Ordnungsrelation

Eine Relation ${\displaystyle \leq }$  auf einer Menge ${\displaystyle M}$  wird (schwache) Totalordnung oder totale Ordnung oder einfach (schwache) Ordnung genannt, wenn die Forderungen

für alle ${\displaystyle x,y,z\in M}$  erfüllt sind. Da dies bei der Zahlengeraden, der „Linie“, der Fall ist, wird eine Totalordnung auch lineare Ordnung genannt. Ferner gibt es für totalgeordnete Untermengen von partiell geordneten Mengen die Bezeichnung Kette.

Die durch

${\displaystyle x\preceq y:\Longleftrightarrow y\leq x}$ 

definierte Umkehrrelation ${\displaystyle \preceq }$  einer Totalordnung ${\displaystyle \leq }$  ist selbst eine Totalordnung. Bei Umkehrrelationen wird gerne das gespiegelte Symbol als Relationszeichen genommen, in diesem Fall ${\displaystyle \geq }$  statt ${\displaystyle \preceq }$ , also

${\displaystyle x\geq y:\Longleftrightarrow y\leq x}$ .

Im Fall der totalen (Quasi-)Ordnungen hat dies eine besondere Berechtigung, weil bei ihnen die inverse Relation eine Spiegelung ist.

Eine endliche Untermenge einer totalgeordneten Menge lässt sich gemäß dieser Ordnung in eindeutiger Weise sortieren, das heißt in eine („lineare“) Reihenfolge bringen derart, dass jedes Element mit seinem Folgeelement in der Ordnungsbeziehung steht. Solchermaßen geordnet nennt man die Sortierung aufsteigend. Gilt stattdessen zwischen zwei Nachbarelementen die gespiegelte Ordnungsrelation, nennt man die Sortierung absteigend. Der schwächere Begriff der totalen Quasiordnung (siehe unten) erlaubt das Vorhandensein von „Duplikaten“, also eine nicht eindeutige Sortierung.

Beispiel und Gegenbeispiel:

Ein Beispiel ist die Relation ${\displaystyle \leq }$  („kleiner-gleich“) auf den ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  oder die lexikographische Ordnung über Tupeln.

Ein Gegenbeispiel ist die Teilmengenbeziehung ${\displaystyle \subseteq }$  auf der Potenzmenge von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ : sie ist nicht total, denn es gilt weder ${\displaystyle \{1,2\}\subseteq \{2,3\}}$  noch ${\displaystyle \{2,3\}\subseteq \{1,2\}}$ .

Eine Relation ${\displaystyle <}$  auf ${\displaystyle M}$  heißt strenge (oder auch starke) Totalordnung, wenn

für alle ${\displaystyle x,y,z\in M}$  gilt.

Da eine strenge Totalordnung nicht reflexiv ist, ist sie keine Totalordnung. Eine Totalordnung im oben erklärten schwachen Sinn ist aber die zu ${\displaystyle <}$  gehörige Ordnung (mit Reflexivität und Antisymmetrie), die durch

${\displaystyle x\leq y\;\;:\Leftrightarrow \;\;x<y{\text{ oder }}x=y}$ 

definiert ist. Umgekehrt wird aus jeder (schwachen) Totalordnung ${\displaystyle \leq }$  auf ${\displaystyle M}$  per

${\displaystyle x<y\;\;:\Leftrightarrow \;\;x\leq y{\text{ und }}x\neq y}$ 

eine strenge Totalordnung ${\displaystyle <}$  .

Gilt für zwei Elemente ${\displaystyle x\in M}$  und ${\displaystyle y\in M}$ , dass wenigstens eine der drei Beziehungen (und da sie sich gegenseitig ausschließen: genau eine)

• ${\displaystyle x<y}$  oder ${\displaystyle x=y}$  oder ${\displaystyle y<x}$ 

erfüllt ist, dann nennt man ${\displaystyle x}$  und ${\displaystyle y}$  in ${\displaystyle M}$  unter der Ordnungsrelation ${\displaystyle <,=,>}$  vergleichbar. Eine Ordnungsrelation, bei der jedes Element mit jedem vergleichbar ist, nennt man eine totale Ordnungsrelation.

Eine Quasiordnung ist eine transitive und reflexive Relation.

