Keynes-Ramsey-Regel

Unter der Euler-Gleichung oder Euler-Lagrange-Gleichung versteht man in der Variationsrechnung die Optimalitätsbedingungen eines dynamischen Optimierungsproblems.^[3] Euler-Gleichung hat daher eine allgemeine Bedeutung, auch außerhalb der Wirtschaftswissenschaften.

Dennoch treffen manche Autoren hier keine Unterscheidung und verwenden die Begriffe Keynes-Ramsey-Regel und Euler-Gleichung synonym.^[4] Andere beschreiben sie als speziellen Vertreter bzw. ökonomische Interpretation der Euler-Gleichung.^[5] In diesem Zusammenhang wird auch von der Euler-Gleichung des Konsums gesprochen, die die optimale intertemporale Konsumallokation eines nutzenmaximierenden Haushaltes beschreibt.^[6]

Die Keynes-Ramsey-Regel lautet wie folgt:

${\displaystyle g_{C}={\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\sigma }}(r-\rho ).}$ 

Die Kernaussagen der KRR sind:^[7]

• der Konsum wächst (${\displaystyle g_{C}>0}$ ), wenn der Zinssatz (${\displaystyle r}$ ) größer als die Zeitpräferenzrate (${\displaystyle \rho }$ ) ist.
• eine geringere Bereitschaft intertemporal zu substituieren (größeres ${\displaystyle \sigma }$ ) bedeutet eine weniger starke Reaktion bzgl. der Differenz von Zins und Zeitpräferenz.

Die Wachstumsrate ${\displaystyle g_{C}}$  ist positiv, wenn der Zinssatz größer der Zeitpräferenzrate ist ${\displaystyle r>\rho }$ . In einem solchen Fall würde der Haushalt sparen bzw. auf Konsum verzichten, denn die Verzinsung aus seinem Konsumverzicht entschädigt ihn für den ihm entgangenen direkten Nutzen. Die Zeitpräferenzrate soll die Neigung des Haushaltes beschreiben, um wie viel mehr oder weniger der den Konsum in einer späteren Periode (in der Zukunft) schätzt als den heutigen Konsum. Es wird hier meist eine positive Zeitpräferenzrate angenommen. Der Elastizitätsparameter ${\displaystyle \sigma }$  beschreibt die Krümmung der unterstellten Nutzenfunktion. Desto stärker die Nutzenfunktion gekrümmt ist (konkav), umso eher präferieren die Haushalte eine gleichmäßige Verteilung des Konsums über die Zeit. Wenn dieser Wert also sehr hoch ist, wäre eine geringere Wachstumsrate optimal.

Es wird angenommen, dass ${\displaystyle \sigma }$  positiv sei. Empirische Untersuchungen von Robert E. Hall wiesen jedoch teilweise negative Elastizitätswerte auf.^[8] Der Parameter ${\displaystyle \sigma }$  entstammt einer speziellen Nutzenfunktion. Die intertemporale Substitutionselastizität wird durch den Kehrwert ${\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}}$  beschrieben.

Die KRR ist das Ergebnis eines dynamischen Optimierungsproblems. Je nach der Form der Zielfunktion (Nutzenfunktion, z. B. CIES-Nutzenfunktion) und der Restriktionen (z. B. Budget des Haushaltes) oder der unterstellten Produktionstechnologie (z. B. Cobb-Douglas-Funktion) sieht sie etwas unterschiedlich aus.

Ein wohlmeinender Diktator (sozialer Planer) regiert ein Land mit unendlich lang lebenden Haushalten. Er möchte folgende Nutzenfunktion maximieren:

${\displaystyle \max \int _{0}^{\infty }{\frac {C^{1-\sigma }-1}{1-\sigma }}e^{-\rho t}dt.}$ 

Hier steht ${\displaystyle C}$  für den Konsum, ${\displaystyle \sigma }$  für eine konstante Elastizität und ${\displaystyle \rho >0}$  für eine positive Zeitpräferenzrate. Er muss dabei ein Budget und eine Produktionstechnologie berücksichtigen:

${\displaystyle Y(t)=I(t)+C(t),\quad y^{*}=T^{\frac {1}{1-\alpha }}\left({\frac {s}{\delta +n}}\right){}^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}.}$ 

Außerdem gilt die Kapitalakkumulationsgleichung:

${\displaystyle {\dot {K}}(t)=I(t)-\delta K(t)}$ .

