Distribució de Wishart inversa

Wishart inversa

Tipus	distribució matricial
Epònim	John Wishart
Notació	${\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu )}$
Paràmetres	${\displaystyle \nu >p-1}$ graus de llibertat (real) ${\displaystyle \mathbf {\Psi } >0}$, ${\displaystyle p\times p}$ matriu escalada (definida positivament)
Suport	${\displaystyle \mathbf {X} }$ és p × p definida positivament
fdp	${\displaystyle {\frac {\left|\mathbf {\Psi } \right|^{\nu /2}}{2^{\nu p/2}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}\left|\mathbf {x} \right|^{-(\nu +p+1)/2}e^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\mathbf {\Psi } \mathbf {x} ^{-1})}}$ ${\displaystyle \Gamma _{p}}$ és la funció gamma multivariada ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ és la traça de la funció
Esperança matemàtica	${\displaystyle {\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu -p-1}}}$ per a ${\displaystyle \nu >p+1}$
Moda	${\displaystyle {\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu +p+1}}}$[1]
Variància	vegeu el text

En estadística, la distribució de Wishart inversa, també anomenada distribució de Wishart invertida, és una distribució de probabilitat definida en matrius definides positives de valor real. En l'estadística bayesiana s'utilitza com a prior conjugada per a la matriu de covariància d'una distribució normal multivariant.

Diem ${\displaystyle \mathbf {X} }$ segueix una distribució de Wishart inversa, denotada com ${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu )}$, si és invers ${\displaystyle \mathbf {X} ^{-1}}$ té una distribució Wishart ${\displaystyle {\mathcal {W}}(\mathbf {\Psi } ^{-1},\nu )}$. S'han derivat identitats importants per a la distribució de Wishart inversa.^[2]

La funció de densitat de probabilitat del Wishart invers és: ^[3]

${\displaystyle f_{\mathbf {X} }({\mathbf {X} };{\mathbf {\Psi } },\nu )={\frac {\left|{\mathbf {\Psi } }\right|^{\nu /2}}{2^{\nu p/2}\Gamma _{p}({\frac {\nu }{2}})}}\left|\mathbf {X} \right|^{-(\nu +p+1)/2}e^{-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\mathbf {\Psi } \mathbf {X} ^{-1})}}$

on ${\displaystyle \mathbf {X} }$ i ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } }}$ són ${\displaystyle p\times p}$ matrius definides positives, ${\displaystyle |\cdot |}$ és el determinant i Γ _p (· ) és la funció gamma multivariant.

El següent es basa en Press, SJ (1982) "Applied Multivariate Analysis", 2a ed. (Dover Publications, Nova York), després de reparar el grau de llibertat per ser coherent amb la definició pdf anterior.^[4]

Si ${\displaystyle W\sim {\mathcal {W}}(\mathbf {\Psi } ^{-1},\nu )}$ amb ${\displaystyle \nu \geq p}$ i ${\displaystyle X\doteq W^{-1}}$, i que ${\displaystyle X\sim {\mathcal {W}}^{-1}(\mathbf {\Psi } ,\nu )}$.

La mitjana és: ^[5]

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {X} )={\frac {\mathbf {\Psi } }{\nu -p-1}}.}$