Beispiel:

Für komplexe Zahlen ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$  ist die über den Absolutbetrag durch „${\displaystyle a\leq b,{\text{ falls }}|a|\leq |b|}$ “ festgelegte Relation eine Quasiordnung.

Diese Quasiordnung ist nicht antisymmetrisch – also keine Halbordnung, denn betragsgleiche Zahlen müssen nicht identisch sein.

Jedoch handelt es sich um eine totale Quasiordnung, da je zwei Elemente vergleichbar sind.

Eine Halbordnung – auch Partialordnung, Teilordnung oder partielle Ordnung genannt – zeichnet sich gegenüber einer totalen Ordnung dadurch aus, dass die Totalität dahingehend abgeschwächt wird, dass jedes Element mindestens zu sich selbst in Relation steht (Reflexivität). Es ist also eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation, bei der also

für alle ${\displaystyle x,y,z\in M}$  erfüllt sind. Eine Menge ${\displaystyle M}$ , auf der eine Halbordnung ${\displaystyle \leq }$  definiert ist, wird halbgeordnete Menge genannt. Die Umkehrrelation einer Halbordnung

• ${\displaystyle y\preceq x:\Longleftrightarrow x\leq y}$ 

ist wiederum eine Halbordnung.

Halbordnungen können in Hasse-Diagrammen visualisiert werden. Eine Teilmenge einer halbgeordneten Menge heißt Oberhalbmenge, wenn sie zu jedem ihrer Elemente auch alle nachfolgenden Elemente (also alle, die rechts vom Relationssymbol stehen könnten) enthält.

Mit Hilfe des Auswahlaxioms kann man beweisen, dass jede Halbordnung in eine Totalordnung eingebettet werden kann. Für endliche Mengen muss man das Auswahlaxiom nicht voraussetzen, und in diesem Fall gibt es zur Konstruktion einer solchen Totalordnung auch explizite Algorithmen (siehe Topologische Sortierung).

Beispiele:

Jede Teilmengenbeziehung ${\displaystyle A\subseteq B}$  auf einem System ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$  von Mengen ist eine Halbordnung, denn sie ist

• transitiv, da die Teilmenge einer Teilmenge von ${\displaystyle A}$  auch Teilmenge von ${\displaystyle A}$  ist:

${\displaystyle {C\subseteq B\subseteq A}\ \Rightarrow \ {C\subseteq A}}$  für alle ${\displaystyle A,B,C\in {\mathfrak {M}};}$ 

• reflexiv, da jede Menge eine Teilmenge ihrer selbst ist:

${\displaystyle {A\subseteq A}}$  für alle ${\displaystyle A\in {\mathfrak {M}};}$ 

• und antisymmetrisch, da nur ${\displaystyle A}$  selbst sowohl Teilmenge als auch Obermenge von ${\displaystyle A}$  ist:

${\displaystyle {(A\subseteq B)}\wedge {(B\subseteq A)}\ \Rightarrow \ {A=B}}$  für alle ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {M}}.}$ 

Weitere Beispiele:

1. komponentenweise-kleiner-oder-gleich, ${\displaystyle \leq ^{n}:}$ ^[1] Für eine fest gewählte natürliche Zahl ${\displaystyle n}$  und zwei Tupel aus einer Menge von ${\displaystyle n}$ -Tupeln gilt:

   ${\displaystyle {\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)}\leq ^{n}{\left(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\right)}\ :\Longleftrightarrow \ a_{i}\leq b_{i}}$  für jedes ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n;}$ 

2. Dies ist ein Spezialfall einer von einem Kegel induzierten Halbordnung, die zu dem Begriff der sogenannten verallgemeinerten Ungleichungen führt, die eine wichtige Rolle in der Optimierung spielen.
3. Teilerbeziehung, ${\displaystyle \mid :}$  Für zwei natürliche Zahlen gilt:

   ${\displaystyle {a\mid b}\ ({a\ \mathrm {teilt} \ b}):\Longleftrightarrow \ \exists ~n\in \mathbb {N} :n\cdot a=b.}$ 

4. Stochastische Ordnung
5. Pareto-Ordnung

So wie sich die strenge Totalordnung von der Totalordnung dadurch unterscheidet, dass Reflexivität und Antisymmetrie durch Irreflexivität ersetzt werden, so wird eine strenge Halbordnung durch Irreflexivität und Transitivität bestimmt. Wie bei der strengen Totalordnung fällt bei der strengen Halbordnung der Gleichheitsstrich in der Notation weg oder wird gar durch ein Ungleichzeichen ersetzt. Ein Beispiel ist die Relation „echte Teilmenge“ bei den Mengen.

