Funció zeta de Lerch

En matemàtiques, la funció zeta de Lerch, de vegades anomenada funció zeta de Hurwitz-Lerch, és una funció especial que generalitza la funció zeta de Hurwitz i el polilogaritme. Porta el nom del matemàtic txec Matyáš Lerch (1860-1922)^[1]

La funció zeta de Lerch ve donada per

${\displaystyle L(\lambda ,\alpha ,s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{2\pi i\lambda n}}{(n+\alpha )^{s}}}.}$

Una funció relacionada, el transcendent de Lerch, ve donada per

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}.}$

Les dues funcions estan relacionats, tal com

${\displaystyle \,\Phi (e^{2\pi i\lambda },s,\alpha )=L(\lambda ,\alpha ,s).}$

Una representació integral ve donada per

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

per a

${\displaystyle \Re (a)>0\wedge \Re (s)>0\wedge z<1\vee \Re (a)>0\wedge \Re (s)>1\wedge z=1.}$

Una representació integral de contorn ve donada com

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{0}^{(+\infty )}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

per a

${\displaystyle \Re (a)>0\wedge \Re (s)<0\wedge z<1}$

on el contorn no ha de tancar cap dels punts ${\displaystyle t=\log(z)+2k\pi i,k\in Z.}$

Hi ha una representació integral semblant a l'integral d'Hermite

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,dt+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

per a

${\displaystyle \Re (a)>0\wedge |z|<1}$

i

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}(1/z)}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log(1/z))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

per a

${\displaystyle \Re (a)>0.}$

Representacions semblants incluen

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\tanh \pi t}}\,dt,}$

i

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\sinh \pi t}}\,dt,}$

sostenint per z positiu (i més generalment allà on conflueixen les integrals). A més,

${\displaystyle \Phi (e^{i\varphi },s,a)=L{\big (}{\tfrac {\varphi }{2\pi }},a,s{\big )}={\frac {1}{a^{s}}}+{\frac {1}{2\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}{\big (}e^{i\varphi }-e^{-t}{\big )}}{\cosh {t}-\cos {\varphi }}}\,dt,}$

Aquesta última fórmula també es coneix com a fórmula de Lipschitz.

La funció zeta de Hurwitz és un cas especial, donat per

${\displaystyle \,\zeta (s,\alpha )=L(0,\alpha ,s)=\Phi (1,s,\alpha ).}$

El polilogaritme és un cas especial de la funció zeta de Lerch, donat per

${\displaystyle \,{\textrm {Li}}_{s}(z)=z\Phi (z,s,1).}$

La funció khi de Legendre és un cas especial, donat per

${\displaystyle \,\chi _{n}(z)=2^{-n}z\Phi (z^{2},n,1/2).}$

La funció zeta de Riemann ve donada per

${\displaystyle \,\zeta (s)=\Phi (1,s,1).}$

La funció eta de Dirichlet ve donada per

${\displaystyle \,\eta (s)=\Phi (-1,s,1).}$

Per a λ racional, la suma és una arrel de la unitat, i per tant ${\displaystyle L(\lambda ,\alpha ,s)}$ es pot expressar com una suma finita sobre la funció zeta de Hurwitz. Suposem ${\displaystyle \lambda ={\frac {p}{q}}}$ amb ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$ i ${\displaystyle q>0}$. Llavors ${\displaystyle z=\omega =e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}$ i ${\displaystyle \omega ^{q}=1}$.

${\displaystyle \Phi (\omega ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{qn+m}}{(qn+m+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\omega ^{m}q^{-s}\zeta (s,{\frac {m+\alpha }{q}})}$

Diverses identitats inclouen:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}$

i

${\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}$

i

${\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-\,{\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a).}$

Una representació en sèries per al transcendent de Lerch ve donada per

${\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(q+k)^{-s}.}$

(Vegeu que ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$és un coeficient binomial).

La sèrie és vàlida per a totes s, i per a z complex amb Re(z)<1/2. Vegeu que hi ha una semblança general amb una representació en sèries similar per a la funció zeta de Hurwitz.

Arthur Erdélyi va donar una sèrie de Taylor al primer paràmetre. Es pot escriure com a la sèrie següent, que és vàlida per a:^[2]

${\displaystyle |\log(z)|<2\pi ;s\neq 1,2,3,\dots ;a\neq 0,-1,-2,\dots }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\left[\Gamma (1-s)\left(-\log(z)\right)^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }\zeta (s-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}\right]}$

Si s és un nombre enter positiu, llavors

${\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left[\psi (n)-\psi (a)-\log(-\log(z))\right]{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\},}$

on ${\displaystyle \psi (n)}$ és la funció digamma.

Una sèrie de Taylor amb una tercera variable ve donada per

${\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}};|x|<\Re (a),}$

on ${\displaystyle (s)_{k}}$ és el símbol de Pochhammer.

