Kugelkondensator

Für eine infinitesimal kleine Kugelschale zwischen R₁ und R₂ gilt für das infinitesimal kleine Reziproke der Kapazität der bekannte Zusammenhang des Plattenkondensators:

${\displaystyle \mathrm {d} {\frac {1}{C}}={\frac {1}{\varepsilon }}\cdot {\frac {\mathrm {d} r}{A(r)}}={\frac {1}{\varepsilon }}\cdot {\frac {\mathrm {d} r}{4\pi r^{2}}}}$ 

wobei A(r) die Oberfläche einer Kugel ist. Integriert man nun, so ergibt sich:

${\displaystyle {\frac {1}{C}}=\int \limits _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {1}{\varepsilon }}\cdot {\frac {\mathrm {d} r}{4\pi r^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\cdot \left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$ 

Umgestellt nach der Kapazität C ergibt dies oben genannte Formel.

Alternativ lässt sich auch die Definition ${\displaystyle C={\frac {Q}{U}}}$  nutzen, wenn man die Formel im Abschnitt Spannung zwischen innerer und äußerer Platte verwendet.

Wenn ${\displaystyle d=R_{2}-R_{1}\ll R_{1}}$ , kann man angenähert ${\displaystyle R_{1}=R_{2}=R}$  setzen und erhält ${\displaystyle C=4\pi \varepsilon {\frac {R^{2}}{d}}}$ .

Wenn ${\displaystyle R_{1}\ll R_{2}}$  ist, kann man angenähert ${\displaystyle R_{2}-R_{1}=R_{2}}$  setzen und erhält ${\displaystyle C=4\pi \varepsilon R_{1}}$ . Die Kapazität wird dann praktisch nur vom Radius der Innenkugel bestimmt.

Diese Näherung beschreibt auch die Kapazität einer freistehenden Kugel (auch als Kugelelektrode^[1] bezeichnet), da hier die Gegenelektrode sehr weit entfernt ist (${\displaystyle R_{2}\to \infty }$  und somit ${\displaystyle R_{1}\ll R_{2}}$ ). Der Radius einer solchen Kugelelektrode im Vakuum diente früher als Maßeinheit der Kapazität mit folgender Äquivalenz:

${\displaystyle 1\,\mathrm {cm} \equiv 4\pi \varepsilon _{0}\cdot 1\,\mathrm {cm} \approx 1{,}11265\,\mathrm {pF} }$ 

Beim Kugelkondensator geht man davon aus, dass die beiden Elektroden mit der Ladung ${\displaystyle Q}$  und ${\displaystyle -Q}$  entgegengesetzt geladen sind. Diese Ladungen befinden sich als Flächenladungen auf den nach innen gewandten Kugelflächen. Dann lässt sich die Ladungsdichte schreiben als ${\displaystyle \varrho (r)={\frac {Q}{4\pi R_{1}^{2}}}\,\delta (r-R_{1})-{\frac {Q}{4\pi R_{2}^{2}}}\,\delta (r-R_{2})}$  , wobei ${\displaystyle \delta }$  die Dirac'sche Delta-Distribution ist.

Der Vektor des elektrischen Feldes zwischen den zwei Kondensatorschalen besteht wegen der Kugelsymmetrie nur aus der radialen Komponente ${\displaystyle E_{r}}$ . Diese lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

${\displaystyle E_{r}(r)={\frac {Q}{4\pi r^{2}\varepsilon }}}$  wobei ${\displaystyle R_{1}<r<R_{2}}$ 

Das Feld ist nicht homogen, sondern abhängig vom Abstand ${\displaystyle r}$  zum Mittelpunkt des Kondensators. Innerhalb der Elektroden und außerhalb des Kondensators ist kein elektrisches Feld vorhanden.

Das elektrische Potential ist ein nur von ${\displaystyle r}$  abhängiges Skalarfeld und berechnet sich, bis auf eine additive Konstante, als ${\displaystyle \varphi (r)=-\int _{\infty }^{r}E_{r}(r')\,dr'}$ . Dieses Integral kann abschnittsweise ermittelt werden:

• Für ${\displaystyle r\geq R_{2}}$  ist ${\displaystyle \varphi (r)=0}$ .
• Für ${\displaystyle R_{1}<r<R_{2}}$  ist ${\displaystyle \varphi (r)=-\int _{R_{2}}^{r}E_{r}(r')dr'={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}\,\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$ .
• Für ${\displaystyle r\leq R_{1}}$  ist ${\displaystyle \varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}\,\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$ .

Die Spannung zwischen der inneren und äußeren Kugel berechnet sich wie folgt:

${\displaystyle U=\varphi (R_{1})-\underbrace {\varphi (R_{2})} _{=0}=\int _{R_{1}}^{R_{2}}E_{r}(r)\,\mathrm {d} r\,={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)}$ 

• Eugen Philippow (Hrsg.): Taschenbuch Elektrotechnik, Band 1. Verlag Technik, Berlin 1968, DNB 365695874, S. 308 ff. 
• Klaus Lunze: Einführung in die Elektrotechnik: Leitfaden und Aufgaben Teil I: Elektrische Kreise bei Gleichstrom und das elektrische Feld. 3. Auflage. Verlag Technik, Berlin 1964, DNB 453110886, S. 181 ff. 

1. ↑ ^{a b} Eugen Philippow: Grundlagen der Elektrotechnik. Akademische Verlagsgesellschaft Geest&Portig K.-G., Leipzig 1967, DNB 457803371, S. 82 ff.