Mit einem Ordnungsbegriff ${\displaystyle \leq }$  lässt sich der Begriff des Intervalls bilden.^[2] Für ${\displaystyle a\in M,b\in M}$  und ${\displaystyle x\in M}$  sei also

Die Begriffe „abgeschlossen“, „offen“, „rechts“ und „links“ stammen vom Fall ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$  ab.

Man beachte, dass man im Fall einer Halbordnung wegen fehlender Totalität „oft“ leere Intervalle erhält (im Fall einer Quasiordnung „oft mehr“, etwa ganze Kreisscheiben oder Kugelschalen).

Im Zusammenhang mit gewissen Anwendungen eindimensionaler Intervalle können Konkretisierungen entsprechender Halbordnungen untersucht werden, die insbesondere in der englischsprachigen Literatur als Semiordnungen (Semiorder) und Intervallordnungen (Interval order) bezeichnet werden. Hierbei stehen die Aspekte überlappender Intervalle und gegebenenfalls vorliegender Intransitivität der Indifferenz im Mittelpunkt.

Um den Grad der Vorsortiertheit einer Menge zu messen, kann man die Anzahl der möglichen Fortsetzungen einer Halbordnung zu einer linearen Ordnung angeben. Ist beispielsweise die geordnete Menge ${\displaystyle (X,\leq )}$  mit ${\displaystyle X=\{a,b,c\}}$  und ${\displaystyle a\leq b}$  gegeben, so gibt es drei mögliche Fortsetzungen: ${\displaystyle a\leq b\leq c}$ , ${\displaystyle a\leq c\leq b}$  und ${\displaystyle c\leq a\leq b}$ . Der Grad der Vorsortiertheit ist also in diesem Fall ${\displaystyle e(\leq )=3}$ . Das Sortierverfahren Natural Mergesort nutzt vorsortierte Teilstücke für eine vollständige Sortierung der Menge.

Sei ${\displaystyle \leq }$  eine (schwache) totale (oder partielle) Ordnung auf der Menge ${\displaystyle M}$ . Für ${\displaystyle x,z\in M}$  mit

${\displaystyle x\leq z\land x\neq z}$ 

heißt ${\displaystyle x}$  ein Vorgänger von ${\displaystyle z}$ , und ${\displaystyle z}$  ein Nachfolger von ${\displaystyle x}$ . Wenn es kein ${\displaystyle y\in M}$  gibt, mit

${\displaystyle x\leq y\land x\neq y\land y\leq z\land y\neq z}$ ,

dann heißt ${\displaystyle x}$  der direkte (auch unmittelbare) Vorgänger von ${\displaystyle z}$ , und ${\displaystyle z}$  der direkte (bzw. unmittelbare) Nachfolger von ${\displaystyle x}$ . ^[3]

Für eine starke (gleichbedeutend: strikte) totale (oder partielle) Ordnung ${\displaystyle <}$  auf ${\displaystyle M}$  gilt formal ebenfalls die obige Definition (mit Notation ${\displaystyle <}$  anstelle von ${\displaystyle \leq }$ ). ^[3] Die Kriterien können in diesem Fall jedoch wie folgt vereinfacht werden:

Sei ${\displaystyle <}$  auf der Menge ${\displaystyle M}$ . Für ${\displaystyle x,z\in M}$  mit

${\displaystyle x<z}$ 

heißt ${\displaystyle x}$  ein Vorgänger von ${\displaystyle z}$ , und ${\displaystyle z}$  ein Nachfolger von ${\displaystyle x}$ . Wenn es kein ${\displaystyle y\in M}$  gibt, mit

${\displaystyle x<y<z}$  (d. h. ${\displaystyle x<y\land y<z}$ ),

dann heißt ${\displaystyle x}$  der direkte (auch unmittelbare) Vorgänger von ${\displaystyle z}$ , und ${\displaystyle z}$  der direkte (bzw. unmittelbare) Nachfolger von ${\displaystyle x}$ .

Sei ${\displaystyle T}$  eine Teilmenge einer halbgeordneten Menge ${\displaystyle P}$ .