La sèrie a = -n ve donada per

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}};\ a\rightarrow -n}$

Un cas especial per a n = 0 té la següent sèrie

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}};|a|<1,}$

on ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$ és el polilogaritme.

Una sèrie asimptòtica per a ${\displaystyle s\rightarrow -\infty }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[2k\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{2k\pi ai}}$

per a ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (-\infty ,0)}$, i

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[(2k+1)\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{(2k+1)\pi ai}}$

per a ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (0,\infty ).}$

Una sèrie asimptòtica en la funció gamma incompleta

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi i(k-1)a}\Gamma (1-s,a(-2\pi i(k-1)-\log(z)))}{(-2\pi i(k-1)-\log(z))^{1-s}}}+{\frac {e^{2\pi ika}\Gamma (1-s,a(2\pi ik-\log(z)))}{(2\pi ik-\log(z))^{1-s}}}}$

per a ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0.}$

La funció polilogarítmica ${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$ es defineix com

${\displaystyle \mathrm {Li} _{0}(z)={\frac {1}{1-z}},\qquad \mathrm {Li} _{-n}(z)=z{\frac {d}{dz}}\mathrm {Li} _{1-n}(z).}$

Sigui

${\displaystyle \Omega _{a}\equiv {\begin{cases}\mathbb {C} \setminus [1,\infty )&{\text{if }}\Re a>0,\\{z\in \mathbb {C} ,|z|<1}&{\text{if }}\Re a\leq 0.\end{cases}}}$

Per a ${\displaystyle |\mathrm {Arg} (a)|<\pi ,s\in \mathbb {C} }$ i ${\displaystyle z\in \Omega _{a}}$, una expansió asimptòtica de ${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$ per a grans ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle s}$ fixes i ${\displaystyle z}$ és donada per

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {(-1)^{n}\mathrm {Li} _{-n}(z)}{n!}}{\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O(a^{-N-s})}$

per a ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$.^[3]

Sigui

${\displaystyle f(z,x,a)\equiv {\frac {1-(ze^{-x})^{1-a}}{1-ze^{-x}}}.}$

Fem que ${\displaystyle C_{n}(z,a)}$ siguin els seus coeficients de Taylor a ${\displaystyle x=0}$. Aleshores, per a solucions ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,\Re a>1}$ i ${\displaystyle \Re s>0}$,

${\displaystyle \Phi (z,s,a)-{\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z^{a}}}=\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(z,a){\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O\left((\Re a)^{1-N-s}+az^{-\Re a}\right),}$

com ${\displaystyle \Re a\to \infty }$.^[4]

El transcendent de Lerch està implementat a LerchPhi in Maple.

• Apostol, T. M. Lerch's Transcendent (en anglès). Cambridge University Press: NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010. ISBN 978-0-521-19225-5. 
• Bateman, H.; Erdélyi, A. Higher Transcendental Functions ( PDF) (en anglès). I. New York: McGraw-Hill, 1953. «Vegeu § 1.11, "The function Ψ(z,s,v)", p. 27»  Arxivat 2011-08-11 a Wayback Machine.
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan. «9.55». A: Table of Integrals, Series, and Products (en anglès). Academic Press, 2015. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276. 
• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan «Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent» (en anglès). The Ramanujan Journal, 16(3), 2008, pàg. 247–270. arXiv: math.NT/0506319. DOI: 10.1007/s11139-007-9102-0.
• Jackson, M. «On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series ₂ψ₂» (en anglès). J. London Math. Soc., 25(3), 1950, pàg. 189–196. DOI: 10.1112/jlms/s1-25.3.189.
• Johansson, F.; Blagouchine, Ia. «Computing Stieltjes constants using complex integration» (en anglès). Mathematics of Computation, 88(318), 2019, pàg. 1829-1850. arXiv: 1804.01679. DOI: 10.1090/mcom/3401.
• Laurinčikas, Antanas; Garunkštis, Ramūnas. The Lerch zeta-function (en anglès). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. ISBN 978-1-4020-1014-9. 
• Lerch, Matyáš «Note sur la fonction ${\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {K}}(w,x,s)=\sum _{k=0}^{\infty }{e^{2k\pi ix} \over (w+k)^{s}}}$» ( PDF) (en francès). Acta Mathematica, 11(1–4), 1887, pàg. 19–24. DOI: 10.1007/BF02612318..

• Aksenov, Sergej V.; Jentschura, Ulrich D. «C and Mathematica Programs for Calculation of Lerch's Transcendent» (en anglès), 2002.
• Garunkstis, Ramunas. «Provides numerous references and preprints» (en anglès), 2005.
• Garunkstis, Ramunas. «Approximation of the Lerch Zeta Function» ( PDF) (en anglès).
• Weisstein, Eric W., «Lerch Transcendent» a MathWorld (en anglès).
• «§25.14, Lerch's Transcendent» (en anglès). NIST Digital Library of Mathematical Functions. National Institute of Standards and Technology, 2010.