Binomialverteilung

Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle B(k\mid p,n)={\begin{cases}\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}&{\text{falls}}\quad k\in \left\{0,1,\dots ,n\right\},\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$ 

heißt die Binomialverteilung zu den Parametern ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  (Anzahl der Versuche) und ${\displaystyle p\in \left[0,1\right]}$  (der Erfolgs- oder Trefferwahrscheinlichkeit). Bei dieser Formel wird die Konvention ${\displaystyle 0^{0}:=1}$  angewendet (siehe dazu null hoch null). ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$  ist der Binomialkoeffizient.

Eine Zufallsvariable, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Binomialverteilung ist, heißt binomialverteilt. Die Binomialverteilung mit den Parametern ${\displaystyle n}$  und ${\displaystyle p}$  wird mit ${\displaystyle {\mathcal {B}}(n,p)}$  oder ${\displaystyle \operatorname {Bin} (n,p)}$  bezeichnet. Wenn eine Zufallsvariable ${\displaystyle X}$  die Binomialverteilung ${\displaystyle \operatorname {Bin} (n,p)}$  besitzt, so wird dies ${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p)}$  notiert.

Die obige Formel kann so verstanden werden: Wir brauchen bei insgesamt ${\displaystyle n}$  Versuchen genau ${\displaystyle k}$  Erfolge der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p^{k}}$  und haben demzufolge genau ${\displaystyle n-k}$  Fehlschläge der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle (1-p)^{n-k}}$ . Allerdings kann jeder der ${\displaystyle k}$  Erfolge bei jedem der ${\displaystyle n}$  Versuche auftreten, sodass wir noch mit der Anzahl ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$  der ${\displaystyle k}$ -elementigen Teilmengen einer ${\displaystyle n}$ -elementigen Menge multiplizieren müssen. Denn genau so viele Möglichkeiten gibt es, aus allen ${\displaystyle n}$  Versuchen die ${\displaystyle k}$  erfolgreichen auszuwählen.

Die zur Erfolgswahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$  komplementäre Ausfallwahrscheinlichkeit ${\displaystyle 1-p}$  wird häufig mit ${\displaystyle q}$  abgekürzt.

Wie für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung notwendig, müssen sich die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte ${\displaystyle k}$  zu 1 summieren. Dies ergibt sich aus dem binomischen Lehrsatz wie folgt:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=\left(p+\left(1-p\right)\right)^{n}=1^{n}=1}$ 

Eine mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion ${\displaystyle B(\cdot \mid p,n)}$  verteilte Zufallsgröße ${\displaystyle X}$  heißt dementsprechend binomialverteilt mit den Parametern ${\displaystyle n}$  und ${\displaystyle p}$  sowie der Verteilungsfunktion

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ ,

wobei ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$  die Abrundungsfunktion bezeichnet.

Weitere gebräuchliche Schreibweisen der kumulierten Binomialverteilung sind ${\displaystyle F(k\mid p,n)}$ , ${\displaystyle F(n,p,k)}$ ^[5] und ${\displaystyle F(n;p;k)}$ .^[6]

Versuchsschema: Eine Urne enthält ${\displaystyle N}$  Bälle, davon sind ${\displaystyle M}$  schwarz und ${\displaystyle N-M}$  weiß. Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ , einen schwarzen Ball zu ziehen, ist also ${\displaystyle p={\frac {M}{N}}}$ . Es werden nacheinander zufällig ${\displaystyle n}$  Bälle entnommen, ihre Farbe bestimmt und wieder zurückgelegt.

Wir berechnen die Anzahl der Möglichkeiten, in denen man ${\displaystyle k}$  schwarze Bälle findet, und daraus die sogenannte Laplace-Wahrscheinlichkeit („Anzahl der für das Ereignis günstigen Möglichkeiten, geteilt durch die Gesamtanzahl der (gleichwahrscheinlichen) Möglichkeiten“).

