Elementarmatrix

Im Folgenden sei ${\displaystyle K}$  ein Körper, ${\displaystyle I_{n}}$  eine ${\displaystyle n\times n}$ -Einheitsmatrix und ${\displaystyle E_{i,j}}$  eine ${\displaystyle n\times n}$ -Standardmatrix, d. h. eine Matrix aus Nullelementen, mit der Ausnahme, dass an der Stelle ${\displaystyle (i,j)}$  ein Einselement steht, wobei ${\displaystyle i}$  als Zeilenindex und ${\displaystyle j}$  als Spaltenindex der Matrizen verwendet wird.

Man unterscheidet drei Typen von Elementarmatrizen:

Diese Matrix hat in ihrer Hauptdiagonale nur Einselemente, ansonsten nur Nullelemente, mit der Ausnahme der Stelle ${\displaystyle (i,j)}$ , wo der Wert ${\displaystyle \alpha \in K}$  steht, wobei ${\displaystyle i\neq j}$  sein muss – d. h. der Wert ${\displaystyle \alpha }$  darf nicht in der Hauptdiagonalen stehen.

Erzeugt wird dies durch

${\displaystyle I_{n}+\alpha \cdot E_{i,j}}$ , wobei ${\displaystyle \alpha \in K}$  und ${\displaystyle i\neq j}$  ist.

Zur Abkürzung schreiben wir

${\displaystyle R_{i,j}(\alpha )=I_{n}+\alpha \cdot E_{i,j};}$ 

man beachte jedoch, dass es sich dabei nicht um eine Standardnotation handelt.

Explizit gilt also

${\displaystyle R_{i,j}(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\\end{pmatrix}}+\alpha \cdot {\begin{pmatrix}0&0&0&\cdots &0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\alpha &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\\end{pmatrix}}}$ ,

wobei ${\displaystyle \alpha }$  in der ${\displaystyle i}$ -ten Zeile und ${\displaystyle j}$ -ten Spalte steht.

${\displaystyle R_{2,1}(-7)={\begin{pmatrix}1&0&0\\-7&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$ 

${\displaystyle R_{1,3}(-3)={\begin{pmatrix}1&0&-3&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}}$ 

Diese Matrix entspricht einer Einheitsmatrix ${\displaystyle I_{n}}$ , in der die ${\displaystyle i}$ -te mit der ${\displaystyle j}$ -ten Zeile vertauscht wurde (natürlich ${\displaystyle i\neq j}$ ). Dabei wird in der Hauptdiagonale von ${\displaystyle I_{n}}$  an den Stellen ${\displaystyle (i,i)}$  und ${\displaystyle (j,j)}$  das Einselement weggezählt (um Null zu erhalten) und an den Stellen ${\displaystyle (i,j)}$  und ${\displaystyle (j,i)}$  das Einselement wieder hinzugefügt. Bei diesem Typ handelt es sich also um die Permutationsmatrix einer Transposition.

Folgende Matrizenoperationen führen dies aus:

${\displaystyle I_{n}-E_{i,i}-E_{j,j}+E_{i,j}+E_{j,i}}$ , für ${\displaystyle i\neq j}$ 

Zur Abkürzung definieren wir hier den Typ 2 als

${\displaystyle T_{i,j}=I_{n}-E_{i,i}-E_{j,j}+E_{i,j}+E_{j,i}}$ 

Die Operationen sehen allgemein so aus:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&&&&\\&1&&&\\&&\ddots &&\\&&&1&\\&&&&1\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}&&&&\\&1_{(i,i)}&&&\\&&&&\\&&&&\\&&&&\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}&&&&\\&&&&\\&&&&\\&&&1_{(j,j)}&\\&&&&\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}&&&&\\&&&1_{(i,j)}&\\&&&&\\&&&&\\&&&&\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}&&&&\\&&&&\\&&&&\\&1_{(j,i)}&&&\\&&&&\\\end{pmatrix}}=}$ 

