Cullen-Zahl

Fast alle Cullen-Zahlen sind zusammengesetzte Zahlen.^[4] Sie sind teilbar durch Primzahlen der Form ${\displaystyle p=2n-1}$ , wobei ${\displaystyle p}$  eine Primzahl der Form ${\displaystyle p=8k\pm 3}$  sein muss.^[3] Wegen des kleinen fermatschen Satzes kann man außerdem folgern, dass, wenn ${\displaystyle p}$  eine ungerade Primzahl ist, ${\displaystyle p}$  ein Teiler von ${\displaystyle C_{m(k)}}$  sein muss mit ${\displaystyle m(k)=(2^{k}-k)\cdot (p-1)-k}$  für ${\displaystyle k\geq 0}$ .^[4]

Weiters konnte folgendes gezeigt werden:

Die Primzahl ${\displaystyle p}$  teilt die Cullen-Zahl ${\displaystyle C_{\frac {p+1}{2}}}$ , wenn das Jacobi-Symbol ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=-1}$  ist.^[4]

Die Primzahl ${\displaystyle p}$  teilt die Cullen-Zahl ${\displaystyle C_{\frac {3p-1}{2}}}$ , wenn das Jacobi-Symbol ${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=+1}$  ist.^[4]

Zahlen der Form ${\displaystyle n\cdot b^{n}+1}$  mit ${\displaystyle n+2>b}$  bezeichnet man als verallgemeinerte Cullen-Zahlen. Ist eine solche Zahl eine Primzahl, so nennt man sie verallgemeinerte Cullen-Primzahl.^[4]

Die kleinsten ${\displaystyle n}$ , für die ${\displaystyle n\cdot b^{n}+1}$  prim ist, sind für aufsteigendes ${\displaystyle b}$  = 1, 2, …:

1, 1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1, … (Folge A240234 in OEIS)

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Cullen-Primzahlen für Basen von ${\displaystyle b}$  zwischen 1 und 30.^[5][6] Diese ${\displaystyle n}$  wurden zumindest bis 100 000 untersucht. Wenn für ${\displaystyle n}$  die Bedingung ${\displaystyle n+2>b}$  nicht gilt, aber trotzdem die Zahl ${\displaystyle n\cdot b^{n}+1}$  prim ist, wird sie in Klammern gesetzt:

Die bisher größte bekannte verallgemeinerte Cullen-Primzahl ist ${\displaystyle 2\;\!525\;\!532\cdot 73^{2\;\!525\;\!532}+1}$ . Sie hat 4 705 888 Stellen und wurde am 28. August 2021 von Tom Greer, einem Teilnehmer des Internet-Projekts PrimeGrid, entdeckt.^[7][8]

• Woodall-Zahl

• J. Cullen: Question 15897, Educ. Times, (December 1905) 534.

• Cullen Numbers
• Woodall Numbers

1. ↑ PrimeGrid’s Cullen Prime Search, 6679881 · 2^6679881 + 1. PrimeGrid, abgerufen am 2. November 2016. 
2. ↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Cullen primes. Prime Pages, abgerufen am 26. April 2018. 
3. ↑ ^{a b} Weisstein, Eric W.: Cullen Number. MathWorld, abgerufen am 1. Mai 2016. 
4. ↑ ^{a b c d e f} Chris K.Caldwell: Cullen Prime. The Prime Glossary, abgerufen am 1. Mai 2016. 
5. ↑ Generalized Cullen primes n bⁿ+1. Abgerufen am 1. Mai 2016 (Liste der verallgemeinerten Cullen-Primzahlen mit Basis 3 bis 100). 
6. ↑ Liste der verallgemeinerten Cullen-Primzahlen mit Basis 101 bis 10000. Abgerufen am 1. Mai 2016. 
7. ↑ Chris K.Caldwell: The Largest Known Primes! 2525532· 73^2525532 + 1. Prime Pages, abgerufen am 4. September 2021. 
8. ↑ Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Generalized Cullen. Prime Pages, abgerufen am 4. September 2021.