Distribució binomial

Distribució binomial

Funció de distribució de probabilitat
Tipus	Distribució binomial de Poisson, Panjer distribution (en) , Distribució multinomial, distribució univariant i distribució de probabilitat discreta
Paràmetres	${\displaystyle n\geq 0}$ nombre d'assaigs (sencer) ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ probabilitat d'èxit (real)
Suport	${\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}\!}$
FD	${\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )\!}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle np\!}$
Mediana	${\displaystyle \lfloor np\rfloor }$ o ${\displaystyle \lceil np\rceil }$[1]
Moda	${\displaystyle \lfloor (n+1)\,p\rfloor \!}$ o ${\displaystyle \lceil (n+1)\,p\rceil -1\!}$
Variància	${\displaystyle np(1-p)\!}$
Coeficient de simetria	${\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}\!}$
Curtosi	${\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}\!}$
Entropia	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi Nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)}$
FGM	${\displaystyle \left(p\left(\mathrm {e} ^{t}-1\right)+1\right)^{n}}$
FC	${\displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}\!}$
Mathworld	BinomialDistribution

En Teoria de la probabilitat i en estadística, una variable aleatòria ${\displaystyle X}$ es diu que té una distribució binomial de paràmetres ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle p}$ si representa el nombre d'èxits en ${\displaystyle n}$ repeticions independents d'una prova que té probabilitat d'èxit ${\displaystyle p}$. Per exemple, tirem 10 vegades un dau ordinari i comptem quantes vegades surt un 6; en aquest cas l'èxit és "treure un 6", i la variable que compta el nombre de sisos té una distribució binomial de paràmetres ${\displaystyle n=10}$ i ${\displaystyle p=1/6}$.

La distribució binomial és la base de la popular prova binomial de significació estadística.^[2]

Va ser proposada pel matemàtic i físic suís Jacob Bernoulli.^[3]

Les distribucions binomials s'inscriuen en el marc de referència de les distribucions de Bernoulli. S'anomena experiència de Bernoulli aquell experiment aleatori del qual només s'estudia la verificació o no d'un esdeveniment ${\displaystyle A}$ que pot donar-se amb probabilitat ${\displaystyle P(A)=p.}$ La realització de l'esdeveniment ${\displaystyle A}$ s'anomena èxit. S'acostuma a representar la probabilitat del complementari (no ${\displaystyle A}$), la realització del qual s'anomena fracàs, per ${\displaystyle P({\text{no}}\ A)=q;}$ és clar que ${\displaystyle p+q=1.}$

Així, un experiment o experiència de Bernoulli es caracteritza per ser dicotòmic, és a dir, només són possibles dos resultats: èxit o fracàs.

Exemples d'experiències de Bernoulli

1. Es llança una moneda, l'esdeveniment A podria ser "que surti cara".
2. En una bossa hi ha boles blanques, negres i vermelles. traiem una bola i mirem si és de color blanc o no. L'esdeveniment A podria ser "treure bola blanca".
3. En un referèndum amb possibles respostes Sí o No, l'esdeveniment A podria ser "que surti Sí".

La distribució binomial és una distribució de probabilitat discreta que fa el recompte del nombre de vegades que es verifica l'èxit (realització de l'esdeveniment ${\displaystyle A}$) quan es repeteix ${\displaystyle n}$ vegades, de forma independent i en les mateixes condicions, una experiència de Bernouilli.

Per n = 1, la distribució binomial és una distribució de Bernoulli.

Designem per X la variable aleatòria que mesura el nombre d'èxits que s'han produït en els n experiments. Per indicar que segueix una distribució binomial de paràmetres n i p , s'escriu:

$${\displaystyle X\sim B(n,p)\,}$$

Les següents situacions són exemples d'experiments que poden modelitzar per aquesta distribució:

• Es llança un dau deu vegades i es compta el nombre de sisos obtinguts: X ~ B(10, 1/6)
• Es llança una moneda dues vegades i es compta el nombre de cares obtingudes, tenim ${\displaystyle B(2,0'5).}$
• Una partícula es mou unidimensionalment amb probabilitat ${\displaystyle q}$ de moure's una unitat de distància cap enrere i ${\displaystyle p=1-q}$ de moure's una unitat cap endavant. Després de ${\displaystyle n}$ moviments, el nombre de vegades que s'ha mogut cap endavant és una variable binomial ${\displaystyle B(n,p)}$ .