${\displaystyle ={\begin{pmatrix}1&&&&\\&0_{(i,i)}&\cdots &1_{(i,j)}&\\&\vdots &1&\vdots &\\&1_{(j,i)}&\cdots &0_{(j,j)}&\\&&&&1\\\end{pmatrix}}}$ 

Das folgende Beispiel zeigt, wie die ${\displaystyle i}$ -te mit der ${\displaystyle j}$ -ten Zeile vertauscht wird:

${\displaystyle T_{1,2}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$ 

Analog ist

${\displaystyle T_{2,4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\\end{pmatrix}}}$ 

Die Hauptdiagonale dieser Matrix besteht aus Einselementen, bis auf die Stelle ${\displaystyle (i,i)}$ , wo der Wert ${\displaystyle \gamma \in K}$  eingefügt wird, der ungleich Null sein muss. Außerhalb der Hauptdiagonale stehen nur Nullelemente.

Dies wird erreicht über

${\displaystyle I_{n}+(\gamma -1)\cdot E_{i,i}}$ , mit ${\displaystyle \gamma \in K}$  und ${\displaystyle \gamma \neq 0}$ 

(An der Stelle ${\displaystyle (i,i)}$  wird ${\displaystyle \gamma }$  hinzugezählt und 1 abgezogen.)

Zur Abkürzung soll hier der Typ 3 als

${\displaystyle S_{i}(\gamma )=I_{n}+(\gamma -1)\cdot E_{i,i}}$ 

definiert werden. Wiederum handelt es sich nicht um eine Standardnotation.

Ausgeführte Operationen:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&&&&\\&1&&&\\&&\ddots &&\\&&&1&\\&&&&1\\\end{pmatrix}}+(\gamma -1)\cdot {\begin{pmatrix}&&&&&\\&1_{(i,i)}&&&&\\&&&&&\\&&&&&\\&&&&&\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&&&&\\&\gamma _{(i,i)}&&&\\&&\ddots &&\\&&&1\\&&&&1\\\end{pmatrix}}}$ 

${\displaystyle S_{2}(8)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&8&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$ 

${\displaystyle S_{3}(17)={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&17&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}}$ 

Sei A eine ${\displaystyle n\times m}$ -Matrix und ${\displaystyle R_{i,j}(\alpha )}$ , ${\displaystyle T_{i,j}}$  und ${\displaystyle S_{i}(\gamma )}$  jeweils Matrizen vom Typ 1, Typ 2 und Typ 3.

Multiplikation von links ergibt Zeilenumformungen:

• ${\displaystyle S_{i}(\gamma )\cdot A}$  multipliziert die i-te Zeile von A mit dem Wert ${\displaystyle \gamma }$ , wobei die übrigen Zeilen unverändert bleiben (EZU I)
• ${\displaystyle R_{i,j}(\alpha )\cdot A}$  addiert das ${\displaystyle \alpha }$ -fache der j-ten Zeile von A zur i-ten Zeile von A. (EZU II)
• ${\displaystyle T_{i,j}\cdot A}$  vertauscht die i-te Zeile von A mit der j-ten Zeile von A. (EZU III)

Multiplikation von rechts ergibt Spaltenumformungen:

• ${\displaystyle A\cdot S_{i}(\gamma )}$  multipliziert die i-te Spalte von A mit dem Wert ${\displaystyle \gamma }$ , wobei die übrigen Spalten unverändert bleiben. (ESU I)
• ${\displaystyle A\cdot R_{i,j}(\alpha )}$  addiert das ${\displaystyle \alpha }$ -fache der i-ten Spalte von A zur j-ten Spalte von A. (ESU II) Man beachte die vertauschte Bedeutung von i und j im Gegensatz zur Zeilenumformung.
• ${\displaystyle A\cdot T_{i,j}}$  vertauscht die i-te Spalte von A mit der j-ten Spalte von A. (ESU III)

Siehe hierzu auch Matrizenmultiplikation. Diese Eigenschaften sind wichtig für Lösungsverfahren von Matrizenrechnungen, wie zum Beispiel den Gauß-Jordan-Algorithmus.