Wenn ${\displaystyle m\in T}$  die Eigenschaft hat, dass es kein ${\displaystyle x\in T}$  mit ${\displaystyle x<m}$  gibt, dann heißt ${\displaystyle m}$  minimales Element von ${\displaystyle T}$ . Falls es ein Element ${\displaystyle m\in T}$  gibt, das ${\displaystyle m\leq x}$  für alle Elemente ${\displaystyle x\in T}$  erfüllt, dann heißt ${\displaystyle m}$  das kleinste Element von ${\displaystyle T}$ . Ein kleinstes Element von ${\displaystyle T}$  (wenn es das gibt; z. B. hat die Menge der ganzen Zahlen kein kleinstes Element) ist immer eindeutig bestimmt (wegen der Antisymmetrie) und natürlich auch minimal. In einer Totalordnung bedeuten „kleinstes Element“ und „minimales Element“ dasselbe, aber in allgemeinen Halbordnungen kann eine Menge mehrere minimale Elemente haben, von denen dann keines das kleinste ist.

Es kann sogar vorkommen, dass eine (unendliche) Menge ${\displaystyle T}$  zwar ein einziges minimales Element hat, dieses aber nicht das kleinste Element der Menge ist (dann hat ${\displaystyle T}$  kein kleinstes Element). Beispiel:

In ${\displaystyle M:=\{[0,a]\mid 0<a<1\}\cup \{\{2\}\}}$ , versehen mit ${\displaystyle \subseteq }$  als Halbordnung, ist ${\displaystyle \{2\}}$  ein minimales Element, sogar das einzige, aber nicht das kleinste, da ${\displaystyle \{2\}\subseteq A}$  nicht für alle ${\displaystyle A\in M}$  gilt.

Wenn ${\displaystyle T}$  eine Teilmenge von ${\displaystyle P}$  ist und ${\displaystyle p\in P}$  die Eigenschaft hat, dass für alle ${\displaystyle t\in T}$  die Beziehung ${\displaystyle p\leq t}$  gilt, dann heißt ${\displaystyle p}$  eine untere Schranke von ${\displaystyle T}$ . (${\displaystyle p}$  kann, muss aber nicht Element von ${\displaystyle T}$  sein.) Wenn es eine größte untere Schranke der Menge ${\displaystyle T}$  gibt, dann nennt man diese auch die untere Grenze oder das Infimum von ${\displaystyle T}$ . Eine untere Schranke ist also kleiner als das oder gleich dem Infimum.

Analog sind die Begriffe maximales Element, größtes Element, obere Schranke und obere Grenze bzw. Supremum definiert.

Eine Menge, die sowohl eine obere als auch eine untere Schranke hat, heißt beschränkt. (Analog sind „nach oben beschränkt“ und „nach unten beschränkt“ definiert.)

Man nennt eine Funktion ${\displaystyle f}$ , die eine beliebige Menge ${\displaystyle X}$  in eine halb- oder total geordnete Menge (siehe unten) ${\displaystyle P}$  abbildet, beschränkt, wenn die Menge der Funktionswerte beschränkt ist, also wenn es ein ${\displaystyle p\in P}$  und ein ${\displaystyle q\in P}$  gibt, sodass für alle ${\displaystyle x\in X}$ 

${\displaystyle p\leq f(x)\leq q}$ 

gilt.

Eine Halbordnung ${\displaystyle (M,\leq )}$  heißt lokal endlich oder Kausalmenge (englisch causals set, kurz causet), wenn jedes Intervall ${\displaystyle [x,y]:=\{z\in M:x\leq z\leq y\}}$  eine endliche Menge ist. Die Kausalmengentheorie untersucht die Einbettung von Kausalmengen in Lorentzsche Mannigfaltigkeiten (ohne geschlossene Weltlinien) und ist ein Modell für eine Quanten­gravitations­theorie.

Eine strenge Ordnung oder Striktordnung ist transitiv und asymmetrisch. Der Begriff Asymmetrie fasst die Begriffe Irreflexivität und Antisymmetrie zusammen. Irreflexivität unterscheidet die Striktordnung von der Halbordnung und bedeutet, dass kein Element zu sich selbst in Beziehung steht. Eine Striktordnung ist also transitiv, irreflexiv und antisymmetrisch.

Beispiele:

• Die Relation „(echt) kleiner“ auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 
• die Relation „Echte Teilmenge“ in einer Potenzmenge
• die Relation „komponentenweise kleiner, aber nicht gleich“ auf dem Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .

