Equació exponencial

Una equació exponencial és aquella equació en què la incògnita apareix, únicament, en els exponents de potències de bases constants.^[1] La incògnita pot aparèixer en l'exponent d'un o més termes, en qualsevol membre de l'equació. És a dir, una constant està elevada a una funció de la incògnita a aclarir, usualment representada per ${\displaystyle x}$. Per resoldre aquestes equacions s'utilitzen les propietats de la potenciació, la radicació dels logaritmes i canvi de la incògnita per una altra.

Sigui ${\displaystyle a}$ un nombre real fixe, positiu i diferent de 1, llavors l'equació es denomina equació exponencial elemental.^[2]

${\displaystyle a^{x}=b}$

Depèn del tipus d'equació exponencial de què es tracti, hi ha diverses formes de resoldre-la, pel seu nivell de complexitat. Les més fàcils són per simple inspecció, és a dir, es descompon la part numèrica en els seus factors primers i aplicant logaritme a banda i banda de la igualtat. A continuació, es brinden alguns exemples.

Sigui l'equació de l'exemple següent:

${\displaystyle 2^{x+1}=16}$

Si el primer membre només té un terme i el terme del segon membre és potència de la base del terme del primer membre, llavors el segon membre s'expressa com a potència de la base de l'expressió que conté la incògnita. En l'exemple, 16 és potència de la base dues de ${\displaystyle 2^{x+1}}$.

${\displaystyle 2^{x+1}=2^{4}}$

Després, aplicant la següent propietat: ${\displaystyle a^{x}=a^{y}\Rightarrow x=y}$, llavors: ${\displaystyle x+1=4}$

${\displaystyle x=4-1\rightarrow x=3}$

Donada l'equació exponencial de l'exemple següent:

${\displaystyle 2\cdot 7^{x+2}+7^{x}=33957}$

Se simplifica la seva escriptura:

${\displaystyle 2\cdot (7^{x})\cdot 7^{2}+(7^{x})=33957}$

S'aplica el canvi de variable i s'escriu:

${\displaystyle 7^{x}=a}$

Ara, en reemplaçar, es té:

${\displaystyle 2a\cdot 49+a=33957}$

S'aïlla ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle 99a=33957}$

${\displaystyle a={\frac {33957}{99}}\rightarrow a=343}$

i finalment, es desfà el canvi de variable:

${\displaystyle x=\log _{7}(a)=\log _{7}(343)=3}$

Donada l'equació:^[3]

${\displaystyle 2\cdot 9^{x}-3^{x+1}-2=0}$

se simplifica:

${\displaystyle 2\cdot (3^{x})^{2}-3\cdot 3^{x}-2=0}$

Després se substitueix ${\displaystyle y=3^{x}}$, amb això s'aconsegueix una equació de segon grau:

${\displaystyle 2y^{2}-3y-2=0}$

Si es resol l'equació de segon grau s'aconsegueixen els següents resultats: ${\displaystyle y=2}$; ${\displaystyle y=-{\frac {1}{2}}}$. L'última solució és impossible, atès que ${\displaystyle 3^{x}>0}$. Per tant, només pot ser la solució ${\displaystyle 3^{x}=2}$:

${\displaystyle x=\log _{3}(2)}$

Donada l'equació:

${\displaystyle 4^{x+1}\cdot 8^{x}=4096}$

S'aplica el logaritme a banda i banda de l'equació:

${\displaystyle log_{2}(4^{x+1}\cdot 8^{x})=\log _{2}4096}$

Per propietats dels logaritmes, s'obté:

${\displaystyle log_{2}(4^{x+1})+\log _{2}(8^{x})=\log _{2}4096}$

${\displaystyle (x+1)\cdot \log _{2}4+x\cdot \log _{2}8=\log _{2}4096}$

Operant:

${\displaystyle (x+1)\cdot 2+x\cdot 3=12\Rightarrow 2x+2+3x=12\Rightarrow 5x=10}$

Finalment, s'aïlla i es resol:

${\displaystyle x=2}$

Donada l'equació:

${\displaystyle 4^{x+1}\cdot 8^{x}=4096}$

Es passen les potències de base 4 i 8 a potències de base 2, com també ${\displaystyle 4096=2^{12}}$, es té:

