Krylow-Zerlegung

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In der numerischen Mathematik ist eine Krylow-Zerlegung (nach Alexei Nikolajewitsch Krylow) eine Matrixgleichung der folgenden Gestalt:

${\displaystyle AQ_{k}=Q_{k+1}{\underline {C}}_{k}=Q_{k}C_{k}+q_{k+1}c_{k+1,k}e_{k}^{T},}$

wobei ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ eine quadratische Matrix ist, ${\displaystyle Q_{k+1}=\left(Q_{k},q_{k+1}\right)\in \mathbb {C} ^{n\times (k+1)}}$ als Spalten die Basisvektoren eines Krylowraumes enthält und ${\displaystyle C_{k}\in \mathbb {C} ^{k\times k}}$ eine (im Allgemeinen unreduzierte) Hessenbergmatrix ist.

Ferner bezeichnet ${\displaystyle e_{k}\in \mathbb {C} ^{k}}$ den k-ten kanonischen Einheitsvektor und ${\displaystyle {\underline {C}}_{k}\in \mathbb {C} ^{(k+1)\times k}}$ ist eine um eine unten angefügte Zeile erweiterte Hessenbergmatrix, wobei nur das letzte Element dieser Zeile ungleich Null ist.

Diese Krylow-Zerlegungen treten in natürlicher Weise bei der algorithmischen Beschreibung von Krylow-Unterraum-Verfahren auf. Der Begriff wurde von Pete Stewart geprägt.