Lemma von Yoneda

Es sei ${\displaystyle \mathbf {Set} }$  die Kategorie der Mengen (mit den üblichen Funktionen als Morphismen). Es sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  eine lokal kleine Kategorie, so dass zu je zwei Objekten ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}$  die Morphismen zwischen ${\displaystyle X}$  und ${\displaystyle Y}$  eine Menge und somit ein Objekt in ${\displaystyle \mathbf {Set} }$  bilden. Für jedes Objekt ${\displaystyle X}$  der Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  hat man den partiellen Hom-Funktor ${\displaystyle H^{X}\colon {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Set} }$ , der für Objekte ${\displaystyle Y\in {\mbox{Ob}}({\mathcal {C}})}$  und Morphismen ${\displaystyle (f\colon Y\rightarrow Z)\in {\mbox{Mor}}({\mathcal {C}})}$  wie folgt definiert ist:

• ${\displaystyle H^{X}(Y):={\mbox{Hom}}_{\mathcal {C}}(X,Y)}$ , wobei ${\displaystyle {\mbox{Hom}}_{\mathcal {C}}(X,Y)}$  eine in diesem Zusammenhang übliche alternative Schreibweise für ${\displaystyle {\mbox{Mor}}_{\mathcal {C}}(X,Y)}$  ist.
• ${\displaystyle H^{X}(f)\colon H^{X}(Y)\rightarrow H^{X}(Z),\,g\mapsto f\circ g}$ .

Sei nun ${\displaystyle T}$  ein weiterer Funktor von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  nach ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ . Man kann nun die Frage stellen, welche natürlichen Transformationen zwischen den Funktoren ${\displaystyle H^{X}}$  und ${\displaystyle T}$  bestehen. Hier gibt das folgende Yoneda-Lemma eine Antwort.

Sind ${\displaystyle T\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mbox{Set}}}$  ein Funktor und ${\displaystyle X}$  ein Objekt aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ , so ist ${\displaystyle \eta \mapsto \eta _{X}({\mbox{id}}_{X})}$  eine Bijektion von der Menge aller natürlichen Transformationen ${\displaystyle \eta \colon H^{X}\rightarrow T}$  in die Menge ${\displaystyle T(X)}$ .

Dazu beachte man, dass eine natürliche Transformation ${\displaystyle \eta \colon H^{X}\rightarrow T}$  definitionsgemäß jedem Objekt ${\displaystyle Y}$  aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  einen Morphismus ${\displaystyle \eta _{Y}\colon H^{X}(Y)\rightarrow T(Y)}$  zuordnet, wobei gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind (siehe natürliche Transformation). Insbesondere hat man einen Morphismus ${\displaystyle \eta _{X}\colon H^{X}(X)\rightarrow T(X)}$  in der Kategorie Set (das heißt einfach eine Abbildung), also kann man tatsächlich ${\displaystyle \eta _{X}({\mbox{id}}_{X})}$  wie in obigem Lemma bilden und erhält ein Element aus ${\displaystyle T(X)}$ . Daher ist die Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {Y}}\colon \eta \mapsto \eta _{X}({\mbox{id}}_{X})}$  wohldefiniert; man nennt sie auch die Yoneda-Abbildung oder den Yoneda-Isomorphismus.

Der Beweis ist einfach und beleuchtet die Situation im Yoneda-Lemma; daher wird er hier wiedergegeben: Ist ${\displaystyle \eta \colon H^{X}\rightarrow T}$  eine natürliche Transformation, ${\displaystyle Y}$  ein Objekt aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  und ${\displaystyle f\in H^{X}(Y)}$ , das heißt ${\displaystyle f}$  ist ein ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ -Morphismus ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ , so ist das folgende Diagramm nach Definition der natürlichen Transformation kommutativ:

Daraus ergibt sich ${\displaystyle \eta _{Y}(f)=\eta _{Y}(f\circ {\mbox{id}}_{X})=(\eta _{Y}\circ H^{X}(f))({\mbox{id}}_{X})=(T(f)\circ \eta _{X})({\mbox{id}}_{X})=T(f)(\eta _{X}({\mbox{id}}_{X}))}$ .

