Trägheitstensor

Der Trägheitstensor hat in den Bewegungsgleichungen der Mechanik eine vergleichbare Position bezüglich der Rotation, wie die Masse bezüglich der Translation.

Jenseits der formal gleichen Position als Ausdruck der Trägheit, die kinematische Größe (Winkel-)Geschwindigkeit mit der dynamischen Größe (Dreh-)impuls zu verknüpfen, bestehen wesentliche Unterschiede, die die Rotationen gegenüber den Translationen auszeichnen:

• die Masse ist eine skalare Größe, der Trägheitstensor ein Tensor zweiter Stufe.
• Impuls und Geschwindigkeit sind immer parallel, Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit im Allgemeinen nicht.
• Die Masse ist in allen Bezugssystemen zeitlich konstant, der Trägheitstensor hängt im Allgemeinen von der Ausrichtung des Körpers und seiner Lage zum Bezugspunkt ab. Da diese sich ändern können, sind die Komponenten zeitabhängig, während bei Translationen die Masse konstant ist. Nur in einem körperfesten Bezugssystem sind die Komponenten des Trägheitstensors konstant.

Für den Drehimpuls ${\displaystyle {\vec {L}}}$  einer Punktmasse bezüglich des Koordinatenursprungs gilt:

${\displaystyle {\vec {L}}=m\,{\vec {r}}\times {\vec {v}}=m\,{\vec {r}}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})}$ .

Hier sind:

• ${\displaystyle m}$ : die Masse der Punktmasse
• ${\displaystyle {\vec {r}}}$ : der Ortsvektor der Punktmasse
• ${\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}}$ : die Geschwindigkeit der Punktmasse
• ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ : die Winkelgeschwindigkeit der Punktmasse relativ zum Koordinatenursprung

Dies lässt sich mit Hilfe der BAC-CAB-Formel, dem Einheitstensor ${\displaystyle \mathbf {1} }$  und dem Operator ${\displaystyle \otimes }$  für das dyadische Produkt umformen zu:

${\displaystyle {\vec {L}}=m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]\cdot {\vec {\omega }}}$ 

Mit der Definition des Trägheitstensors ${\displaystyle \mathbf {\Theta } }$ :

${\displaystyle \mathbf {\Theta } :=m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]}$ 

ergibt sich der oben genannte Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \textstyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}}$ .

Die Matrixdarstellung des Trägheitstensors ${\displaystyle \mathbf {\Theta } }$  bezüglich der Orthonormalbasis mit den Einheitsvektoren ${\displaystyle {\hat {e}}_{1,2,3}}$  erhält man aus der Bilinearform ${\displaystyle \Theta _{ij}={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\hat {e}}_{j}}$ , wobei die Indizes ${\displaystyle i,j}$  die Koordinaten nummerieren:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{ij}&={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\hat {e}}_{j}\\&={\hat {e}}_{i}\cdot m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]\cdot {\hat {e}}_{j}\\&=m\,{\hat {e}}_{i}\cdot [({\vec {r}}\cdot {\vec {r}}){\hat {e}}_{j}-({\vec {r}}\cdot {\hat {e}}_{j}){\vec {r}}]\\&=m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})({\hat {e}}_{i}\cdot {\hat {e}}_{j})-r_{j}({\hat {e}}_{i}\cdot {\vec {r}})]\\&=m\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\delta _{ij}-r_{i}\,r_{j}]\\\Rightarrow \Theta &=m\,{\begin{pmatrix}(r_{2}^{2}+r_{3}^{2})&-r_{1}r_{2}&-r_{1}r_{3}\\-r_{1}r_{2}&(r_{1}^{2}+r_{3}^{2})&-r_{2}r_{3}\\-r_{1}r_{3}&-r_{2}r_{3}&(r_{1}^{2}+r_{2}^{2})\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$ 

Hier sind zusätzlich:

• ${\displaystyle {\vec {r}}=(r_{1},\,r_{2},\,r_{3})}$  die Koordinaten des Ortsvektors
• ${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{für}}\;i=j\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$  das Kronecker-Delta

Der Trägheitstensor ist ein symmetrischer Tensor, denn es gilt stets ${\displaystyle \Theta _{ij}=\Theta _{ji}}$ .

