Kontaminierte Normalverteilung

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Die kontaminierte Normalverteilung ist eine besondere Form der Mischverteilung. Sie spielt eine große Rolle in der robusten Statistik bei der Untersuchung statistischer Schätzer und statistischer Tests.

Die reelle Zufallsvariable ${\displaystyle X\,}$ hat eine kontaminierte Normalverteilung, wenn sich ihre Dichtefunktion ${\displaystyle f}$ in der Form

${\displaystyle f(x)=(1-\varepsilon )\,{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{1}}}\operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu _{1}}{\sigma _{1}}}\right)^{2}}+\varepsilon \,{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{2}}}\operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu _{2}}{\sigma _{2}}}\right)^{2}}}$

mit ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}\in \mathbb {R} ,\sigma _{1},\sigma _{2}\in (0,\infty )}$ und ${\displaystyle \varepsilon \in [0,1]}$, also als Konvexkombination von zwei Normalverteilungs-Dichtefunktionen darstellen lässt.

Die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ hat dann die Gestalt

${\displaystyle F(x)=(1-\varepsilon )\,\Phi \left({\frac {x-\mu _{1}}{\sigma _{1}}}\right)+\varepsilon \,\Phi \left({\frac {x-\mu _{2}}{\sigma _{2}}}\right)}$,

wobei ${\displaystyle \Phi }$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

Für den Erwartungswert und die Varianz gilt:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=(1-\varepsilon )\mu _{1}+\varepsilon \mu _{2}}$,

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=(1-\varepsilon )\sigma _{1}^{2}+\varepsilon \sigma _{2}^{2}+\varepsilon (1-\varepsilon )(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}$.

Oft werden durch zusätzliche Bedingungen wie ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}\,}$ Spezialfälle abgeleitet (skalenkontaminierte Normalverteilung).

Ein Hersteller von elektronischen Geräten benutzt Kondensatoren mit der Kapazität 5 Nanofarad [nF], die er von zwei Herstellern bezieht. Die von A hergestellten zeigen eine etwas geringere Streuung als die vom B. Vom Hersteller A stammen 60 % der bezogenen Kondensatoren, von B 40 %. Man nehme an, im genügend weiten Bereich ist die Kapazität der Kondensatoren von beiden Herstellern normalverteilt mit Parametern ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}}$. Sei ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=5\,[\mathrm {nF} ]\,}$ und ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=0{,}0144\,[\mathrm {nF} ^{2}],\sigma _{2}^{2}=0{,}0225\,[\mathrm {nF} ^{2}]}$.

Eine Abweichung von mehr als 10 % vom Sollwert ${\displaystyle 5\,[\mathrm {nF} ]}$ der Kapazität sei unerwünscht. Es stellt sich daher die folgende Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kondensator eine um mehr als 10 % abweichende Kapazität vom Sollwert aufweist?

${\displaystyle 10\,\%\,\cdot \,5=0{,}5\,,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X<4{,}5\cup X>5{,}5)&=\left(0{,}6\,\cdot \,\Phi \left({\frac {(5-0{,}5)-5}{\sqrt {0{,}0144}}}\right)\,+\,0{,}4\,\cdot \,\Phi \left({\frac {(5-0{,}5)-5}{\sqrt {0{,}0225}}}\right)\right)\\&\qquad +\left(1-0{,}6\,\cdot \,\Phi \left({\frac {(5+0{,}5)-5}{\sqrt {0{,}0144}}}\right)\,+\,1-0{,}4\,\cdot \,\Phi \left({\frac {(5+0{,}5)-5}{\sqrt {0{,}0225}}}\right)\right)\\&=\left(0{,}6\,\cdot \,\Phi \left({\frac {-0{,}5}{0{,}12}}\right)\,+\,0{,}4\,\cdot \,\Phi \left({\frac {-0{,}5}{0{,}15}}\right)\right)+\left(1-0{,}6\,\cdot \,\Phi \left({\frac {0{,}5}{0{,}12}}\right)\,+\,1-0{,}4\,\cdot \,\Phi \left({\frac {0{,}5}{0{,}15}}\right)\right)\\&=2\,\cdot \,\left(0{,}6\,\cdot \,\Phi \left({\frac {-0{,}5}{0{,}12}}\right)\,+\,0{,}4\,\cdot \,\Phi \left({\frac {-0{,}5}{0{,}15}}\right)\right)\\&\approx 2\,\cdot \,\left(0{,}6\,\cdot \,0{,}000015464+0{,}4\,\cdot \,0{,}000429117\right)\\&=0{,}000361849\end{aligned}}}$

Ein Anteil von zirka 0,000361849 aller Kondensatoren zeigt bezüglich der Kapazität eine höhere Abweichung als 10 %.