Schema (algebraische Geometrie)

Ein Schema ist ein lokal geringter Raum, der lokal isomorph zum Spektrum eines Ringes ist. Ist ein Schema global isomorph zum Spektrum eines Ringes, so heißt es affin.

Ausführlicher:
Das Spektrum eines Ringes ${\displaystyle R}$  ist die Menge ${\displaystyle X:=\operatorname {Spec} (R)}$  aller Primideale in ${\displaystyle R}$ , in Zeichen

${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)=\{{\mathfrak {p}}\mid {\mathfrak {p}}\subseteq R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}{\text{ Primideal}}\}}$ .

Auf ${\displaystyle X}$  wird eine Topologie definiert, deren abgeschlossene Mengen von der Form

${\displaystyle V(I)=\{{\mathfrak {p}}\mid I\subseteq {\mathfrak {p}}\subseteq R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}{\text{ Primideal}}\}}$ 

sind, wobei ${\displaystyle I\subseteq R}$  ein beliebiges Ideal in ${\displaystyle R}$  ist. Die so definierte Topologie des Raumes ${\displaystyle X}$  wird aus historischen Gründen auch Zariski-Topologie genannt.
Die Garbe ${\displaystyle O_{X}}$  von ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ , die jeder Zariski-offenen Menge ${\displaystyle U\subset X}$  den Ring ${\displaystyle O_{X}(U)}$  der rationalen Funktionen auf ${\displaystyle U}$  zuordnet, heißt Strukturgarbe von ${\displaystyle X}$ .
Ein geringter Raum ist per Definition ein Paar ${\displaystyle (X,O_{X})}$  aus einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$  und einer Garbe von Ringen auf ${\displaystyle X}$ . Sind alle Halme von ${\displaystyle O_{X}}$  lokale Ringe, haben also ein eindeutiges Maximalideal, so heißt ${\displaystyle (X,O_{X})}$  lokal geringt. Insbesondere ist das Spektrum eines Ringes mit seiner Strukturgarbe ein lokal geringter Raum.
Ein Schema ist ein lokal geringter Raum ${\displaystyle (X,O_{X})}$ , der sich durch offene Mengen ${\displaystyle U_{i}\subseteq X}$  überdecken lässt, sodass für alle ${\displaystyle i}$  die Einschränkung ${\displaystyle (U_{i},O_{X}|_{U_{i}})}$  isomorph zum Spektrum eines Ringes ist. Existiert solch ein Isomorphismus global, so heißt das Schema affin.

Schemata können zahlreiche spezielle Eigenschaften besitzen, auf einige wird im Folgenden eingegangen.

Zusammenhängende Schemata. Ein Schema heißt zusammenhängend, falls der zugrunde liegende topologische Raum zusammenhängend ist.

Quasi-kompakte Schemata. Ein Schema heißt quasi-kompakt, falls der zugrunde liegende topologische Raum quasi-kompakt ist.

Irreduzible Schemata. Ein Schema heißt irreduzibel, falls der zugrunde liegende topologische Raum irreduzibel ist, das heißt, er ist nichtleer und nicht die Vereinigung zweier abgeschlossenen echten Teilmengen.

Noethersche Schemata. Ein Schema ${\displaystyle X}$  heißt lokal noethersch, falls es eine offene affine Überdeckung ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i}U_{i}}$  besitzt, so dass die (affinen) Ringe ${\displaystyle \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})}$  sämtlich noethersch sind. Falls ${\displaystyle X}$  zusätzlich quasi-kompakt ist, heißt es noethersch.

Reduzierte Schemata. Ein Schema ${\displaystyle X}$  heißt reduziert, falls für alle ${\displaystyle x\in X}$  die lokalen Ringe ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$  reduziert sind.

Ganze Schemata. Ein Schema heißt ganz, falls es reduziert und irreduzibel ist. Man kann zeigen, dass dies äquivalent dazu ist, dass für jede offene Teilmenge ${\displaystyle \emptyset \not =U\subset X}$  der Ring ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$  nullteilerfrei ist. Ferner sind in einem ganzen Schema alle Halme nullteilerfrei, die Umkehrung muss im Allgemeinen jedoch nicht zutreffen.

Normale Schemata. Sei ${\displaystyle X}$  ein Schema. Dann ist ${\displaystyle X}$  normal in einem Punkt ${\displaystyle x\in X}$ , falls der Halm ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$  ganzabgeschlossen über seinem Quotientenkörper ist. Ein Schema heißt normal, falls es normal in jedem Punkt ist, vergleiche auch normale Varietät.

