Funció sinc

En matemàtica, la funció sinc o sinus cardinal, denotada per ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\,}$, té dues definicions, la normalitzada i la desnormalitzada que es defineixen de la següent manera:^[1][2][3]

1. En processament digital de senyals i teoria de la informació, la funció sinc normalitzada comunament es defineix com:

   ${\displaystyle \mathrm {sinc} _{n}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

2. En matemàtica, la històrica funció sinc desnormalitzada , aquesta definida per:

   ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$

Sinc
Part de la funció sinc normalitzada (blau) i la funció sinc desnormalitzada (vermell) mostrada a la mateixa escala
Informació general
Definició general	${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\begin{cases}{\dfrac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\[2px]1,&x=0\end{cases}}}$
Motiu de la invenció	Telecommunicacions
Data de la solució	1952
Camps d'aplicació	Processament de senyals, espectroscòpia
Domini, codomini i imatge
Domini	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Imatge	${\displaystyle \left[-0.217234\ldots ,1\right]}$
Característiques bàsiques
Paritat	Parell
Valors específics
A zero	1
Valor a +∞	0
Valor a −∞	0
Màxim	1 at ${\displaystyle x=0}$
Mínim	${\displaystyle -0.21723\ldots }$ at ${\displaystyle x=\pm 4.49341\ldots }$
Característiques específiques
Arrel	${\displaystyle \pi k,k\in \mathbb {Z} _{\neq 0}}$
Funcions relacionades
Recíproca	${\displaystyle {\begin{cases}x\csc x,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}}$
Derivada	${\displaystyle \operatorname {sinc} 'x={\begin{cases}{\dfrac {\cos x-\operatorname {sinc} x}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}}$
Primitiva	${\displaystyle \int \operatorname {sinc} x\,dx=\operatorname {Si} (x)+C}$
Definició amb sèries
Sèrie de Taylor	${\displaystyle \operatorname {sinc} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{k}{x}^{2k}}{\left(2k+1\right)!}}}$

En ambdós casos el valor de la funció té una singularitat evitable en zero, que generalment es redefineix específicament com a igual a 1. La funció sinc és analítica a tot arreu.^[4]

La funció desnormalitzada és idèntica a la normalitzada excepte pel factor d'escala que falta en l'argument. La funció sinc correspon a la transformada de Fourier d'un pols rectangular, i la transformada inversa de Fourier d'un espectre rectangular és una sinc.