Merkhilfe: Um für eine der oben genannten Umformungen die passende Elementarmatrix zu konstruieren, muss die entsprechende Umformung auf die Einheitsmatrix ${\displaystyle I_{n}}$  angewendet werden. Um beispielsweise die Elementarmatrix zu erhalten, die die erste und zweite Zeile einer Matrix vertauscht, werden die erste und zweite Zeile der Einheitsmatrix vertauscht, wodurch sich ${\displaystyle T_{1,2}}$  ergibt.

• Elementare Zeilenumformungen (bzw. Spaltenumformungen) ergeben sich durch Linksmultiplikation (bzw. Rechtsmultiplikation) mit einer Elementarmatrix.
• Der Rang einer Matrix ändert sich durch elementare Zeilen- oder Spaltenumformungen nicht.
• Ist ein lineares Gleichungssystem in der Form ${\displaystyle (A,b)}$  mit ${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$  und ${\displaystyle b\in K^{m\times 1}}$  gegeben, dann ändern folgende Operationen (ermöglicht durch Multiplikation mit Elementarmatrizen) nichts an der Lösung und werden deshalb auch elementare Umformungen genannt (wobei die Operationen auf A und b gleichzeitig auszuführen sind):
  1. Das Addieren des ${\displaystyle \alpha }$ -fachen Wertes einer Zeile zu einer anderen Zeile.
  2. Das Vertauschen zweier Zeilen.
  3. Das Multiplizieren einer Zeile mit einem Wert ungleich Null.

Es sei ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(K)}$  die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.

• Elementarmatrizen sind invertierbar, und die Zuordnungen

${\displaystyle K\to \mathrm {GL} _{n}(K),\quad \alpha \mapsto R_{i,j}(\alpha )}$ 

sowie

${\displaystyle K^{\times }\to \mathrm {GL} _{n}(K),\quad \alpha \mapsto S_{i}(\alpha )}$ 

sind Gruppenhomomorphismen. Insbesondere gilt

${\displaystyle R_{i,j}(\alpha )^{-1}=R_{i,j}(-\alpha )}$ 

und

${\displaystyle S_{i}(\alpha )^{-1}=S_{i}(\alpha ^{-1}).}$ 

Die Matrizen ${\displaystyle T_{i,j}}$  sind ihre eigenen Inversen:

${\displaystyle T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}.}$ 

• Jede invertierbare Matrix lässt sich als Produkt von Elementarmatrizen schreiben, d. h. die Elementarmatrizen erzeugen die Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(K)}$ . Dafür genügen auch schon Typ 1 und Typ 3, denn für verschiedene ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$  gilt die Darstellung ${\displaystyle T_{i,j}=S_{i}(-1)\,R_{i,j}(-1)\,R_{j,i}(1)\,R_{i,j}(-1).}$  Darauf beruht auch eine wichtige Anwendung von Elementarmatrizen: Um eine Aussage für alle invertierbaren Matrizen zu beweisen, genügen die folgenden zwei Punkte:
  1. Sie gilt für Elementarmatrizen vom Typ 1 und 3.
  2. Gilt sie für Matrizen A und B, so gilt sie auch für ihr Produkt AB.

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie (= Vieweg-Studium. Bd. 35 Grundkurs Mathematik). 4., durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1985, ISBN 3-528-37235-4, S. 91–97.
• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. 17., aktualisierte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4, S. 163–173.

• Helmut Lenzing, Andrew Hubery, Markus Diekämper, Marc Jesse: Lineare Algebra I - Wintersemester 2003/2004 (Vorlesungsskript), Kapitel III, Abschnitt 3.9 Elementarmatrizen (pdf; 301 kB)
• Elementarmatrizen bei Oliver Deiser, Caroline Lasser: Erste Hilfe in Linearer Algebra, Kapitel %.6, S. 134
• Elementaroperationen durch Matrizen darstellen#
• Elementary Matrices bei Ken Kuttler: A First Course in Linear Algebra, Libre Texts Mathematics
• Elementarmatrizen und elementare Zeilenumformungen: Definition und Übung (Video, Michael Helbig)