Sigui ${\displaystyle X\sim B(n,p)\,}$ una variable aleatòria binomial de paràmetres ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle p}$.

$${\displaystyle \mathbb {E} [X]=np\,}$$

Això es dedueix per la linealitat de l'esperança, ja que X és la suma de n variables aleatòries de Bernoulli idèntiques, cadascuna d'elles amb esperança p. És a dir, si ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ són variables aleatòries iguals (i independents) de Bernoulli amb paràmetre p, aleshores$${\displaystyle X=X_{1}+\cdots +X_{n}}$$ i, atès que $${\displaystyle E[X_{i}]=p\cdot 1+q\cdot 0=p,\ i=1,\dots ,n,}$$tindrem que $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X_{1}+\cdots +X_{n}]=\operatorname {E} [X_{1}]+\cdots +\operatorname {E} [X_{n}]=p+\cdots +p=np.}$$D'altra banda, per a una variable de Bernoulli, $${\displaystyle E[X_{i}^{2}]=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p,}$$d'on $${\displaystyle {\text{Var}}(X_{i})=p-p^{2}=p(1-p),\ i=1,\dots ,n.}$$Llavors, de la independència de ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$, es dedueix que

$${\displaystyle {\text{Var}}[X]=np(1-p).}$$

Sigui ${\displaystyle X}$ una variable aleatòria binomial de paràmetres ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle p}$. Aleshores la probabilitat d'obtenir exactament ${\displaystyle k\,\!}$ èxits en ${\displaystyle n\,\!}$ repeticions (proves) independents de Bernouilli és:

$${\displaystyle P(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k},\ k=0,1,\dots ,n.}$$on $${\displaystyle \!{n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\,\!}$$ és el coeficient binomial.

Així, la funció de probabilitat de ${\displaystyle X}$ és $${\displaystyle f(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k},\ k=0,1,\dots ,n.}$$

$${\displaystyle F(x)=\Pr(X\leq x)={\begin{cases}0,&{\text{si}}\,x<0,\\\displaystyle {\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}},&{\text{si}}\,x\in [0,n],\\1,&{\text{si}}\,x>n.\end{cases}}}$$

on ${\displaystyle [x]}$ denota la part entera de ${\displaystyle x}$.

Per k ≤ np, es poden derivar fites superiors per la cua inferior de la funció de distribució acumulada ${\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)}$, la probabilitat que hi hagi com a màxim k successos. Com que ${\displaystyle \Pr(X\geq k)=F(n-k;n,1-p)}$, també es poden interpretar aquestes fites per a la cua superior de la funció de distribució per k ≥ np.

La desigualtat de Hoeffding dóna la fita simple

${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-2n\left(p-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right),\!}$

que no és, tanmateix, gaire forta. En particular, quan p = 1, s'obté F(k;n,p) = 0 (per a k i n fixes amb k < n), però la fita de Hoeffding dóna una constant positiva.

S'obté una fita més exacta mitjançant la fita de Chernoff:^[4]

${\displaystyle F(k;n,p)\leq \exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right)}$

on D(a || p) és l'entropia relativa (o divergència Kullback-Leibler) entre una moneda-ai una moneda-p (és a dir entre Bernoulli(a) i Bernoulli(p) distribution):

${\displaystyle D(a\parallel p)=(a)\log {\frac {a}{p}}+(1-a)\log {\frac {1-a}{1-p}}.\!}$

Asimptòticament, aquesta fita és raonablement exacta; vegi's ^[4] per més detalls.

També es poden obtenir fites inferiors de la cua ${\displaystyle F(k;n,p)}$, conegudes com fites anti-concentració. Aproximant el coeficient binomial amb l'aproximació de Stirling es pot demostrar que^[5]

${\displaystyle F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {8n{\tfrac {k}{n}}(1-{\tfrac {k}{n}})}}}\exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right),}$

que implica la fita més simple però menys exacta:

${\displaystyle F(k;n,p)\geq {\frac {1}{\sqrt {2n}}}\exp \left(-nD\left({\frac {k}{n}}\parallel p\right)\right).}$

Per p = 1/2 i k ≥ 3n/8 amb n parell, es pot fer que el denominador sigui constant:^[6]