Bei jeder der ${\displaystyle n}$  Ziehungen gibt es ${\displaystyle N}$  Möglichkeiten, insgesamt also ${\displaystyle N^{n}}$  Möglichkeiten für die Auswahl der Bälle. Damit genau ${\displaystyle k}$  dieser ${\displaystyle n}$  Bälle schwarz sind, müssen genau ${\displaystyle k}$  der ${\displaystyle n}$  Ziehungen einen schwarzen Ball aufweisen. Für jeden schwarzen Ball gibt es ${\displaystyle M}$  Möglichkeiten, und für jeden weißen Ball ${\displaystyle N-M}$  Möglichkeiten. Die ${\displaystyle k}$  schwarzen Bälle können noch auf ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$  mögliche Weisen über die ${\displaystyle n}$  Ziehungen verteilt sein, also gibt es

${\displaystyle {\binom {n}{k}}M^{k}(N-M)^{n-k}}$ 

Fälle, bei denen genau ${\displaystyle k}$  schwarze Bälle ausgewählt worden sind. Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p_{k}}$ , unter ${\displaystyle n}$  Bällen genau ${\displaystyle k}$  schwarze zu finden, ist also

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{k}&={\binom {n}{k}}{\frac {M^{k}(N-M)^{n-k}}{N^{n}}}\\&={\binom {n}{k}}\left({\frac {M}{N}}\right)^{k}\left({\frac {N-M}{N}}\right)^{n-k}\\&={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.\end{aligned}}}$ 

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem fairen Spielwürfel eine 6 zu würfeln, beträgt ${\displaystyle p={\tfrac {1}{6}}}$ . Die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle q}$ , dass dies nicht der Fall ist, beträgt ${\displaystyle q=1-p={\tfrac {5}{6}}}$ . Angenommen, man würfelt 10-mal (${\displaystyle n=10}$ ), dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass kein einziges Mal eine 6 gewürfelt wird, ${\displaystyle q^{10}=(1-p)^{10}=\left({\tfrac {5}{6}}\right)^{10}={\tfrac {9765625}{60466176}}\approx 0{,}162}$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2-mal eine 6 gewürfelt wird, beträgt ${\displaystyle {\binom {10}{2}}\left({\tfrac {1}{6}}\right)^{2}\left({\tfrac {5}{6}}\right)^{8}}$ . Allgemein wird die Wahrscheinlichkeit, dass man ${\displaystyle k}$ -mal eine solche Zahl würfelt ${\displaystyle (0\leq k\leq 10)}$ , durch die Binomialverteilung ${\displaystyle B_{10,{\tfrac {1}{6}}}(k)}$  beschrieben.

Häufig wird der durch die Binomialverteilung beschriebene Prozess auch durch ein sogenanntes Urnenmodell illustriert. In einer Urne seien z. B. 6 Kugeln, 1 davon weiß, die anderen schwarz. Man greife nun 10-mal in die Urne, hole eine Kugel heraus, notiere deren Farbe und lege die Kugel wieder zurück. In einer speziellen Deutung dieses Prozesses wird das Ziehen einer weißen Kugel als positives Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$  verstanden, das Ziehen einer nicht-weißen Kugel als negatives Ereignis. Die Wahrscheinlichkeiten sind genauso verteilt wie im Beispiel mit dem Spielwürfel.

Eine Münze wird 7-mal geworfen. Wenn die diskrete Zufallsvariable ${\displaystyle X}$  die Anzahl der Würfe zählt, mit denen „Zahl“ geworfen wird, ergibt sich für ${\displaystyle X}$  eine Binomialverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle P(X=k)=B(k\mid {\tfrac {1}{2}},7)={\begin{cases}{\binom {7}{k}}({\tfrac {1}{2}})^{k}(1-{\tfrac {1}{2}})^{7-k}&{\text{falls}}\quad k\in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7\right\},\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$ 

Die Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten lassen sich in folgender Tabelle zusammenfassen:

Der Erwartungswert der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$  ist

${\displaystyle \mathrm {E} [X]={\color {BrickRed}\mu }=np=7\cdot {\frac {1}{2}}={\color {BrickRed}3{,}5}}$ .