Daher ist ${\displaystyle \eta _{Y}}$  durch ${\displaystyle T}$  und ${\displaystyle \eta _{X}({\mbox{id}}_{X})}$  bereits eindeutig festgelegt, woraus sich die Injektivität der Yoneda-Abbildung ergibt. Diese Formel wird auch zur Surjektivität herangezogen. Ist nämlich ${\displaystyle w\in T(X)}$ , so definiere man für jedes Objekt ${\displaystyle Y}$  aus ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  die Abbildung ${\displaystyle \eta _{Y}\colon H^{X}(Y)\rightarrow T(Y)}$  durch ${\displaystyle \eta _{Y}(f)\,:=\,T(f)(w)}$ . Dann kann man nachrechnen, dass dadurch eine natürliche Transformation ${\displaystyle \eta }$  von ${\displaystyle H^{X}}$  nach ${\displaystyle T}$  definiert wird, die unter der Yoneda-Abbildung auf ${\displaystyle w}$  abgebildet wird.

• Insbesondere zeigt das Yoneda-Lemma, dass die natürlichen Transformationen zwischen Funktoren ${\displaystyle H^{X}}$  und ${\displaystyle T}$  eine Menge bilden, denn die Klasse der natürlichen Transformationen zwischen ${\displaystyle H^{X}}$  und ${\displaystyle T}$  steht in bijektiver Beziehung zu einer Menge, nämlich ${\displaystyle T(X)}$ , und ist daher selbst eine.
• Abbildungen der oben vorgestellten Art ${\displaystyle \eta _{Y}\colon H^{X}(Y)\rightarrow T(Y),\eta _{Y}(f)\,:=\,T(f)(w)}$  führen zum Begriff der Darstellbarkeit von Funktoren.
• Hat man zusätzliche Strukturen auf den Morphismenmengen (angereicherte Kategorien), wie zum Beispiel im Falle abelscher Kategorien, so ersetzt man die Zielkategorie Set des Hom-Funktors gerne durch eine entsprechende Kategorie, etwa durch die Kategorie Ab der abelschen Gruppen. Um dann wieder auf die hier betrachtete Situation zu kommen, hat man lediglich den Vergissfunktor ${\displaystyle {\mbox{Ab}}\rightarrow {\mbox{Set}}}$  hinterzuschalten.

Als eine einfache Anwendung des Yoneda-Lemmas wird hier die Yoneda-Einbettung behandelt. Die Yoneda-Einbettung wird in der Definition der Ind-Objekte und Pro-Objekte verwendet.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  eine lokal kleine Kategorie, so bezeichne ${\displaystyle [{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}$  die Kategorie der Funktoren ${\displaystyle H^{X}}$  mit den natürlichen Transformationen als Morphismen. Man beachte dazu, dass die natürlichen Transformationen zwischen zwei Funktoren ${\displaystyle H^{X}}$  und ${\displaystyle H^{Y}}$  nach dem Yoneda-Lemma eine Menge bilden, es liegt also tatsächlich eine Kategorie vor. Weiter sei mit ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$  die duale Kategorie bezeichnet. In dieser Situation definiere man den Funktor ${\displaystyle H^{*}\colon {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow [{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}$  durch folgende Daten:

• ${\displaystyle H^{*}(X):=H^{X}}$ , die Funktoren ${\displaystyle H^{X}}$  sind die Objekte in ${\displaystyle [{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}$ .
• Für einen Morphismus ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$  sei ${\displaystyle H^{*}(f)\colon H^{X}\rightarrow H^{Y}}$  definiert durch ${\displaystyle H^{*}(f)_{Z}\colon H^{X}(Z)\rightarrow H^{Y}(Z),\,g\mapsto g\circ f}$ , wobei ${\displaystyle Z\in {\mbox{Ob}}({\mathcal {C}})}$ . Dann ist ${\displaystyle H^{*}(f)}$  eine natürliche Transformation, also ein Morphismus in ${\displaystyle [{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}$ .

