Zyklische Zahl

Eine zyklische Zahl (auch: Phönixzahl^[1][2]) ist eine ${\displaystyle n}$-stellige natürliche Zahl, deren Produkt bei Multiplikation mit einer natürlichen Zahl von 1 bis ${\displaystyle n}$ die gleichen Ziffern wie die Ausgangszahl in derselben zyklischen Reihenfolge enthält.

Die kleinste nichttriviale zyklische Zahl im Dezimalsystem ist 142857:

${\displaystyle {\begin{array}{rrr}1\cdot 142.857&=&{\mathtt {142.857}}.\\2\cdot 142.857&=&{\mathtt {285.714}}.\\3\cdot 142.857&=&{\mathtt {428.571}}.\\4\cdot 142.857&=&{\mathtt {571.428}}.\\5\cdot 142.857&=&{\mathtt {714.285}}.\\6\cdot 142.857&=&{\mathtt {857.142}}.\\7\cdot 142.857&=&{\mathtt {999.999}}.\\\end{array}}}$

Leonard E. Dickson fand heraus, dass alle zyklischen Zahlen Perioden von periodischen Zahlen sind, die man als Kehrwert bestimmter Primzahlen gewinnen kann. So ist der Kehrwert von 7 gleich 0,142857142857… und enthält genau die erste zyklische Zahl als Periode: ${\displaystyle {\overline {142857}}}$. Solche Zahlen, die Perioden einer zyklischen Zahl erzeugen, werden auch Generatorzahlen genannt:

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313 … (Folge A001913 in OEIS)

Generatorzahlen im Dezimalsystem sind genau die Primzahlen ${\displaystyle p}$, welche die folgenden Bedingungen erfüllen^[3]:

1. Die Zahlenbasis 10 ist kein Vielfaches von ${\displaystyle p}$.

2. Für natürliche Zahlen ${\displaystyle 0<n<p-1}$ ist ${\displaystyle 10^{n}-1}$ kein Vielfaches von ${\displaystyle p}$.

3. ${\displaystyle p}$ teilt die Zahl ${\displaystyle 10^{p-1}-1}$, das heißt ${\displaystyle 10^{p-1}-1}$ ist Vielfaches von ${\displaystyle p}$ bzw. es gilt ${\displaystyle 10^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$.

Die 486-stellige zyklische Zahl, die bei 487 entsteht, ist (bisher) die einzige bekannte, die selber durch ihre Generatorzahl teilbar ist. Damit hat die Periode von ${\displaystyle {\tfrac {1}{487^{2}}}}$ auch nur so viele Stellen wie die von ${\displaystyle {\tfrac {1}{487}}}$, eben 486 und nicht die sonst zu erwartenden 486 × 487 = 236682. Dementsprechend erscheint auch bei der Primfaktorzerlegung der Zahl mit 486 Neunen bzw. Einsen (Repunitzahl) der Faktor 487 im Quadrat.^[4]

Triviale zyklische Zahlen sind alle einstelligen Zahlen (${\displaystyle n=1}$). Die ersten nicht-trivialen zyklischen Zahlen sind:

1. 142857   (6-stellig, erzeugt aus 1/7)
2. 0588235294117647   (16-stellig, erzeugt aus 1/17)
3. 052631578947368421   (18-stellig, erzeugt aus 1/19)
4. 0434782608695652173913   (22-stellig, erzeugt aus 1/23)
5. 0344827586206896551724137931   (28-stellig, erzeugt aus 1/29)

• Jede nicht-triviale zyklische Zahl (im Dezimalsystem) ist durch 9 teilbar, z. B. 142857 / 9 = 15873.
• Multiplikation mit der Generatorzahl ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 142857 × 7 = 999999.
• Gruppenweises Summieren ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 142 + 857 = 999 und 14 + 28 + 57 = 99 (Midy's Theorem).^[5] Dafür muss die Gruppenlänge hinreichend groß sein. Ist die Anzahl der Stellen durch eine Zahl beginnend bei 1 nicht teilbar, so sind für Aufteilungen in eine größere Anzahl an Gruppen keine Neunen-Folge mehr zu erwarten.
• Emil Artin stellte im Jahr 1927 die Vermutung auf, dass der Anteil der Generatorzahlen an der Menge aller Primzahlen gleich der Artin-Konstante C = 0,3739558136192… (Folge A005596 in OEIS) ist. Diese ist über die Lucas-Zahlen mit der Primzetafunktion verknüpft und bestimmbar.

Zyklische Zahlen lassen sich in fast allen Zahlensystemen bilden, sofern deren Zahlenbasis keine Quadratzahl ist; im Quaternärsystem (Basis 4 = 2²) oder im Hexadezimalsystem (Basis 16 = 4²) gibt es daher keine zyklischen Zahlen.