Die Varianz der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$  ist demnach gegeben durch

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} [X]=\sigma ^{2}&=\sum _{k=0}^{7}(k-{\color {BrickRed}\mu })^{2}p_{k}=(0-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {1}{128}}+(1-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {7}{128}}+(2-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {21}{128}}+(3-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {35}{128}}\\&\quad +(4-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {35}{128}}+(5-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {21}{128}}+(6-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {7}{128}}+(7-{\color {BrickRed}3{,}5})^{2}\cdot {\frac {1}{128}}={\frac {7}{4}}=1{,}75\end{aligned}}}$ 

Mit dem Verschiebungssatz erhält man ebenfalls den gleichen Wert für die Varianz:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\left(\sum _{k=0}^{7}k^{2}p_{k}\right)-{\color {BrickRed}\mu }^{2}=0^{2}\cdot {\frac {1}{128}}+1^{2}\cdot {\frac {7}{128}}+2^{2}\cdot {\frac {21}{128}}+3^{2}\cdot {\frac {35}{128}}+4^{2}\cdot {\frac {35}{128}}+5^{2}\cdot {\frac {21}{128}}+6^{2}\cdot {\frac {7}{128}}+7^{2}\cdot {\frac {1}{128}}-{\color {BrickRed}3{,}5}^{2}=1{,}75}$ .

Für die Standardabweichung ergibt sich damit:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sigma ^{2}}}={\sqrt {1{,}75}}\approx 1{,}323}$ .

• Die Binomialverteilung ist in den Spezialfällen ${\displaystyle p=0}$ , ${\displaystyle p=0{,}5}$  und ${\displaystyle p=1}$  symmetrisch und ansonsten asymmetrisch.
• Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung besitzt die Eigenschaft

${\displaystyle B(k|p,n)=B(n-k|1-p,n)\quad {\text{für }}k\in \{0,1,\dots ,n\}}$ .

Eine binomialverteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X\sim B(n,p)}$  besitzt den Erwartungswert ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=np}$ .

Beweis

Den Erwartungswert errechnet man direkt aus der Definition ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{k=0}^{n}kP(X=k)}$  und der Formel für die Einzelwahrscheinlichkeiten zu

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=np\sum _{k=0}^{n}k{\frac {(n-1)!}{(n-k)!k!}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{\ell =0}^{n-1}{\binom {n-1}{\ell }}p^{\ell }(1-p)^{(n-1)-\ell }\quad {\text{mit }}\ell :=k-1\\&=np\sum _{\ell =0}^{m}{\binom {m}{\ell }}p^{\ell }(1-p)^{m-\ell }\qquad {\text{mit }}m:=n-1\\&=np\left(p+\left(1-p\right)\right)^{m}=np1^{m}=np.\end{aligned}}}$ 

Alternativ kann man verwenden, dass eine ${\displaystyle B(\cdot \mid p,n)}$ -verteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$  als eine Summe von ${\displaystyle n}$  unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$  mit ${\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=p}$  geschrieben werden kann. Mit der Linearität des Erwartungswertes folgt dann

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (X_{1}+\dotsb +X_{n})=\operatorname {E} (X_{1})+\dotsb +\operatorname {E} (X_{n})=np.}$ 

Alternativ kann man ebenfalls mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes folgenden Beweis geben: Differenziert man bei der Gleichung

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}}$ 

beide Seiten nach ${\displaystyle a}$ , ergibt sich

${\displaystyle n(a+b)^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}k{\tbinom {n}{k}}a^{k-1}b^{n-k}}$ ,

also

${\displaystyle na(a+b)^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}k{\tbinom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}}$ .

Mit ${\displaystyle a=p}$  und ${\displaystyle b=1-p}$  folgt das gewünschte Ergebnis.

Eine binomialverteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X\sim B(n,p)}$  besitzt die Varianz ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=np(1-p)}$ .