Leicht prüft man nach, dass hierdurch tatsächlich ein Funktor ${\displaystyle H^{*}\colon {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow [{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}$  definiert ist. Dabei ist auf der linken Seite die duale Kategorie gewählt, da sonst ${\displaystyle f}$  „in die falsche Richtung“ laufen würde. Es gilt nun

• Yoneda-Einbettung: Der Funktor ${\displaystyle H^{*}\colon {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow [{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}$  ist eine volltreue Einbettung.

Vertauscht man die Rollen von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  und ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ , so erhält man eine volltreue Einbettung ${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow [{\mathcal {C}}^{op},{\mbox{Set}}]}$ .

Der Beweis besteht in einer Anwendung des Yoneda-Lemmas. Zur Volltreue muss gezeigt werden, dass die Abbildungen

${\displaystyle H_{X,Y}^{*}\colon {\mbox{Mor}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(X,Y)\rightarrow {\mbox{Mor}}_{[{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}(H^{*}X,H^{*}Y),\,f\mapsto H^{*}(f)}$ 

bijektiv sind. Für ${\displaystyle \eta \in {\mbox{Mor}}_{[{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}(H^{*}X,H^{*}Y)}$ , das heißt für eine natürliche Transformation ${\displaystyle \eta \colon H^{X}\rightarrow H^{Y}}$ , ist ${\displaystyle {\mathcal {Y}}(\eta )\in H^{Y}(X)={\mbox{Hom}}_{\mathcal {C}}(Y,X)={\mbox{Hom}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(X,Y)}$ , das heißt die Yoneda-Abbildung definiert eine Abbildung

${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{X,Y}:{\mbox{Mor}}_{[{\mathcal {C}},{\mbox{Set}}]}(H^{*}X,H^{*}Y)\rightarrow {\mbox{Mor}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(X,Y),\eta \mapsto \eta _{X}({\mbox{id}}_{X})}$ .

Da diese Abbildung nach dem Yoneda-Lemma bijektiv ist, und weil für alle ${\displaystyle f\in {\mbox{Mor}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(X,Y)}$  folgendes gilt: ${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{X,Y}H_{X,Y}^{*}(f)={\mathcal {Y}}_{X,Y}(H^{*}(f))=H^{*}(f)_{X}({\mbox{id}}_{X})={\mbox{id}}_{X}\circ f=f}$ ,

ist ${\displaystyle H_{X,Y}^{*}={\mathcal {Y}}_{X,Y}^{-1}}$  und daher ebenfalls bijektiv. Deshalb ist ${\displaystyle H^{*}}$  volltreu.

Um einzusehen, dass ${\displaystyle H^{*}}$  sogar eine Einbettung ist, muss die Injektivität des Funktors auf der Klasse der Objekte gezeigt werden (siehe Artikel treuer Funktor). Sind ${\displaystyle X}$  und ${\displaystyle Y}$  zwei verschiedene Objekte aus ${\displaystyle {\mbox{Ob}}({\mathcal {C}}^{op})}$ , so gilt ${\displaystyle {\mbox{Hom}}_{\mathcal {C}}(X,X)\cap {\mbox{Hom}}_{\mathcal {C}}(Y,X)=\emptyset }$ , weil ein Morphismus nicht zwei verschiedene Definitionsbereiche haben kann, und daraus folgt ${\displaystyle H^{X}\not =H^{Y}}$ , das heißt ${\displaystyle H^{*}(X)\not =H^{*}(Y)}$ . Daher ist ${\displaystyle H^{*}}$  auch eine Einbettung.

• Horst Schubert: Kategorien (Heidelberger Taschenbücher; Bd. 15–16). Springer, Berlin 1970 (2 Bde.).