Eikonal

Das Bruns-Eikonal oder Brunssche Eikonal ist eine Funktion, die gemäß dem Fermatschen Prinzip den kürzesten Weg zwischen zwei durch optische Medien getrennten Punkten beschreibt. Sie wurde vom deutschen Mathematiker Heinrich Bruns 1895 veröffentlicht und in der Strahlenoptik benutzt. Der Name Eikonal stammt von Bruns, das Verfahren war aber schon William Rowan Hamilton bekannt, der es charakteristische Funktion nannte (Hamilton-Jacobi-Gleichung) und in Optik und Mechanik anwandte.

Das Bruns-Eikonal wird bei akustischen Wellen und anderen Wellenphänomenen angewendet, z. B. in der Seismologie zur Berechnung der Ausbreitung seismischer Wellen.

Nachfolgend soll die Eikonalgleichung als Hochfrequenzapproximation der akustischen Wellengleichung hergeleitet werden. In der Quantenmechanik wird ein ähnliches Verfahren verwendet, die semiklassische WKB-Näherung.

Wir gehen also von der akustischen Wellengleichung mit dem Druck ${\displaystyle p}$ , dem Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {x}}}$ , der ortsabhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit ${\displaystyle c=c({\vec {x}})}$  und konstanter Dichte aus

${\displaystyle \nabla ^{2}p-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=0}$ 

Gesucht ist ein zeitlich harmonischer Hochfrequenzansatz, für den eine frequenz- und zeitunabhängige Amplitude ${\displaystyle P({\vec {x}})}$  und die Laufzeitfunktion ${\displaystyle \phi ({\vec {x}})}$  angenommen werden kann. Sie hat die Form

${\displaystyle p({\vec {x}},t)=P({\vec {x}})e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}}$ 

Zunächst berechnet man die Zeitableitungen der Wellengleichung:

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=\mathrm {i} \omega P({\vec {x}})e^{i\omega (t-\phi ({\vec {x}}))};\quad {\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}P({\vec {x}})e^{i\omega (t-\phi ({\vec {x}}))}}$ 

Nun folgen die Ortsableitungen:

${\displaystyle \nabla p=\nabla Pe^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}-\mathrm {i} \omega Pe^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}\nabla \phi =(\nabla P-\mathrm {i} \omega P\nabla \phi )e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}}$ 

Wegen der vektoriellen Identität ${\displaystyle \nabla \cdot \left(a({\vec {x}}){\vec {b}}({\vec {x}})\right)=\nabla a({\vec {x}})\cdot {\vec {b}}({\vec {x}})\ +a({\vec {x}})\nabla \cdot {\vec {b}}({\vec {x}})}$  gilt weiter:

${\displaystyle \nabla ^{2}p=\nabla \cdot \nabla p}$ 

${\displaystyle =\nabla \cdot (\nabla P-\mathrm {i} \omega P\nabla \phi )e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}+(\nabla P-\mathrm {i} \omega P\nabla \phi )\cdot \nabla e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}}$ 

${\displaystyle =\left(\nabla ^{2}P-\mathrm {i} \omega \nabla P\cdot \nabla \phi -\mathrm {i} \omega P\nabla ^{2}\phi -\mathrm {i} \omega (\nabla P-\mathrm {i} \omega P\nabla \phi )\cdot \nabla \phi \right)e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}}$ 

${\displaystyle =\left(\nabla ^{2}P-2\mathrm {i} \omega \nabla P\cdot \nabla \phi -\mathrm {i} \omega P\nabla ^{2}\phi -\omega ^{2}P(\nabla \phi )^{2}\right)e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}}$ 

Die beiden Ableitungen in die Wellengleichung eingesetzt ergeben nach Division durch ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}}$ 

${\displaystyle -\omega ^{2}P\left((\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\right)-\mathrm {i} \omega \left(2\nabla P\cdot \nabla \phi +P\nabla ^{2}\phi \right)+\nabla ^{2}P=0.}$ 

Eine Division durch ${\displaystyle -\omega ^{2}P}$  führt dann zu

${\displaystyle \left((\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\right)+{\frac {\mathrm {i} }{\omega P}}\left(2\nabla P\cdot \nabla \phi +P\nabla ^{2}\phi \right)-{\frac {1}{\omega ^{2}P}}\left(\nabla ^{2}P\right)=0.}$ 

Da Real- und Imaginärteil der Gleichung unabhängig voneinander gleich null sein müssen, folgt:

${\displaystyle \left((\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\right)-{\frac {1}{\omega ^{2}P}}\left(\nabla ^{2}P\right)=0}$ 

Bei der Näherung geht man davon aus, dass die Amplitude ${\displaystyle P}$  nur schwach ortsabhängig, ${\displaystyle \nabla ^{2}P}$  also beschränkt ist. Da gleichzeitig weder die Laufzeit ${\displaystyle \phi }$  noch die Amplitude ${\displaystyle P}$  frequenzabhängig sind, ist der zweite Term für sehr hohe Frequenzen klein gegenüber dem ersten Term und die Gleichung vereinfacht sich auf:

${\displaystyle \left(\nabla \phi \right)^{2}={\frac {1}{c^{2}}}}$ 

Die Lösung ${\displaystyle \phi ({\vec {x}})}$  der Eikonalgleichung ordnet jedem Punkt im Ortsraum die Laufzeit der Welle zu. Linien gleicher Laufzeit lassen sich entsprechend als Wellenfronten interpretieren.