Beweis

Es sei ${\displaystyle X}$  eine ${\displaystyle B(n,p)}$ -verteilte Zufallsvariable. Die Varianz bestimmt sich direkt aus dem Verschiebungssatz ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\left(\operatorname {E} [X]\right)^{2}}$  zu

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} [X]&=\sum _{k=0}^{n}k^{2}\cdot P(X=k)-(np)^{2}\\&=\sum _{k=0}^{n}k^{2}\cdot {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}-n^{2}p^{2}\\&={\cancel {n^{2}p^{2}}}-np^{2}+np{\cancel {-n^{2}p^{2}}}\\&=np(1-p)\end{aligned}}}$ 

oder alternativ aus der Gleichung von Bienaymé, angewendet auf die Varianz unabhängiger Zufallsvariablen, wenn man berücksichtigt, dass die identisch verteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$  der Bernoulli-Verteilung mit ${\displaystyle \operatorname {Var} [X_{i}]=p(1-p)}$  genügen, zu

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {Var} [X_{1}+\dots +X_{n}]=\operatorname {Var} [X_{1}]+\dots +\operatorname {Var} [X_{n}]=n\operatorname {Var} [X_{1}]=np(1-p).}$ 

Die zweite Gleichheit gilt, weil die Einzelexperimente unabhängig sind, sodass die Einzelvariablen unkorreliert sind.

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man den Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {1-p}{np}}}.}$ 

Die Schiefe ergibt sich zu

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}.}$ 

Die Wölbung lässt sich ebenfalls geschlossen darstellen als

${\displaystyle \beta _{2}=3+{\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}.}$ 

Damit ist der Exzess

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}.}$ 

Der Modus, also der Wert mit der maximalen Wahrscheinlichkeit, ist für ${\displaystyle p<1}$  gleich ${\displaystyle k=\lfloor np+p\rfloor }$  und für ${\displaystyle p=1}$  gleich ${\displaystyle n}$ . Falls ${\displaystyle np+p}$  eine natürliche Zahl ist, ist ${\displaystyle k=np+p-1}$  ebenfalls ein Modus. Falls der Erwartungswert eine natürliche Zahl ist, ist der Erwartungswert gleich dem Modus.

Beweis

Sei ohne Einschränkung ${\displaystyle 0<p<1}$ . Wir betrachten den Quotienten

${\displaystyle \alpha _{k}:={\frac {B(k+1\mid p,n)}{B(k\mid p,n)}}={\frac {\,{\frac {n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}\,}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}}\cdot {\frac {p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}}{p^{k}(1-p)^{n-k}}}={\frac {n-k}{k+1}}\cdot {\frac {p}{1-p}}}$ .

Nun gilt ${\displaystyle \alpha _{k}>1}$ , falls ${\displaystyle k<np+p-1}$  und ${\displaystyle \alpha _{k}<1}$ , falls ${\displaystyle k>np+p-1}$ . Also:

${\displaystyle {\begin{aligned}k>(n+1)p-1\Rightarrow \alpha _{k}<1\Rightarrow B(k+1\mid p,n)<B(k\mid p,n)\\k=(n+1)p-1\Rightarrow \alpha _{k}=1\Rightarrow B(k+1\mid p,n)=B(k\mid p,n)\\k<(n+1)p-1\Rightarrow \alpha _{k}>1\Rightarrow B(k+1\mid p,n)>B(k\mid p,n)\end{aligned}}}$ 

Und nur im Fall ${\displaystyle np+p-1\in \mathbb {N} }$  hat der Quotient den Wert 1, d. h. ${\displaystyle B(np+p-1\mid n,p)=B(np+p\mid n,p)}$ .

Es ist nicht möglich, eine allgemeine Formel für den Median der Binomialverteilung anzugeben. Daher sind verschiedene Fälle zu betrachten, die einen geeigneten Median liefern:

• Ist ${\displaystyle np}$  eine natürliche Zahl, dann stimmen Erwartungswert, Median und Modus überein und sind gleich ${\displaystyle np}$ .^[7][8]
• Ein Median ${\displaystyle m}$  liegt im Intervall ${\displaystyle \lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil np\rceil }$ .^[9] Hierbei bezeichnen ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$  die Abrundungsfunktion und ${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$  die Aufrundungsfunktion.
• Ein Median ${\displaystyle m}$  kann nicht zu stark vom Erwartungswert abweichen: ${\displaystyle |m-np|\leq \min\{\ln 2,\max\{p,1-p\}\}}$ .^[10]
• Der Median ist eindeutig und stimmt mit ${\displaystyle m=}$  round${\displaystyle (np)}$  überein, wenn entweder ${\displaystyle p\leq 1-\ln 2}$  oder ${\displaystyle p\geq \ln 2}$  oder ${\displaystyle |m-np|\leq \min\{p,1-p\}}$  (außer wenn ${\displaystyle p=1/2}$  und ${\displaystyle n}$  gerade ist).^[9][10]
• Ist ${\displaystyle p=1/2}$  und ${\displaystyle n}$  ungerade, so ist jede Zahl ${\displaystyle m}$  im Intervall ${\displaystyle 1/2(n-1)\leq m\leq 1/2(n+1)}$  ein Median der Binomialverteilung mit Parametern ${\displaystyle p}$  und ${\displaystyle n}$ . Ist ${\displaystyle p=1/2}$  und ${\displaystyle n}$  gerade, so ist ${\displaystyle m=n/2}$  der eindeutige Median.