Die Elemente des Trägheitstensors in einer Koordinatendarstellung haben unmittelbare physikalische Bedeutung:

Die drei Elemente der Hauptdiagonale sind die Trägheitsmomente des Körpers bei Rotation um die jeweilige Achse des Koordinatensystems. Das Trägheitsmoment ${\displaystyle \Theta _{ee}}$  um eine Achse in Richtung eines beliebigen Einheitsvektors ${\displaystyle {\hat {e}}}$  ergibt sich durch

${\displaystyle \Theta _{ee}={\hat {e}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\hat {e}}}$ .

Das sieht man einfach an der obigen Matrixdarstellung, wenn man den gewählten Einheitsvektor ${\displaystyle {\hat {e}}}$  durch zwei weitere Einheitsvektoren zu einer Orthogonalbasis erweitert. Denn die Diagonalelemente sind die Trägheitsmomente um die Richtungen der Basisvektoren.

Die Nichtdiagonalelemente heißen Deviationsmomente. Sie geben (nach Multiplikation mit ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ) die Drehmomente an, die von den Lagern ausgeübt werden müssen, damit die Drehachse ihre Richtung beibehält.

Im Allgemeinen gilt ${\displaystyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}}$ . Aus der positiven Definitheit des Tensors ${\displaystyle \mathbf {\Theta } }$  folgt, dass es in drei Raumdimensionen auch drei positive Eigenwerte ${\displaystyle \Theta _{k}}$  und zugehörige Eigenvektoren ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{k}}$  gibt, für die gilt ${\displaystyle {\vec {L}}=\Theta _{k}{\vec {\omega }}_{k}}$ .

Die Eigenvektoren des Trägheitstensors heißen Hauptträgheitsachsen und seine Eigenwerte sind die Hauptträgheitsmomente.

Mit den Hauptträgheitsmomenten und ihren Hauptträgheitsachsen bekommt der Trägheitstensor eine besonders einfache Diagonalgestalt:

${\displaystyle \mathbf {\Theta } ={\begin{pmatrix}\Theta _{1}&&\\&\Theta _{2}&\\&&\Theta _{3}\end{pmatrix}}}$ 

Jede Symmetrieachse ist eine Hauptträgheitsachse. Es gilt:

• Bei geraden prismatischen Körpern mit Grundfläche in Form eines Kreises oder eines regelmäßigen Vielecks sind zwei der drei Hauptträgheitsmomente untereinander gleich. Deren Hauptträgheitsachsen sind parallel zur Grundfläche, die dritte Hauptträgheitsachse ist senkrecht dazu.
• Bei flächensymmetrischen Körpern liegt eine Hauptträgheitsachse senkrecht zur Symmetrieebene, die beiden anderen in der Symmetrieebene.
• Besitzt der Körper zwei zueinander senkrechte Symmetrieebenen, dann sind ihre Normalen und ihre Schnittgerade Hauptträgheitsachsen.
• Bei einem Tetraeder, einem Würfel, bei den übrigen drei regulären Körpern und bei der Kugel ist jede Raumrichtung Hauptträgheitsachse.
• Sind ${\displaystyle \Theta _{1}}$ , ${\displaystyle \Theta _{2}}$  und ${\displaystyle \Theta _{3}}$  paarweise voneinander verschieden, so liegt keine Rotationssymmetrie bezüglich einer Achse durch den Bezugspunkt vor, z. B. weil der Bezugspunkt nicht im Massenmittelpunkt liegt oder der Körper bezüglich keiner Achse rotationssymmetrisch ist.