Hier steht ${\displaystyle \delta }$  für eine Abschreibungsrate (die nicht angenommen werden muss). Das Ergebnis der Optimierung sähe dann wie folgt aus (in Pro-Kopf-Größen):

${\displaystyle {\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\sigma }}\left[\alpha {\frac {y}{k}}-\rho -\delta \right].}$ 

Hier ist ${\displaystyle \alpha {\frac {y}{k}}}$  gleichbedeutend mit dem Grenzprodukt des Kapitals der unterstellten Produktionsfunktion. Damit diese Wachstumsrate positiv sein kann, muss dieses Grenzprodukt größer sein, als die Zeitpräferenzrate und die Abschreibungsrate zusammen.

Beispiel: Ein Haushalt möchte in jeder Periode ${\displaystyle t}$  auf der Grundlage seines Einkommens ${\displaystyle y_{t}}$  und des jeweiligen Zinssatzes ${\displaystyle r}$  einen optimalen Konsumplan aufstellen. Das Optimierungsproblem ergibt sich wie folgt:^[9]

${\displaystyle \max \sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(c_{t})}$  unter der Nebenbedingung ${\displaystyle a_{t}+y_{t}=c_{t}+{\frac {a_{t+1}}{1+r}}\quad \forall t=1,...,T.}$ 

Im Ergebnis zeigt sich:

${\displaystyle u'(c_{t})=\beta \cdot u'(c_{t+1})\cdot (1+r).}$ 

Dies beschreibt grundlegende Eigenschaft eines optimalen Konsumpfades über die Zeit (es ist eine notwendige Bedingung). Der aktuelle Grenznutzen ${\displaystyle u'(c_{t})}$  entspricht dem diskontierten Grenznutzen der Folgeperiode ${\displaystyle u'(c_{t+1})}$  in Kombination mit dem erwarteten Grenzertrag der Ersparnis ${\displaystyle (1+r)}$ .

Diese Form der KRR wird in den Wirtschaftswissenschaften manchmal auch als Euler-Gleichung bezeichnet.^[10]

Ramsey entwickelte die Regel 1928 in seinem Aufsatz A mathematical theory of saving. Sie ist die Antwort auf die Frage, wie viel eine Nation sparen sollte und lautet:

Die Keynes-Ramsey-Regel ist nach dem britischen Mathematiker Frank Plumpton Ramsey und dem britischen Ökonomen John Maynard Keynes benannt. Die Grundlage der Regel schuf Ramsey 1928 in seinem Artikel, wurde von Keynes aber auf die heutige Interpretation seiner Ergebnisse hingewiesen, woraufhin die Regel nach beiden benannt wurde.^[12]

1. ↑ Keynes-Ramsey-Rule – Gabler Wirtschaftslexikon.
2. ↑ Maik Heinemann: Dynamische Makroökonomik. Springer Gabler; Auflage: 2015 (20. November 2014). ISBN 978-3662441558. S. 57.
3. ↑ Hannula, Helena, Slavo Radošević, and G. N. Von Tunzelmann, eds. Estonia, the new EU economy: building a Baltic miracle?. Ashgate Publishing, Ltd., 2006. S. 82.
4. ↑ Maik Heinemann: Dynamische Makroökonomik. Springer Gabler; Auflage: 2015 (20. November 2014). ISBN 978-3662441558. S. 26.
5. ↑ Frank Hettich: Economic Growth and Environmental Policy: A Theoretical Approach. Edward Elgar Publishing Ltd (August 2000). ISBN 978-1840643695. S. 47.
6. ↑ Euler-Gleichung des Konsums – Definition im Gabler Wirtschaftslexikon.
7. ↑ Xavier Sala-I Martin, Robert J. Barro: Economic Growth. MIT Press. 2003. ISBN 978-0262025539. S. 91.
8. ↑ Hall, Robert E. "Intertemporal substitution in consumption." (1988).
9. ↑ Maik Heinemann: Dynamische Makroökonomik. Springer Gabler; Auflage: 2015 (20. November 2014). ISBN 978-3662441558. S. 25/26.
10. ↑ Generationenmodelle – Definition im Gabler Wirtschaftslexikon.
11. ↑ Ramsey, Frank Plumpton. "A mathematical theory of saving." The economic journal (1928). S. 543.
12. ↑ Maria Frapolli, Maria Jose Frapolli: F. P. Ramsey: Critical Reassessments. Continnuum-3pl; Auflage: First Edition (15. März 2005). ISBN 978-0826476005. S. 107/108.
13. ↑ Collard, David A. Generations of Economists. Vol. 120. Routledge, 2011.

Originalliteratur

• Ramsey, Frank Plumpton. "A mathematical theory of saving." The economic journal (1928): 543–559.

Sekundärliteratur

• Stanley Fischer, Olivier Blanchard: Lectures on Macroeconomics. MIT Press (1. Januar 1989). ISBN 978-0262022835. S. 41ff.