Analog zur Bernoulli-Verteilung ist die kumulantenerzeugende Funktion

${\displaystyle g_{X}(t)=n\ln(pe^{t}+q)}$ .

Damit sind die ersten Kumulanten ${\displaystyle \kappa _{1}=np,\kappa _{2}=npq}$  und es gilt die Rekursionsgleichung

${\displaystyle \kappa _{k+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{k}}{dp}}.}$ 

Die charakteristische Funktion hat die Form

${\displaystyle \phi _{X}(s)=\left(\left(1-p\right)+p\mathrm {e} ^{\mathrm {i} s}\right)^{n}=\left(q+p\mathrm {e} ^{\mathrm {i} s}\right)^{n}.}$ 

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

${\displaystyle g_{X}(s)=(ps+(1-p))^{n}.}$ 

Die momenterzeugende Funktion der Binomialverteilung lautet

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{X}(s)&=\operatorname {E} \left(e^{sX}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}\mathrm {e} ^{sk}\cdot {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\mathrm {e} ^{s}p)^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\left(p\cdot \mathrm {e} ^{s}+\left(1-p\right)\right)^{n}.\end{aligned}}}$ 

Für die Summe ${\displaystyle Z=X+Y}$  zweier unabhängiger binomialverteilter Zufallsgrößen ${\displaystyle X}$  und ${\displaystyle Y}$  mit den Parametern ${\displaystyle n_{1}}$ , ${\displaystyle p}$  und ${\displaystyle n_{2}}$ , ${\displaystyle p}$  erhält man die Einzelwahrscheinlichkeiten durch Anwendung der Vandermondeschen Identität

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n_{1}}{i}}p^{i}(1-p)^{n_{1}-i}\right]\left[{\binom {n_{2}}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{n_{2}-k+i}\right]\\&={\binom {n_{1}+n_{2}}{k}}p^{k}(1-p)^{n_{1}+n_{2}-k}\qquad (k=0,1,\dotsc ,n_{1}+n_{2}),\end{aligned}}}$ 

also wieder eine binomialverteilte Zufallsgröße, jedoch mit den Parametern ${\displaystyle n_{1}+n_{2}}$  und ${\displaystyle p}$ . Somit gilt für die Faltung

${\displaystyle \operatorname {Bin} (n,p)*\operatorname {Bin} (m,p)=\operatorname {Bin} (n+m,p)}$ 

Die Binomialverteilung ist also reproduktiv für festes ${\displaystyle p}$  bzw. bildet eine Faltungshalbgruppe.

Wenn die Summe ${\displaystyle Z=X+Y}$  bekannt ist, folgt jede der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$  und ${\displaystyle Y}$  unter dieser Bedingung einer hypergeometrischen Verteilung. Dazu berechnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(X=\ell |Z=k)&={\frac {P(X=\ell \cap Z=k)}{P(Z=k)}}\\&={\frac {P(X=\ell \cap Y=k-\ell )}{P(Z=k)}}\\&={\frac {P(X=\ell )P(Y=k-\ell )}{P(Z=k)}}\\&={\frac {{\binom {n_{1}}{\ell }}p^{\ell }(1-p)^{n_{1}-\ell }{\binom {n_{2}}{k-\ell }}p^{k-\ell }(1-p)^{n_{2}-k+\ell }}{{\binom {n_{1}+n_{2}}{k}}p^{k}(1-p)^{n_{1}+n_{2}-k}}}\\&={\frac {{\binom {n_{1}}{\ell }}{\binom {n_{2}}{k-\ell }}}{\binom {n_{1}+n_{2}}{k}}}\\&=h(\ell ;n_{1}+n_{2};n_{1};k)\end{aligned}}}$ 

Dies stellt eine hypergeometrische Verteilung dar.