${\displaystyle F(k;n,{\tfrac {1}{2}})\geq {\frac {1}{15}}\exp \left(-16n\left({\frac {1}{2}}-{\frac {k}{n}}\right)^{2}\right).\!}$

Suposem que tenim una moneda trucada amb probabilitat 0.3 que surti cara. La probabilitat que surtin 4 cares en 6 llançaments és

$${\displaystyle f(4)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.}$$

Si ${\displaystyle n}$ tendeix a infinit i ${\displaystyle p_{n}\,\!}$ és tal que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\,p_{n}=\lambda }$, llavors la distribució d'una variable aleatòria binomial de paràmetres ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle p_{n}}$tendeix a una distribució de Poisson de paràmetre ${\displaystyle \lambda }$.

D'altra banda, pel teorema central del límit, quan n és gran (normalment s'exigeix que ${\displaystyle n\geq 30}$) la distribució binomial es pot aproximar mitjançant la distribució normal.

Si X ~ B(n, p) i Y ~ B(m, p) són variables binomials independents amb la mateixa probabilitat p, llavors X + Y és també una variable binomial; la seva distribució és Z = X \+ Y ~ B(n + m, p):^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}\right]\left[{\binom {m}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{m-k+i}\right]\\&={\binom {n+m}{k}}p^{k}(1-p)^{n+m-k}\end{aligned}}}$

Es pot considerar una variable aleatòria distribuïda de forma binomial X ~ B(n, p) com la suma de n variables aleatòries distribuïdes segons Bernoulli. Així doncs, la suma de les variables aleatòries binomials X ~ B(n, p) i Y ~ B(m, p) és equivalent a la suma de n + m variables aleatòries de Bernoulli, és a dir Z = X + Y ~ B(n + m, p). També es pot demostrar això directament utilitzant la regla de la suma.

No obstant això, si X i Y no tenen la mateixa probabilitat p, llavors la variància de la suma serà més petita que la variància de la variable binomial distribuïda com B(n + m, p).

La distribució binomial és un cas particular de la distribució binomial de Poisson, que és la distribució de una suma de n assajos de Bernoulli independents i no idèntics B(p_i).^[8]

Aquest resultat va ser derivat per primer cop per Katz i coautors l'any 1978.^[9]

Siguin X ~ B(n, p₁) i Y ~ B(m, p₂) independents. Sigui T = (X/n) / (Y/m).

Llavors log(T) està distribuït aproximadament de forma normal amb mitjana log(p₁/p₂) i variància ((1/p₁) − 1)/n + ((1/p₂) − 1)/m.

La distribució de Bernoulli és un cas particular de la distribució binomial, amb n = 1. Simbòlicament, X ~ B(1, p) té el mateix significat que X ~ Bernoulli(p). En canvi, la distribució binomial, B(n, p), és la distribució de la suma de n assajos de Bernoulli independents, Bernoulli(p), cadascun amb la mateixa probabilitat p.^[10]

La distribució binomial convergeix a la distribució de Poisson a mesura que el nombre d'assajos tendeix a infinit mentre que el producte np convergeix a un límit finit. Per tant, es pot utilitzar una distirbució de Poisson amb paràmetre λ = np per aproximar B(n, p) de la distribució binomial si n és prou gran i p és prou petit. Segons la regla del polze, aquesta aproximació és bona si n ≥ 20 i p ≤ 0.05^[11] tal que np ≤ 1, o si n > 50 i p < 0.1 tal que np < 5,^[12] o si n ≥ 100 i np ≤ 10.^[13][14]

Sobre la precisió de l'aproximació de Poisson, vegi's Novak,^[15] capítol 4, i les referències que s'hi citen.

Donades m variables binomials independents ${\displaystyle X_{i}}$, i = 1, ..., m, de paràmetres ${\displaystyle n_{i}}$ i ${\displaystyle p_{i}}$, respectivament, la seva suma S és també una variable binomial, de paràmetres ${\displaystyle n_{1}+\cdots +n_{m}}$ i ${\displaystyle p}$, és a dir,

$${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{m}X_{i}\sim B\left(\sum _{i=1}^{m}n_{i},p\right).}$$

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució binomial

• Distribució hipergeomètrica
• Distribució multinomial