${\displaystyle 2^{2x+2}\cdot 2^{3x}=2^{12}}$

Igualant els exponents:

${\displaystyle (2x+2)+3x=12}$

Finalment:

${\displaystyle 5x=10\Rightarrow x=2}$

Quan la incògnita es troba en l'índex d'una arrel, també se la considera exponencial, ja que es pot rescriure com a potència amb exponent fraccionari. Sigui l'equació:

${\displaystyle {\sqrt[{3x+1}]{2^{x+2}}}=8}$

Noti's que la variable es troba també en líndex de l'arrel. Per les propietats de la radicació, es reescriu com:

${\displaystyle 2^{\frac {x+2}{3x+1}}=8}$

S'aplica el mètode d'igualació de bases:

${\displaystyle 2^{\frac {x+2}{3x+1}}=2^{3}}$

Igualant els exponents:

${\displaystyle {\frac {x+2}{3x+1}}=3}$

Operant i aïllant:

${\displaystyle x=-{\frac {1}{8}}}$

Consideri's la següent equació:

${\displaystyle 1+2+4+8+\cdots +2^{x}=1023}$

Noti's que els diferents termes formen part d'una progressió geomètrica. Per resoldre aquesta suma dels ${\displaystyle n}$ termes d'una progressió geomètrica, sabent que aquesta progressió té 5 termes:

${\displaystyle S_{n}={\cfrac {a_{n}r-a_{1}}{r-1}}}$

Se substitueixen els nombres a la fórmula:

${\displaystyle 1023={\frac {2^{x}\cdot 2-1}{2-1}}}$

Se simplifica:

${\displaystyle 1023=2^{x}\cdot 2-1\Rightarrow 1024=2^{x}\cdot 2\Rightarrow 512=2^{x}}$

Igualant les bases:

${\displaystyle 2^{9}=2^{x}}$

Resolent:

${\displaystyle 9=x}$

El mateix raonament és aplicable per a qualsevol progressió geomètrica.

Si ${\displaystyle C}$ representa el capital invertit a una taxa de ${\displaystyle r}$ per cent anual, i ${\displaystyle m}$ denota el nombre de vegades a l'any que s'acumula l'interès, llavors la suma acumulat ${\displaystyle M}$ després de ${\displaystyle x}$ anys es calcula mitjançant la fórmula:^[4]

${\displaystyle M=C\left(1+{\frac {r}{m}}\right)^{mx}}$

El valor de ${\displaystyle x}$ s'avalua mitjançant logaritmes.

També en el cas de la desintegració de cert material radioactiu es compleix la fórmula:

${\displaystyle Q=Q_{0}\cdot 10^{-kt}}$

On:

• ${\displaystyle Q}$ está en grams (g)
• ${\displaystyle t}$ en anys
• ${\displaystyle Q_{0}}$ en grams (g)

• ${\displaystyle k}$ és una constant de variació de la quantitat de substància respecte a la seva massa.^[5]

Les equacions exponencials també sorgeixen quan es volen calcular arrels o punts particulars de les funcions exponencials. En la funció exponencial ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \;/\;f(x)=2^{x}\,}$, per saber en quin punt la seva gràfica talla l'eix d'ordenades, s'ha de plantejar l'equació:

${\displaystyle 2^{0}=x}$

Operant s'arriba a la conclusió que ${\displaystyle x=1\,}$.

Si es vol saber en quin punt de l'eix d'abscisses la gràfica intersecta l'eix d'ordenades en el punt 1, es planteja:

${\displaystyle 2^{x}=1\Rightarrow x=0}$

Un altre exemple:

Trobar el valor de ${\displaystyle x\,}$ si ${\displaystyle f(x)=12}$ i ${\displaystyle f(x)=3^{x}\,}$

${\displaystyle 3^{x}=12\Rightarrow \log {3^{x}}=\log {12}\Rightarrow x={\frac {\log {12}}{\log {3}}}\approx 2{,}262}$

• Funció exponencial
• Logaritme
• Potenciació
• Arrel enèsima
• Equacions
• Progressió geomètrica