Allgemein gilt: Wenn die ${\displaystyle m}$  Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{i}}$  stochastisch unabhängig sind und den Binomialverteilungen ${\displaystyle B(n_{i},p)}$  genügen, dann ist auch die Summe ${\displaystyle X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{m}}$  binomialverteilt, jedoch mit den Parametern ${\displaystyle n_{1}+n_{2}+\dotsb +n_{m}}$  und ${\displaystyle p}$ . Addiert man binomialverteilte Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$  mit ${\displaystyle p_{1}\neq p_{2}}$ , dann erhält man eine verallgemeinerte Binomialverteilung.

Ein Spezialfall der Binomialverteilung für ${\displaystyle n=1}$  ist die Bernoulli-Verteilung. Die Summe von unabhängigen und identischen Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen genügt demnach der Binomialverteilung.

Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der verallgemeinerten Binomialverteilung mit ${\displaystyle p_{i}=p_{j}}$  für alle ${\displaystyle i,j\in \{1,\dotsc ,n\}}$ . Genauer ist sie für festen Erwartungswert und feste Ordnung diejenige verallgemeinerte Binomialverteilung mit maximaler Entropie.^[11]

Nach dem Satz von Moivre-Laplace konvergiert die Binomialverteilung im Grenzfall ${\displaystyle n\to \infty }$  gegen eine Normalverteilung, d. h., die Normalverteilung kann als brauchbare Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang hinreichend groß und der Anteil der gesuchten Ausprägung nicht zu klein ist. Mit dem Galtonbrett kann man die Annäherung an die Normalverteilung experimentell nachempfinden.

Es gilt ${\displaystyle \mu =np}$  und ${\displaystyle \sigma ^{2}=npq.}$  Durch Einsetzen in die Verteilungsfunktion ${\displaystyle \Phi }$  der Standardnormalverteilung folgt

${\displaystyle B(k\mid p,n)\approx \Phi \left({k+0{,}5-np \over {\sqrt {npq}}}\right)-\ \Phi \left({k-0{,}5-np \over {\sqrt {npq}}}\right)\approx {1 \over {\sqrt {npq}}}\cdot \ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\cdot \ \exp \left(-{{(k-np)}^{2} \over 2npq}\right).}$ 

Wie zu sehen, ist das Ergebnis damit nichts anderes als der Funktionswert der Normalverteilung für ${\displaystyle x=k}$ , ${\displaystyle \mu =n\cdot p}$  sowie ${\displaystyle \sigma ^{2}=n\cdot p\cdot q}$  (den man sich anschaulich auch als Flächeninhalt des ${\displaystyle k}$ -ten Streifens des Histogramms der standardisierten Binomialverteilung mit ${\displaystyle 1/\sigma }$  als dessen Breite sowie ${\displaystyle \Phi ((k-\mu )/\sigma )}$  als dessen Höhe vorstellen kann).^[12] Die Annäherung der Binomialverteilung an die Normalverteilung wird bei der Normal-Approximation genutzt, um schnell die Wahrscheinlichkeit vieler Stufen der Binomialverteilung zu bestimmen, zumal dann, wenn für diese keine Tabellenwerte (mehr) vorliegen.

Eine asymptotisch asymmetrische Binomialverteilung, deren Erwartungswert ${\displaystyle np}$  für ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$  und ${\displaystyle p\rightarrow 0}$  gegen eine Konstante ${\displaystyle \lambda }$  konvergiert, kann man durch die Poisson-Verteilung annähern. Der Wert ${\displaystyle \lambda }$  ist dann für alle in der Grenzwertbildung betrachteten Binomialverteilungen wie auch für die resultierende Poisson-Verteilung der Erwartungswert. Diese Annäherung wird auch als Poisson-Approximation, Poissonscher Grenzwertsatz oder als das Gesetz seltener Ereignisse bezeichnet.

