Normtopologie

Ist ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)}$  ein normierter Vektorraum, so induziert die Norm des Raums durch Differenzenbildung zweier Vektoren ${\displaystyle x,y\in V}$  eine Metrik

${\displaystyle d(x,y):=\|x-y\|}$ .

auf ${\displaystyle V}$ . Mit dieser Metrik wird der Vektorraum zu einem metrischen Raum ${\displaystyle (V,d)}$ . Eine Metrik kann nun verwendet werden, um eine ε-Umgebung um einen Vektor ${\displaystyle x\in V}$  durch

${\displaystyle U_{\varepsilon }(x):=\{\,y\in V,\,d\,(x,y)<\varepsilon \,\}}$ 

zu definieren. Damit heißt dann eine Teilmenge ${\displaystyle M\subset V}$  offen, falls

${\displaystyle \forall \ {x\in M}\;{\exists \ \varepsilon }>0:U_{\varepsilon }(x)\subset M}$ 

gilt. Über diese offenen Mengen induziert die Metrik nun auf ${\displaystyle V}$  eine Topologie

${\displaystyle {\mathcal {T}}:=\{M\subset V,\,M\,{\text{offen}}\}}$ .

Mit dieser Topologie wird der Vektorraum zu einem topologischen Vektorraum ${\displaystyle (V,{\mathcal {T}})}$  und diese letztendlich von der Norm induzierte Topologie heißt Normtopologie.

Die Normtopologie ist tatsächlich eine Topologie, wie sich durch eine Überprüfung der drei Topologie-Axiome, die in der folgenden Form für alle metrischen Räume gültig ist, nachweisen lässt.

1. Die leere Menge und die Grundmenge sind offen:
   Die leere Menge ist offen, da es kein ${\displaystyle x}$  gibt, für das eine geeignete ε-Umgebung gefunden werden müsste. Die Grundmenge ${\displaystyle V}$  ist offen, da sie eine ε-Umgebung aller ihrer Elemente ist.
2. Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen:
   Seien die Mengen ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n}}$  mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  offen. Dann existieren Schranken ${\displaystyle \varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}}$  und ein ${\displaystyle x}$  aus dem Schnitt dieser Mengen, sodass ${\displaystyle U_{\varepsilon _{i}}(x)\subset M_{i}}$  für ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$  gilt. Wählt man nun ${\displaystyle \varepsilon =\min\{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\}}$ , dann ist ${\displaystyle U_{\varepsilon }(x)\subset M_{1}\cap \ldots \cap M_{n}}$  und somit ist der Durchschnitt dieser Mengen offen.
3. Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen:
   Sei ${\displaystyle I}$  nun eine beliebige Indexmenge und seien die Mengen ${\displaystyle M_{i}}$  für ${\displaystyle i\in I}$  offen. Liegt ${\displaystyle x}$  in der Vereinigung dieser Mengen, dann gibt es einen Index ${\displaystyle i\in I}$  mit ${\displaystyle x\in M_{i}}$  und eine Schranke ${\displaystyle \varepsilon }$ , sodass ${\displaystyle U_{\varepsilon }(x)\subset M_{i}}$  gilt. Daraus folgt dann ${\displaystyle U_{\varepsilon }(x)\subset \bigcup _{i\in I}M_{i}}$  und somit ist die Vereinigung dieser Mengen offen.

• Die Normtopologie ist eine spezielle starke Topologie. Sie ist von der schwachen Topologie und der schwach-*-Topologie zu unterscheiden.
• Ein mit einer Normtopologie versehener topologischer Raum ist immer hausdorffsch, da zwei Vektoren ${\displaystyle x,y\in V}$  mit ${\displaystyle x\neq y}$  durch Umgebungen ${\displaystyle U_{\varepsilon }(x)}$  und ${\displaystyle U_{\varepsilon }(y)}$  mit ${\displaystyle \textstyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}d(x,y)}$  voneinander getrennt werden.
• Nach dem Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff wird die Topologie eines hausdorffschen topologischen Vektorraums genau dann durch eine Norm erzeugt, wenn er eine beschränkte und konvexe Nullumgebung besitzt.

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.