Im Koordinatensystem, dessen drei Basisvektoren ${\displaystyle {\hat {e}}_{k}}$  durch die Hauptträgheitsachsen definiert sind, wird die Winkelgeschwindigkeit so ausgedrückt:

${\displaystyle {\vec {\omega }}=\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\omega _{3}{\hat {e}}_{3}}$ 

Dann gilt für den Drehimpuls

${\displaystyle {\vec {L}}=\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}=\Theta _{1}\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\Theta _{2}\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\Theta _{3}\omega _{3}{\hat {e}}_{3}}$ .

und für die Rotationsenergie

${\displaystyle E_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}(\Theta _{1}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}\omega _{2}^{2}+\Theta _{3}\omega _{3}^{2})}$ .

Definiert man die Länge des Ortsvektors ${\displaystyle {\vec {r}}}$  in jeder Richtung durch die Gleichung

${\displaystyle 1={\vec {r}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {r}}}$ ,

dann liegen die Endpunkte dieser Vektoren auf einer geschlossenen Fläche in Form eines Ellipsoids (Beweis). In jeder Richtung ist der Abstand der Fläche vom Ursprung gleich dem Kehrwert der Wurzel aus dem Trägheitsmoment für die in dieser Richtung liegende Achse:

${\displaystyle r={\frac {1}{\sqrt {\Theta _{rr}}}}}$ 

Die drei Achsen des Ellipsoids sind die Hauptträgheitsachsen. Die längste hat die Richtung der Drehachse mit dem kleinstmöglichen Trägheitsmoment bei der gegebenen Anordnung der Massen, die kürzeste Halbachse die Richtung mit dem größtmöglichen Trägheitsmoment. Diese Achsen haben feste Richtungen im körpereigenen Bezugssystem, denn ihre räumliche Lage ist durch die Lage des Körpers festgelegt.

Der Drehimpuls eines zusammengesetzten Systems ${\displaystyle {\vec {L}}}$  ist die Summe der Drehimpulse der Komponenten des Systems ${\displaystyle {\vec {L}}_{n}}$ .

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum _{n}{\vec {L}}_{n}=\sum _{n}\mathbf {\Theta } _{n}\cdot {\vec {\omega }}_{n}}$ 

Sind die Winkelgeschwindigkeiten der Komponenten ${\displaystyle {\vec {\omega }}_{n}}$  alle identisch und gleich ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ , dann gilt:

${\displaystyle {\vec {L}}=\sum _{n}\mathbf {\Theta } _{n}\cdot {\vec {\omega }}}$ 

Und somit gilt für den Trägheitstensor ${\displaystyle \mathbf {\Theta } }$  des Systems:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Theta } &=\sum _{n}\mathbf {\Theta } _{n}\\&=\sum _{n}m_{n}\,[({\vec {r}}_{n}\cdot {\vec {r}}_{n})\,\mathbf {1} -{\vec {r}}_{n}\otimes {\vec {r}}_{n}]\\&=\sum _{n}m_{n}{\begin{pmatrix}(y_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-x_{n}y_{n}&-x_{n}z_{n}\\-y_{n}x_{n}&(x_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-y_{n}z_{n}\\-z_{n}x_{n}&-z_{n}y_{n}&(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\sum m_{n}(y_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-\sum m_{n}\,x_{n}y_{n}&-\sum m_{n}\,x_{n}z_{n}\\-\sum m_{n}y_{n}x_{n}&\sum m_{n}(x_{n}^{2}+z_{n}^{2})&-\sum m_{n}\,y_{n}z_{n}\\-\sum m_{n}z_{n}x_{n}&-\sum m_{n}\,z_{n}y_{n}&\sum m_{n}\,(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$ 

Hier sind weiterhin:

• ${\displaystyle m_{1\ldots N}}$  die Massen der Massepunkte, aus denen das System zusammengesetzt ist,
• ${\displaystyle {\vec {r}}_{1\ldots N}=(x_{1\ldots N},\,y_{1\ldots N},\,z_{1\ldots N})}$  die Koordinaten ihrer Ortsvektoren

An die Stelle der Summen tritt beim Übergang zu einer kontinuierlichen Massenverteilung der Massendichte ${\displaystyle \rho ({\vec {r}})}$  ein Integral:

