμπρουχ στην αλγεβρική τοπολογία. Οι εικασίες αυτές ονομάστηκαν έκτοτε εικασίες Μπίλινσον - Σούλε- συνδέονται στενά με το πρόγραμμα του Βλαντιμίρ Βοεβόντσκι για την ανάπτυξη μιας ομοτοπικής θεωρίας για σχήματα.

Το 1984 ο Μπίλινσον δημοσίευσε μια εργασία με τίτλο Ανώτεροι ρυθμιστές και τιμές συναρτήσεων L, στην οποία συσχετίζει τους ανώτερους ρυθμιστές με την Κ-θεωρία και τη σχέση τους με τις συναρτήσεις L. Η εργασία παρέχει επίσης μια γενίκευση της εικασίας των Quillen-Lichtenbaum σε αριθμητικές ποικιλίες για ομάδες Κ-θεωρίας αριθμητικών δακτυλίων, την εικασία του Χοτζ, την εικασία του Τέιτ για αλγεβρικούς κύκλους και την εικασία των Μπιρτς και Σουίνερτον-Ντάιερ για ελλειπτικές καμπύλες Κ2.

Ο Μπίλινσον συνέχισε να εργάζεται πάνω στην αλγεβρική ��-θεωρία στα μέσα της δεκαετίας του 1980. Συνεργάστηκε με τον Πιερ Ντελίν για την ανάπτυξη μιας αιτιολογικής ερμηνείας των πολυλογαριθμικών συναρτήσεων του Ντον Ζαγκέρ.

Από τις αρχές της δεκαετίας του 1990, ο Μπίλινσον συνεργάζεται με τον Βλαντιμίρ Ντρινφελντ για την αναδόμηση της θεωρίας των αλγεβρών κορυφής. Μετά από μια άτυπη διάχυση, η έρευνα αυτή δημοσιεύτηκε το 2004 σε μια μονογραφία για τις χειρικές άλγεβρες. Αυτό οδήγησε σε νέες προόδους στη θεωρία συμμορφούμενων πεδίων, στη θεωρία χορδών και στο πρόγραμμα Langlands. Ήταν προσκεκλημένος ερευνητής στο Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών το φθινόπωρο του 1994 και από το 1996 έως το 1998^[5].

Το 1999 ο Μπίλινσον τιμήθηκε με το βραβείο Οστρόφσκι μαζί με τον Χέλμουτ Χόφερ. Το 1984, του απονεμήθηκε το Μαθηματικό Βραβείο της Μαθηματικής Εταιρείας της Μόσχας. Το 2018, του απονεμήθηκε το βραβείο Βολφ για τα Μαθηματικά^[6].

Το 1983 ο Μπίλινσον ήταν προσκεκλημένος ομιλητής στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών στη Βαρσοβία με διάλεξη με τίτλο Εντοπισμός αναπαραστάσεων αναγωγικών αλγεβρών Lie. Το 2000 έγινε μέλος της Ευρωπαϊκής Ακαδημίας (Academia Europaea). Το 2008 εξελέγη μέλος της Αμερικανικής Ακαδημίας Τεχνών και Επιστημών^[7]. Το 2017 εξελέγη μέλος της Εθνικής Ακαδημίας Επιστημών^[8]. Το 2020 του απονεμήθηκε μαζί με τον Ντέιβιντ Καζντάν το Βραβείο Σο «για την τεράστια επιρροή τους και τη βαθιά συμβολή τους στη θεωρία αναπαραστάσεων, καθώς και σε πολλούς άλλους τομείς των μαθηματικών»^[9].

• Beilinson, A. A.· Drinfeld, V. (2004). Chiral Algebras. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3528-9. 
• Beilinson, A. A.; Ginzburg, V.; Soergel, W. (1996). «Koszul duality patterns in representation theory». Journal of the American Mathematical Society 9 (2): 473–527. doi:10.1090/S0894-0347-96-00192-0. ISSN 0894-0347. 
• Beilinson, A. A.; Lusztig, G.; MacPherson, R. (1990). «A geometric setting for the quantum deformation of GL_n». Duke Mathematical Journal 61 (2): 655–677. doi:10.1215/S0012-7094-90-06124-1. ISSN 0012-7094. https://archive.org/details/sim_duke-mathematical-journal_1990-10_61_2/page/n330. 
• Beilinson, A. A.; Ginzburg, V.; Schechtman, V. (1988). «Koszul duality». Journal of Geometry and Physics 5 (3): 317–350. doi:10.1016/0393-0440(88)90028-9. ISSN 0393-0440. Bibcode: 1988JGP.....5..317B. 
• Beilinson, A. A. (1987). «How to glue perverse sheaves». 1289. Springer-Verlag, pp. 42–51. 
• Beilinson, A. A. (1987). «On the derived category of perverse sheaves». 1289. Springer-Verlag, pp. 27–41. 
• Beilinson, A. A.; MacPherson, R.; Schechtman, V. (1987). «Notes on motivic cohomology». Duke Mathematical Journal 54 (2): 679–710. doi:10.1215/S0012-7094-87-05430-5. ISSN 0012-7094. https://archive.org/details/sim_duke-mathematical-journal_1987_54_2/page/n414. 
• Beilinson, A. A. (1986). «Notes on absolute Hodge cohomology». 55. American Mathematical Society, pp. 35–68. 
• Beilinson, A. A. (1984). «Higher regulators and values of L-functions». 24. Akad. Nauk SSSR Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moscow, pp. 181–238. 
• Beilinson, A. A.; Bernstein, J.; Deligne, P. (1982). «Faisceaux pervers». 100. Soc. Math. France, Paris, pp. 5–171. 
• Beilinson, A. A. (1980). «Residues and adèles». Funktsional. Anal. I Prilozhen. 14 (1): 44–45. ISSN 0374-1990. 
• Beilinson, A. A. (1978). «Coherent sheaves on Pⁿ and problems in linear algebra». Funktsional. Anal. I Prilozhen. 12 (3): 68–69. doi:10.1007/BF01681436. ISSN 0374-1990.