Eine strenge schwache Ordnung R ist eine Striktordnung, bei der zusätzlich negative Transitivität gilt:

${\displaystyle \neg aRb\land \neg bRc\Rightarrow \neg aRc}$ 

Eine strenge schwache Ordnung ist einer totalen Quasiordnung komplementär und umgekehrt.

Sind ${\displaystyle (U,<)}$  und ${\displaystyle (V,\prec )}$  streng geordnete Mengen, dann lässt sich auf ${\displaystyle U\times V}$  die (ebenfalls strenge) Ordnungsrelation

${\displaystyle (u\times v)\;<\!\prec \;({\overline {u}}\times {\overline {v}})\quad :\Longleftrightarrow \ \quad (u<{\overline {u}})\land (v\prec {\overline {v}})}$ 

definieren.

Ist ${\displaystyle {\underline {u}}<u<{\overline {u}}}$  und ${\displaystyle {\underline {v}}<v\prec {\overline {v}}}$ , dann ist

1. ${\displaystyle (u\times v)\;<\!\prec \;({\overline {u}}\times {\overline {v}})}$ .
       Aber die Paare
2. ${\displaystyle (u\times v)\;>\prec \;({\underline {u}}\times {\overline {v}})}$ 
3. und ${\displaystyle (u\times v)\;<\succ \;({\overline {u}}\times {\underline {v}})}$ 
       sind unter der Ordnungsrelation ${\displaystyle <\!\prec }$  nicht vergleichbar.
       Jedoch ist
4. ${\displaystyle (u\times v)\;>\!\succ \;({\underline {u}}\times {\underline {v}})}$ 
       gleichwertig zu ${\displaystyle ({\underline {u}}\times {\underline {v}})\;<\!\prec \;(u\times v)}$  und vergleichbar.

Das bedeutet insgesamt, dass eine evtl. Totalität von ${\displaystyle (U,<)}$  und ${\displaystyle (V,\prec )}$  beim Kreuzprodukt verloren geht.

Hat man eine geordnete Menge ${\displaystyle (M,\leq )}$ , dann lässt sich die Ordnungsrelation nach dem oben definierten Schema für „komponentenweise-kleiner-oder-gleich“ immer auf die mehrdimensionale Menge ${\displaystyle (M^{n},\leq ^{n})}$  erweitern, da die Transitivität der Relation ${\displaystyle \leq }$  durch das Hinzufügen weiterer Komponenten von ${\displaystyle M}$  nicht verloren geht.

Allerdings geht Totalität verloren. Und ist ${\displaystyle \leq }$  nicht antisymmetrisch, dann ist es ${\displaystyle \leq ^{n}}$  auch nicht.

Mit dem mehrdimensionalen Ordnungsbegriff ${\displaystyle \leq ^{n}}$  lässt sich der Begriff des Intervalls für Halbordnungen (wie auch für Quasiordnungen) vom Eindimensionalen auf ${\displaystyle n>1}$  Dimensionen erweitern.^[2] Für ${\displaystyle a:=\left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)\in M^{n},b:=\left(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\right)\in M^{n}}$  und ${\displaystyle x:=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\in M^{n}}$  sei also

Es gibt jedoch auch mehrdimensionale Intervalle, deren Verhalten an den Rändern sich nicht bei den genannten einordnen lassen, z. B.

${\displaystyle \{(x_{1},x_{2})\mid a_{1}\leq x_{1}\leq b_{1}\land a_{2}<x_{2}<b_{2}\}\qquad (\subseteq [a,b])}$ ,

wo bei der ersten Komponente ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$  der Rand dabei ist, bei der zweiten ${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$  aber nicht.

Eine halbgeordnete Menge ${\displaystyle (M,\leq )}$  heißt induktiv geordnet, wenn jede linear geordnete Teilmenge von ${\displaystyle M}$  eine obere Schranke besitzt. Sie heißt streng induktiv geordnet, wenn jede linear geordnete Teilmenge eine kleinste obere Schranke besitzt.

Nach dem Lemma von Zorn besitzt jede induktiv geordnete Menge ein maximales Element.

Eine fundierte Ordnung ist eine Halbordnung, in der es keine unendlichen, echt absteigenden Ketten gibt (oder, äquivalent formuliert: bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt). Beispiel: die Teilbarkeitsbeziehung | zwischen natürlichen Zahlen.