${\displaystyle \Theta =\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\mathbf {1} \,-\,{\vec {r}}\otimes {\vec {r}}]\mathrm {d} V}$ 

mit den einzelnen Trägheitsmomenten

${\displaystyle \Theta _{ij}=\int _{V}\rho ({\vec {r}})\,[({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})\delta _{ij}\,-\,r_{i}r_{j}]\mathrm {d} V}$ 

Im Massenmittelpunkt eines Würfels mit Kantenlänge ${\displaystyle d=2a}$  wird ein kartesisches Koordinatensystem so gelegt, dass die Koordinatenachsen parallel zu den Würfelkanten sind. Wegen der Homogenität ist die Dichte konstant und kann vor das Integral gezogen werden:

${\displaystyle \Theta _{ij}=\Theta _{\beta \alpha }=\varrho \,\int _{V}(r^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j})\mathrm {d} V}$ 

Nun lassen sich die sechs unabhängigen Tensorkomponenten bestimmen: Das sind drei Massenträgheitsmomente und drei Deviationsmomente, da der Tensor wegen ${\displaystyle \Theta _{ij}=\Theta _{ji}}$  symmetrisch ist. Beim Würfel mit Kantenlänge ${\displaystyle 2a}$  wird zur Berechnung des Trägheitstensors bezüglich des Ursprungs in allen drei Raumrichtungen von ${\displaystyle -a}$  bis ${\displaystyle +a}$  integriert. Für den Würfel ergibt sich:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{xx}=&\varrho \int _{V}(y^{2}+z^{2})\mathrm {d} V=\varrho {\frac {16}{3}}a^{5}\\\Theta _{yy}=&\varrho \int _{V}(x^{2}+z^{2})\mathrm {d} V=\varrho {\frac {16}{3}}a^{5}\\\Theta _{zz}=&\varrho \int _{V}(y^{2}+x^{2})\mathrm {d} V=\varrho {\frac {16}{3}}a^{5}\\\Theta _{xy}=&\Theta _{yx}=-\varrho \int _{V}yx\mathrm {d} V=0\\\Theta _{yz}=&\Theta _{zy}=-\varrho \int _{V}zy\mathrm {d} V=0\\\Theta _{zx}=&\Theta _{xz}=-\varrho \int _{V}xz\mathrm {d} V=0\end{aligned}}}$ 

Dabei wurde

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-a}^{a}\mathrm {d} x=&\left[x\right]_{-a}^{a}=2a\\\int _{-a}^{a}x\mathrm {d} x=&\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{-a}^{a}=0\\\int _{V}x^{2}\mathrm {d} V=&\int _{x=-a}^{x=a}\int _{y=-a}^{y=a}\int _{z=-a}^{z=a}x^{2}\,\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x=\int _{x=-a}^{x=a}x^{2}\,\mathrm {d} x\int _{y=-a}^{y=a}\mathrm {d} y\int _{z=-a}^{z=a}\mathrm {d} z=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-a}^{a}(2a)^{2}={\frac {8}{3}}a^{5}\end{aligned}}}$ 

benutzt, Analoges gilt in ${\displaystyle y}$ - und ${\displaystyle z}$ -Richtung. Mit diesen Ergebnissen, der Kantenlänge ${\displaystyle d=2a}$  und der Masse ${\displaystyle m=\varrho d^{3}}$  des Würfels bekommt der Tensor die Form

${\displaystyle \mathbf {\Theta } =\varrho {\frac {16}{3}}a^{5}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\frac {\varrho }{6}}d^{5}\mathbf {1} ={\frac {m}{6}}d^{2}\mathbf {1} }$ .

• Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)
• Flächenträgheitsmoment
• Formelsammlung Tensoralgebra
• Liste von Trägheitstensoren

• Herbert Goldstein: Klassische Mechanik. 6. Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden 1981, ISBN 3-400-00134-1. 
• Richard Grammel: Der Kreisel. Seine Theorie und seine Anwendungen. 2. überarb. Auflage. Band 2. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950, DNB 451641280.