${\displaystyle {\begin{aligned}B(k\mid p,n)&={n \choose k}p^{k}\,(1-p)^{n-k}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}\left({\frac {np}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {np}{n}}\right)^{n-k}\\&={\frac {n(n-1)(n-2)\dotsm (n-k+1)}{n^{k}}}\,{\frac {(np)^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {np}{n}}\right)^{n-k}\\&=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\dotsm \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right){\frac {(np)^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {(np)}{n}}\right)^{n-k}\\&\to \,{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda },\quad {\text{mit}}\quad \lambda =n\cdot {}p\quad {\text{wenn}}\quad n\to \infty \quad {\text{und}}\quad p\rightarrow 0\end{aligned}}}$ 

Eine Faustregel besagt, dass diese Näherung brauchbar ist, wenn ${\displaystyle n\geq 50}$  und ${\displaystyle p\leq 0{,}05}$ .

Die Poisson-Verteilung ist also die Grenzverteilung der Binomialverteilung für große ${\displaystyle n}$  und kleine ${\displaystyle p}$ , es handelt sich hierbei um Konvergenz in Verteilung.

Die Zahl der Misserfolge bis zum erstmaligen Eintritt eines Erfolgs wird durch die geometrische Verteilung beschrieben.

Die negative Binomialverteilung hingegen beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, um in einem Bernoulli-Prozess eine vorgegebene Anzahl von Erfolgen zu erzielen. In der Tabelle werden beide Verteilungen veranschaulicht:

Bei der Binomialverteilung werden die ausgewählten Stichproben wieder in die Auswahlmenge zurückgeführt, können also zu einem späteren Zeitpunkt erneut ausgewählt werden. Werden im Gegensatz dazu die Stichproben nicht in die Grundgesamtheit zurückgegeben, kommt die hypergeometrische Verteilung zur Anwendung. Die beiden Verteilungen gehen bei großem Umfang ${\displaystyle N}$  der Grundgesamtheit und geringem Umfang ${\displaystyle n}$  der Stichproben ineinander über. Als Faustregel gilt, dass für ${\displaystyle n/N\leq 0{,}05}$  auch bei Nichtzurücklegen der Stichproben die Binomialverteilung statt der mathematisch anspruchsvolleren hypergeometrischen Verteilung verwendet werden kann, da beide in diesem Fall nur unwesentlich voneinander abweichende Ergebnisse liefern.

Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der Multinomialverteilung.

Ist ${\displaystyle Y}$  Binomialverteilt zum Parameter ${\displaystyle p=0{,}5}$  und ${\displaystyle n}$ , so lässt sich ${\displaystyle Y}$  als skalierte Summe von ${\displaystyle n}$  Rademacher-verteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$  darstellen:

${\displaystyle Y=0{,}5\left(n+\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)}$ 

Dies wird insbesondere bei der symmetrischen einfachen Irrfahrt auf ${\displaystyle \mathbb {Z} }$  verwendet.

Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der Panjer-Verteilung, welche die Verteilungen Binomialverteilung, Negative Binomialverteilung und Poisson-Verteilung in einer Verteilungsklasse vereint.

Für viele Anwendungen ist es nötig, die Verteilungsfunktion

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}B(i\mid p,n)}$ 

konkret auszurechnen (beispielsweise bei statistischen Tests oder für Konfidenzintervalle).

Hier hilft die folgende Beziehung zur Betaverteilung:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}=\operatorname {Beta} (1-p;n-k;k+1)}$ 

Diese lautet für ganzzahlige positive Parameter ${\displaystyle a}$  und ${\displaystyle b}$ :

${\displaystyle \operatorname {Beta} (x;a;b)={(a+b-1)! \over (a-1)!\cdot (b-1)!}\int _{0}^{x}u^{a-1}(1-u)^{b-1}\,\mathrm {d} u}$ 

Um die Gleichung

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}={n! \over (n-k-1)!\cdot k!}\int _{0}^{1-p}u^{n-k-1}(1-u)^{k}\,\mathrm {d} u}$ 

zu beweisen, kann man folgendermaßen vorgehen:

• Die linke und rechte Seite stimmen für ${\displaystyle p=0}$  überein (beide Seiten sind gleich 1).
• Die Ableitungen nach ${\displaystyle p}$  stimmen für die linke und rechte Seite der Gleichung überein, sie sind nämlich beide gleich ${\displaystyle -{n! \over (n-k-1)!\cdot k!}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k-1}}$ .