Eine Wohlquasiordnung ist eine Quasiordnung mit der Eigenschaft, dass es zu jeder Folge ${\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )}$  zwei natürliche Zahlen ${\displaystyle k<n}$  gibt, so dass ${\displaystyle p_{k}\leq p_{n}}$  gilt.

Eine Wohlordnung ist eine totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt. Einige Beispiele:

• „Kleinergleich“ auf den natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} }$ .
• Die ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  mit der Ordnung ${\displaystyle 0<1<-1<2<-2<3<-3<\ldots }$ 
• Die ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  mit der Ordnung ${\displaystyle 0<1<2<3<\ldots <-1<-2<-3<\ldots }$ 

Der Wohlordnungssatz garantiert die Existenz einer Wohlordnung für jede Menge, zum Beispiel auch für die reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Er ist zum Auswahlaxiom äquivalent.

Ein Baum ist eine Halbordnung ${\displaystyle (T,<)}$ , bei der für jedes ${\displaystyle x\in T}$  die Menge ${\displaystyle \{y\mid y<x\}}$  der Vorgänger von ${\displaystyle x}$  wohlgeordnet ist.

Eine Verbandsordnung ist eine Halbordnung, in der es zu je zwei Elementen ${\displaystyle v}$  und ${\displaystyle w}$  immer ein Supremum ${\displaystyle \sup(v,w)}$  und ein Infimum ${\displaystyle \inf(v,w)}$  gibt. Eine Menge ${\displaystyle M}$ , auf der eine Verbandsordnung ${\displaystyle \leq }$  definiert ist, wird verbandsgeordnete Menge genannt.

Durch jede Verbandsordnung ist die algebraische Struktur eines Verbandes gegeben, indem man für je zwei Elemente ${\displaystyle v}$  und ${\displaystyle w}$  definiert:

• ${\displaystyle v\vee w:=\sup(v,w),}$ 
• ${\displaystyle v\wedge w:=\inf(v,w).}$ 

Umgekehrt lässt sich in jedem Verband durch

• ${\displaystyle v\leq w\iff v\vee w=w}$ 

für je zwei Elemente ${\displaystyle v}$  und ${\displaystyle w}$  eine Verbandsordnung definieren, so dass

• ${\displaystyle \sup(v,w)=v\vee w,}$ 
• ${\displaystyle \inf(v,w)=v\wedge w.}$ 

Eine verbandsgeordnete Menge wird daher oft „Verband“ genannt, sie selbst ist jedoch im Gegensatz zum Verband keine algebraische Struktur.

Eine vollständige Halbordnung (engl. pointed complete partial order, dcpo, cppo, auch cpo) ist eine Halbordnung mit einem kleinsten Element und der Eigenschaft, dass jede Teilmenge, die eine aufsteigende Kette ${\displaystyle (x_{0}\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \dotsb )}$  bildet, ein Supremum besitzt. Das Supremum muss dabei nicht in der Teilmenge selbst liegen.

Bei einer gerichteten vollständigen Halbordnung (engl. directed complete partial order, DCPO) muss im Gegensatz zur vollständigen Halbordnung die leere Menge kein Supremum besitzen. Es muss damit kein kleinstes Element geben.

Diese beiden Vollständigkeitsbegriffe spielen eine Rolle bei Beweisen mit Hilfe des Lemmas von Zorn. → Davon zu unterscheiden ist der an die Topologie angelehnte Begriff Ordnungsvollständigkeit.

Aus vorhandenen Ordnungen lassen sich auf sehr unterschiedliche Weise neue Ordnungen konstruieren.