Beispiel: Zur Zahlenbasis ${\displaystyle B=2}$ ist für ${\displaystyle p=11}$ die Zahl

${\displaystyle z:={\frac {B^{p-1}-1}{p}}={\frac {2^{10}-1}{11}}={\frac {1023}{11}}=93=0001011101_{2}}$

eine zyklische Zahl. Denn es ist:

${\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}1\cdot 93&=&0001_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0001011101}}_{2}.\\2\cdot 93&=&0010_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0010111010}}_{2}.\\3\cdot 93&=&0011_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0100010111}}_{2}.\\4\cdot 93&=&0100_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0101110100}}_{2}.\\5\cdot 93&=&0101_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {0111010001}}_{2}.\\6\cdot 93&=&0110_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1000101110}}_{2}.\\7\cdot 93&=&0111_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1010001011}}_{2}.\\8\cdot 93&=&1000_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1011101000}}_{2}.\\9\cdot 93&=&1001_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1101000101}}_{2}.\\10\cdot 93&=&1010_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1110100010}}_{2}.\\11\cdot 93&=&1011_{2}\cdot 0001011101_{2}&=&{\mathtt {1111111111}}_{2}.\end{array}}}$

Deshalb wird die Primzahl ${\displaystyle p=11}$ eine lange Primzahl im Dualsystem (d. h. zur Basis ${\displaystyle B=2}$) genannt.

In vielen Zahlenbasen kann man zyklische Zahlen ${\displaystyle z}$ nach der Formel ${\displaystyle z={\frac {B^{q-1}-1}{q}}}$ (mit der Zahlenbasis ${\displaystyle B}$ und dem Teiler ${\displaystyle q}$) darstellen, sofern ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle q}$ ( ${\displaystyle 0<q<B}$ ) teilerfremd sind und die Modulzahl (${\displaystyle B}$ modulo ${\displaystyle q}$) nicht ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ oder größer ${\displaystyle 3}$ sind. Schöne zyklische Zahlen enthalten jede Ziffer nur einmal. Hier ist eine Tabelle aus jüngster Zeit:

1. ${\displaystyle B=5}$, ${\displaystyle q=3}$: 13
2. ${\displaystyle B=7}$, ${\displaystyle q=5}$: 1254
3. ${\displaystyle B=8}$, ${\displaystyle q=5}$: 1463
4. ${\displaystyle B=10}$, ${\displaystyle q=7}$: 142857
5. ${\displaystyle B=12}$, ${\displaystyle q=7}$: 186A35
6. ${\displaystyle B=13}$, ${\displaystyle q=11}$: 12495BA837
7. ${\displaystyle B=20}$, ${\displaystyle q=17}$: 13ABF5HCIG984E27
8. ${\displaystyle B=22}$, ${\displaystyle q=19}$: 13A95H826KIBCG4DJF
9. ${\displaystyle B=31}$, ${\displaystyle q=29}$: 248H36CPK9J7ETSQMDROI5ALBNG
10. ${\displaystyle B=32}$, ${\displaystyle q=29}$: 139TPC4D7N5GHKUSM26JRIO8QFEB
11. ${\displaystyle B=34}$, ${\displaystyle q=31}$: 139TKSHILVRE8QAWUO4D5GFC26JP7N
12. ${\displaystyle B=39}$, ${\displaystyle q=37}$: 1248GXSHZWQDRFVO9IbaYUM5AL36CPBN7ETK
13. ${\displaystyle B=46}$, ${\displaystyle q=43}$: 139SeThdQYAW4CcNORbKEigaH5G26JBZDfX7MLI8PV
14. ${\displaystyle B=50}$, ${\displaystyle q=47}$: 139Sa8PQTdI4CcEiY26J7MH139Sa8PQTdI4CcEiY26J7MH
15. ${\displaystyle B=56}$, ${\displaystyle q=53}$: 139STWgEiL7MAVd5FlUZphHrnasqkRQNDfBYmXjOGoe8PK4Cc26J
16. ${\displaystyle B=63}$, ${\displaystyle q=61}$: 1248GX36COna9IbBMjRtmY5AKfJdFUzywskTxuocDQriPpeHZ7ESvqgLhNlW

Dabei werden die Buchstaben A, B, C, ... für die Ziffernwerte 10, 11, 12, ... verwendet sowie a, b, c, ... für die Ziffernwerte 36, 37, 38, ...

Parasitäre Zahl

• Manfred Scholtyssek: Hexeneinmaleins, 3. Auflage 1984, Kinderbuchverlag Berlin (DDR)
• Leonard E. Dickson: History of the Theory of Numbers. Washington 1932 (3 Bde.)

• Eric W. Weisstein: Cyclic Number. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ Endre Hódi (Hrsg.): Mathematisches Mosaik, Urania, Leipzig 1977
2. ↑ Manfred Scholtyssek: Hexeneinmaleins, 3. Auflage 1984, Kinderbuchverlag Berlin (DDR)
3. ↑ Eric W. Weisstein: Full Reptend Prime. In: MathWorld (englisch).
4. ↑ Factorizations of 11…11 (Repunit). (Memento vom 12. November 2013 im Internet Archive)
5. ↑ Eric W. Weisstein: Midy's Theorem. In: MathWorld (englisch).