Reguläre Schemata. Sei ${\displaystyle X}$  ein noethersches Schema. Ein Punkt ${\displaystyle x\in X}$  heißt dann regulär, falls der Halm ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$  regulär ist. Das Schema ${\displaystyle X}$  heißt regulär, falls jeder Punkt in ${\displaystyle X}$  regulär ist.

Relatives Schemata (auch Schemata über ${\displaystyle S}$  oder ${\displaystyle S}$ -Schemata). Fixiere ein Schema ${\displaystyle S}$ , ein Schema ${\displaystyle X}$  ausgestattet mit einem Morphismus ${\displaystyle f:X\to S}$ , genannt Struktur-Abbildung, nennt man ein relatives Schema (oder Schema über ${\displaystyle S}$  oder ${\displaystyle S}$  -Schema). Alle Schemata über ${\displaystyle S}$  bilden eine Kategorie ${\displaystyle \mathbf {Sch/S} }$ .^[1]

Schemata bilden eine Kategorie. Ein Schemamorphismus (auch Morphismus von Schemata) ist ein Morphismus lokal geringter Räume zwischen Schemata.

Genauer: Seien ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$  und ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$  lokal geringte Räume. Ein Morphismus zwischen ihnen ist ein Paar ${\displaystyle (f,f^{\#})}$  bestehend aus einer stetigen Abbildung ${\displaystyle f\colon Y\to X}$  und einem Ringgarbenhomomorphismus ${\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$ , der folgende Eigenschaft besitzt: für jeden Punkt ${\displaystyle y\in Y}$  ist der von ${\displaystyle f}$  induzierte Homomorphismus ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}}$  zwischen lokalen Ringen lokal, d. h. führt das maximale Ideal von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}}$  in das maximale Ideal von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$  über.

Anmerkung: Ist allgemein ${\displaystyle G}$  eine Garbe auf ${\displaystyle Y}$ , so wird mit ${\displaystyle f_{*}(G)}$  das sogenannte direkte Bild unter ${\displaystyle f}$  bezeichnet. Es ist gegeben durch die Datenkollektion ${\displaystyle U\mapsto G(f^{-1}(U))}$  und definiert eine Garbe auf ${\displaystyle X}$ .

Wie man zeigen kann, ist ein topologischer Raum genau dann separiert im topologischen Sinne (d. h. hausdorffsch), falls die Diagonale ${\displaystyle \Delta (X)\subseteq X\times X}$  abgeschlossen in ${\displaystyle X\times X}$  ist (bezüglich der Produkttopologie). Aus dieser Tatsache motiviert sich der Begriff der Separiertheit von Schemata.

Ein Schemamorphismus ${\displaystyle f\colon Y\to X}$  heißt separiert, falls der zu ${\displaystyle f}$  gehörige Diagonalen-Morphismus ${\displaystyle \Delta _{Y/X}\colon Y\to Y\times _{X}Y}$  eine abgeschlossene Immersion ist. Ein Schema heißt separiert, falls der kanonische Schemamorphismus ${\displaystyle X\to \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )}$  separiert ist.

In der ursprünglichen Fassung nannte Alexander Grothendieck die oben definierten Objekte Präschemata und setzte für die Bezeichnung Schema noch Separiertheit voraus. In der zweiten Auflage des ersten Kapitels der Éléments de géométrie algébrique änderte er jedoch die Terminologie zu der heute allgemein verwendeten.

Eine Verallgemeinerung des Begriffs der Schemata wurde 2012 von Shinichi Mochizuki in seiner Arbeit über die abc-Vermutung vorgeschlagen.

• Tom Gannon: What is a scheme ?, Notices AMS, 2017, Nr. 11, pdf
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90244-9, Kapitel II Schemes.
• Yuri Manin: Introduction into the Theory of Schemes, Springer-Verlag, New York/Berlin/Heidelberg 2009, ISBN 978-3-319-74315-8.
• Ulrich Görtz, Torsten Wedhorn: Algebraic Geometry I. Vieweg-Teubner Verlag, Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010, ISBN 978-3-8348-0676-5.

• David Harari: Schemes (PDF; 330 kB)
• Stacks Project, Columbia University

1. ↑ nLab authors: Relative Scheme. 2022 (ncatlab.org).