Ähnlich den Zeichenketten lassen sich zwei geordnete Mengen zu einer dritten geordneten Menge verketten (englisch: ordinal sum^[4]). Dabei ist für zwei geordnete Mengen ${\displaystyle (A,<_{A})}$  und ${\displaystyle (B,<_{B})}$ 

die Menge ${\displaystyle {\bigl (}(A\,\cup _{<}\!B),\;<_{\cup }\!\!{\bigr )}}$ 

die geordnete Menge, die die disjunkte Vereinigungsmenge ${\displaystyle A\sqcup B}$  zur Grundmenge hat und mit der („vereinigten“) Ordnungsrelation ${\displaystyle <_{\cup }}$  ausgestattet ist, die für ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A}$  und ${\displaystyle b_{1},b_{2}\in B}$  deren Ordnung in ${\displaystyle A}$  resp. ${\displaystyle B}$  als ${\displaystyle a_{1}\!<_{\cup }a_{2}\;:\Longleftrightarrow \;a_{1}\!<_{A}a_{2}}$  resp. ${\displaystyle b_{1}\!<_{\cup }b_{2}\;:\Longleftrightarrow \;b_{1}\!<_{B}b_{2}}$  fortsetzt und zusätzlich für ${\displaystyle a\in A,\;b\in B}$  die durch die Reihenfolge der Operanden (zuerst ${\displaystyle A}$  dann ${\displaystyle B}$  in ${\displaystyle A\cup _{<}B}$ ) spezifizierte Ordnung ${\displaystyle a<_{\cup }b}$  festlegt.
Die so definierte Relation ${\displaystyle <_{\cup }}$  ist wieder eine Ordnung, die total ist, wenn die Ausgangsordnungen total sind.
Es existieren auch die abgekürzten Schreibweisen ${\displaystyle (A\,\cup _{<}\!B,\;<)}$  oder ${\displaystyle A\,\cup _{<}\!B}$  – oder (bei ausreichendem anderweitigem Kontext) gar nur ${\displaystyle A\cup B}$ .

Das Konzept lässt sich auf beliebige geordnete Indexmengen und damit gebildete disjunkte Vereinigungsmengen erweitern.

•  
  Lexikographische Ordnung auf ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ :
  Die verstärkten Linien nach rechts oben sind unendlich lang.
•  
  Hasse-Diagramm der Produkt-Ordnung auf ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ :
  Je weiter unten (links oder rechts), desto < (kleiner).

Im kartesischen Produkt ${\displaystyle A\times B}$  zweier geordneter Mengen ${\displaystyle A}$  und ${\displaystyle B}$  lassen sich bilden:

• die lexikographische Ordnung:   ${\displaystyle (a_{1},b_{1})<(a_{2},b_{2})\;:\Longleftrightarrow \;a_{1}<a_{2}\lor a_{1}=a_{2}\land b_{1}<b_{2}}$ ; sie ist total, wenn die Ausgangsmengen total geordnet sind;
• die Produktordnung (englisch: product order^[4]):   ${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\leq \left(a_{2},b_{2}\right)\;:\Longleftrightarrow \;a_{1}\leq a_{2}\land b_{1}\leq b_{2}}$ ; sie ist i. Allg. nicht total.

Die so konstruierten Ordnungen können auf kartesische Produkte von mehr als zwei Mengen erweitert werden. Die Erweiterungsoperation erweist sich dabei als assoziativ.

Ordnungstheoretisch lässt sich die Stetigkeit als Verträglichkeit einer Funktion mit dem Supremum vollständiger Halbordnungen ${\displaystyle A,B}$  fassen. Eine Funktion ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$  heißt stetig, wenn ${\displaystyle f\left(\bigsqcup X\right)=\bigsqcup f(X)}$  für alle gerichteten Teilmengen ${\displaystyle X\subseteq A}$  gilt.^[5] Dieser Begriff spielt in der Bereichstheorie eine zentrale Rolle.^[6] Ähnlich der Folgenstetigkeit oben werden auch hier Grenzwerte wieder auf Grenzwerte abgebildet.

In diesem Zusammenhang folgt aus der Stetigkeit einer Funktion deren Monotonie. Umgekehrt bildet jede monotone Funktion eine gerichtete Menge wieder auf eine solche ab, wodurch die Existenz des Supremums des Abbilds dann von vornherein gewiss ist und nicht mehr gezeigt werden muss. Viele Autoren nehmen die Monotonie als Voraussetzung in die Definition der Stetigkeit auf.

Seien ${\displaystyle (X,R)}$  und ${\displaystyle (X',R')}$  geordnete Mengen. Eine Abbildung ${\displaystyle \varphi \colon X\rightarrow X'}$  heißt isoton, ordnungserhaltend, ordnungstreu oder Ordnungshomomorphismus, wenn ${\displaystyle xRy\Rightarrow \varphi (x)R'\varphi (y)}$  für alle ${\displaystyle x,y\in X}$  gilt.