Eine Binomialverteilung, deren Parameter ${\displaystyle p}$  Beta-verteilt ist, nennt man eine Beta-Binomialverteilung. Sie ist eine Mischverteilung.

Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der Pólya-Verteilung (wähle ${\displaystyle c=0}$ ).

•  
  p = 0,5 und n = 4, 16, 64
•  
  Mittelwert abgezogen
•  
  Skalierung mit Standardabweichung

Dieser Fall tritt auf beim ${\displaystyle n}$ -fachen Münzwurf mit einer fairen Münze (Wahrscheinlichkeit für Kopf gleich der für Zahl, also gleich 1/2). Die erste Abbildung zeigt die Binomialverteilung für ${\displaystyle p=0{,}5}$  und für verschiedene Werte von ${\displaystyle n}$  als Funktion von ${\displaystyle k}$ . Diese Binomialverteilungen sind spiegelsymmetrisch um den Wert ${\displaystyle k=n/2}$ :

${\displaystyle B(k\mid 1/2;n)=B(n-k\mid 1/2;n)}$ 

Dies ist in der zweiten Abbildung veranschaulicht. Die Breite der Verteilung wächst proportional zur Standardabweichung ${\displaystyle \sigma ={\frac {\sqrt {n}}{2}}}$ . Der Funktionswert bei ${\displaystyle k=n/2}$ , also das Maximum der Kurve, sinkt proportional zu ${\displaystyle \sigma }$ .

Dementsprechend kann man Binomialverteilungen mit unterschiedlichem ${\displaystyle n}$  aufeinander skalieren, indem man die Abszisse ${\displaystyle k-n/2}$  durch ${\displaystyle \sigma }$  teilt und die Ordinate mit ${\displaystyle \sigma }$  multipliziert (dritte Abbildung oben).

Die nebenstehende Graphik zeigt noch einmal reskalierte Binomialverteilungen, nun für andere Werte von ${\displaystyle n}$  und in einer Auftragung, die besser verdeutlicht, dass sämtliche Funktionswerte mit steigendem ${\displaystyle n}$  gegen eine gemeinsame Kurve konvergieren. Indem man die Stirling-Formel auf die Binomialkoeffizienten anwendet, erkennt man, dass diese Kurve (im Bild schwarz durchgezogen) eine Gaußsche Glockenkurve ist:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$ .

Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte zur Standardnormalverteilung ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ . Im zentralen Grenzwertsatz wird dieser Befund so verallgemeinert, dass auch Folgen anderer diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegen die Normalverteilung konvergieren.

Die zweite nebenstehende Graphik zeigt die gleichen Daten in einer halblogarithmischen Auftragung. Dies ist dann zu empfehlen, wenn man überprüfen möchte, ob auch seltene Ereignisse, die um mehrere Standardabweichungen vom Erwartungswert abweichen, einer Binomial- oder Normalverteilung folgen.

In einem Behälter befinden sich 80 Kugeln, davon sind 16 gelb. Es wird 5-mal eine Kugel entnommen und anschließend wieder zurückgelegt. Wegen des Zurücklegens ist die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Kugel zu ziehen, bei allen Entnahmen gleich groß, und zwar 16/80 = 1/5. Der Wert ${\displaystyle B\left(k\mid {\tfrac {1}{5}};5\right)}$  gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau ${\displaystyle k}$  der entnommenen Kugeln gelb sind. Als Beispiel rechnen wir ${\displaystyle k=3}$ :

${\displaystyle B\left(3\mid {\tfrac {1}{5}};5\right)={\binom {5}{3}}\cdot \left({\frac {1}{5}}\right)^{3}\cdot \left({\frac {4}{5}}\right)^{2}={\frac {5\cdot 4}{1\cdot 2}}\cdot {\frac {1}{125}}\cdot {\frac {16}{25}}={\frac {64}{1250}}=0{,}0512}$ 

In ungefähr 5 % der Fälle zieht man also genau 3 gelbe Kugeln.