Graßmann-Zahl

Seien ${\displaystyle \zeta ,\eta ,\theta }$  Graßmann-Zahlen und ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} }$  komplexe Zahlen. Dann gilt

• Graßmann-Zahlen sind antikommutativ bezüglich der Multiplikation:
  ${\displaystyle \eta \theta =-\theta \eta }$ 
• Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Addition:
  ${\displaystyle \eta +\theta =\theta +\eta }$ 
• Graßmann-Zahlen sind kommutativ bezüglich der Multiplikation mit einer komplexen Zahl:
  ${\displaystyle a\eta =\eta a}$ 
• Graßmann-Zahlen sind assoziativ sowohl bezüglich Addition als auch der Multiplikation
  ${\displaystyle (\eta +\theta )+\zeta =\eta +(\theta +\zeta )}$ 
  ${\displaystyle (\eta \theta )\zeta =\eta (\theta \zeta )}$ 
• Es gelten alle Ausprägungen des Distributivgesetzes:
  ${\displaystyle a(\eta +\theta )=a\eta +a\theta }$ 
  ${\displaystyle \eta (\theta +\zeta )=\eta \theta +\eta \zeta }$ 
  ${\displaystyle \eta (a+b)=a\eta +b\eta }$ 

• Die Summe von zwei Graßmann-Zahlen ist eine Graßmann-Zahl:
  ${\displaystyle \zeta (\eta +\theta )=-(\eta +\theta )\zeta }$ 
• Das Produkt einer Graßmann-Zahl mit einer komplexen Zahl ist eine Graßmann-Zahl:
  ${\displaystyle (a\eta )\theta =-\theta (a\eta )}$ 
• Das Produkt von zwei Graßmann-Zahlen ist keine Graßmann-Zahl:
  ${\displaystyle (\zeta \eta )\theta =-\zeta \theta \eta =\theta (\zeta \eta )}$ 
• Insbesondere ist das Quadrat einer Graßmann-Zahl Null:
  ${\displaystyle \theta ^{2}=\theta \theta =-\theta \theta =0}$ 
• Eine Funktion kann maximal erster Ordnung in einer Graßmann-Variable sein:
  ${\displaystyle f(\eta ,\theta )=a+b\eta +c\theta +d\eta \theta }$ 
  So ist beispielsweise mit der Reihendarstellung der Exponentialfunktion ${\displaystyle \exp(\theta )=1+\theta }$ .

Es ist möglich, Integral- und Differentialrechnung in Bezug auf Graßmann-Zahlen analog zu der in Bezug auf Funktionen komplexer Zahlen zu definieren:

• Differentiation von Graßmann-Zahlen geschieht von links. Sei ${\displaystyle f(\eta ,\theta )=a+b\eta +c\theta +d\eta \theta }$ . Dann ist:
  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \eta }}=b+d\theta }$ 
  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \theta }}=c-d\eta }$ 
• Die Integration soll wie gewöhnlich ein lineares Funktional aus dem Funktionenraum in die komplexen Zahlen darstellen, es soll also gelten:
  • ${\displaystyle \int f(\theta )\mathrm {\,} d\theta \in \mathbb {C} }$ 
  • ${\displaystyle \int (af(\theta )+bg(\theta )\,\mathrm {)} d\theta =a\int f(\theta )\,\mathrm {d} \theta +b\int g(\theta )\,\mathrm {d} \theta }$ 
• Es folgen daraus die Integrationsregeln für Graßmann-Zahlen:
  ${\displaystyle \int \theta \,\mathrm {d} \theta =1}$ 
  ${\displaystyle \int 1\,\mathrm {d} \theta =0}$ 

Graßmann-Variablen werden für den Pfadintegral-Formalismus für Fermionen benötigt. Dazu definiert man das erzeugende Funktional

${\displaystyle {\mathcal {Z}}[\eta ,{\bar {\eta }}]=\exp \left(-\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{4}x\left({\mathcal {L}}(\psi ,{\bar {\psi }})+\eta {\bar {\psi }}+\psi {\bar {\eta }}\right)\right)}$ 

mit der Lagrangedichte für Fermionen ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ , den fermionischen Graßmann-wertigen Feldern ${\displaystyle \psi ,{\bar {\psi }}}$  und den Graßmann-Zahlen ${\displaystyle \eta ,{\bar {\eta }}}$ . Dann gilt beispielsweise für die 2-Punkt Korrelationsfunktion (den fermionischen Propagator):

${\displaystyle \langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}\,\psi (x){\bar {\psi }}(y){\mathcal {Z}}}{\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {Z}}}}{\Bigg |}_{\eta ,{\bar {\eta }}=0}={\frac {1}{\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {Z}}|_{\eta ,{\bar {\eta }}=0}}}\left({\frac {-\mathrm {i} \delta }{\delta {\bar {\eta }}(x)}}\right)\left({\frac {\mathrm {i} \delta }{\delta \eta (y)}}\right){\int {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {Z}}}{\Bigg |}_{\eta ,{\bar {\eta }}=0}}$ 

Sei ${\displaystyle V}$  ein ${\displaystyle n}$ -dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis ${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$  und

${\displaystyle \Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus V\oplus \left(V\wedge V\right)\oplus \left(V\wedge V\wedge V\right)\oplus \cdots \oplus \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{n}\equiv \mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V}$ 

die äußere Algebra (Graßmann-Algebra) über ${\displaystyle V}$ , wobei ${\displaystyle \wedge }$  das äußere Produkt und ${\displaystyle \oplus }$  die direkte Summe bezeichnet.

Die Graßmann-Zahlen sind die Elemente dieser Algebra.

Das Symbol ${\displaystyle \wedge }$  wird in der Notation für Graßmann-Zahlen meist weggelassen.

Graßmann-Zahlen sind also von der Form

${\displaystyle z=\sum _{k=0}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$ 

für streng wachsende ${\displaystyle k}$ -Tupel ${\displaystyle (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})}$  mit ${\displaystyle 1\leq i_{j}\leq n,1\leq j\leq k}$ , und komplexe antisymmetrische Tensoren ${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$  vom Rang ${\displaystyle k}$ .

Der Spezialfall ${\displaystyle n=1}$  entspricht den 1873 von William Clifford eingeführten dualen Zahlen.

Für unendlich-dimensionale Vektorräume ${\displaystyle V}$  bricht die Reihe

${\displaystyle \Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots }$ 

nicht ab und die Graßmann-Zahlen sind von der Form

${\displaystyle z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{n!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{n!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$ 

wobei dann ${\displaystyle z_{B}}$  als Körper und ${\displaystyle z_{S}}$  als Seele der Superzahl ${\displaystyle z}$  bezeichnet wird.

• Michael D. Peskin und Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Perseus Books Publishing 1995, ISBN 0-201-50397-2.

• Varilly: Graßmann Numbers in Quantum Mechanics