Die Autoren benutzen den Begriff „Ordnung“ unterschiedlich. Er kann eine Halbordnung oder eine totale Ordnung bezeichnen. Vermutlich induziert von den Polaritäten „halb“ und „total“, findet man somit häufig die Abgrenzung

Ordnung (im Sinn von Halbordnung) ${\displaystyle \quad \longleftrightarrow \quad }$  totale Ordnung

oder auch

Halbordnung ${\displaystyle \quad \longleftrightarrow \quad }$  Ordnung (im Sinn von totale Ordnung).

• Eine Ordnungsrelation auf einer Menge von Güterbündeln heißt in der Mikroökonomie Präferenzrelation.
• In der Algebra werden (meist totale) Ordnungsrelationen auf einer Menge betrachtet, die mit der Verknüpfung bzw. den Verknüpfungen auf dieser Menge verträglich sind. Siehe als Beispiel Geordneter Körper.
• In der Geometrie lassen sich unter bestimmten Bedingungen Anordnungen der Punkte auf jeder Geraden einführen. Man spricht hier zunächst von Zwischenrelationen (dies sind dreistellige Relationen), aus denen sich in wichtigen Spezialfällen totale, miteinander und mit der geometrischen Struktur verträgliche Ordnungen auf diesen Punktreihen ergeben.
• Jede totalgeordnete Menge lässt sich mit einer durch die Ordnung bestimmten topologischen Struktur, der Ordnungstopologie ausstatten.
• Lexikographische Ordnung
• Pareto-Ordnung

• Rudolf Berghammer: Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen. 2., durchgesehene und korrigierte Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-658-00618-1.
• Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01638-8.
• Bernhard Ganter: Diskrete Mathematik: Geordnete Mengen. Springer Spektrum, Berlin/ Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37499-9.
• Egbert Harzheim: Ordered Sets (= Advances in Mathematics. Bd. 7). Springer, New York NY 2005, ISBN 0-387-24219-8.
• Ingmar Lehmann, Wolfgang Schulz: Mengen – Relationen – Funktionen. Eine anschauliche Einführung. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0162-3.
• Wiebke Petersen: Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik – Ordnungsrelationen, 4. Foliensatz, Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf, Institute of Language and Information, PDF: WS 2011/12 WS 2013/14, abgerufen am 21. April 2018.

• Ordnungsrelation im Lexikon der Mathematik auf Spektrum.de

1. ↑ Manchmal auch ohne Exponent ${\displaystyle n}$ , also ${\displaystyle \preceq ,}$  ${\displaystyle \leq }$  oder einfach ${\displaystyle \prec }$  geschrieben.
2. ↑ ^{a b} interval. Auf: nLab. Stand: 30. Dezember 2020.
3. ↑ ^{a b} W. Petersen WS 2001/12 S. 93, WS 2013/14 S. 90. Die Begriffe werden oft auch für andere Relationen ${\displaystyle R}$  anstelle der hier aufgeführten (schwachen ${\displaystyle \leq }$  bzw. starken ${\displaystyle <}$ ) (Teil-)Ordnungsrelationen verwendet.
   Achtung: Manche Autoren bezeichnen nur die unmittelbaren (d. h. direkten) Vorgänger (bzw. Nachfolger) als Vorgänger (respektive Nachfolger).
   Was oben als Vorgänger/Nachfolger definiert ist, wäre dann ein Vorgänger bzw. Nachfolger im weiteren Sinn. Ein solcher muss aber nicht zwangsläufig über eine Sequenz direkter (d. h. unmittelbarer) Vorgänger bzw. Nachfolger (quasi indirekt oder mittelbar) erreichbar sein, z. B. 0 und 1 auf ${\displaystyle (\mathbb {R} ,<)}$  oder ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,<)}$ .
4. ↑ ^{a b} J. Neggers, Hee Sik Kim: Basic Posets. 4.2 Product Order and Lexicographic Order. In: World Scientific. 1998, ISBN 978-981-02-3589-5, S. 62–63. 
5. ↑ Dana Scott: Continuous Lattices. In: SLNM 274. 1972, S. 97–136, Proposition 2.5. S.a. Scott, 1971 (PDF; 1,2 MB).
6. ↑ Roberto M. Amadio and Pierre-Louis Curien: Domains and Lambda-Calculi. Cambridge University Press 1998. ISBN 0-521-62277-8, S. 2.