Konvergentan red

• Recipročni brojevi stepena broja 2 (${\displaystyle 2^{n}}$ ) tvore konvergentan red (takav da je skup stepeni broja 2 "mali"):
• :${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.}$ 
• Recipročni brojvi pozitivnih cijelih brojeva tvore divergentan red:
• :${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots .}$ 
• Alternirajući znakovi (+ i -, naizmjenično) recipročnih brojeva pozitivnih cijelih brojeva tvore konvergentan red:
• :${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-{1 \over 6}+\cdots =\ln 2.}$ 
• Recipročni prosti brojevi tvore divergentan red (takav da je skup prostih brojeva "veliki"):
• :${\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+{1 \over 13}+\cdots .}$ 
• Recipročni kvadratni brojevi tvore konvergentan broj (Baselov problem):
• :${\displaystyle {1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.}$ 
• Alternirajući znakovi (+ i -, naizmjenično) recipročnih neparnih brojeva tvori konvergentan red:
• :${\displaystyle {1 \over 1}-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}+{1 \over 9}-{1 \over 11}+\cdots ={\pi \over 4}.}$ 

Postoji nekoliko metoda, pomoću kojih možemo odrediti da li je red konvergentan ili divergentan.

Test poređenja. Članovi niza ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$  se upoređuju sa onim od drugog niza ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$ . Ako je,

za sve n, ${\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}}$ , i ako red ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$  konvergira, tada konvergira i red ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ .

Međutim, ako,

za sve n, ${\displaystyle 0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}}$ , i ako red ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$  divergira, tada divergira i red ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ .

D'Alambertov test. Pretpostavimo da je za sve n, ${\displaystyle a_{n}>0}$ . Pretpostavimo da postoji ${\displaystyle r}$  takav da vrijedi

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=r}$ .

Ako je r < 1, tada red konvergira. Ako je r > 1, tada red divergira. Ako je r = 1, D'Alambertov test je neodlučan, te red i konvergirati divergirati (potrebna su dalja ispitivanja).

Cauchyjev korjeni test ili Test n-tog korjena. Pretpostavimo da su članovi niza nenegativni, te da postoji r takav da vrijedi

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=r}$ 

Ako je r < 1, tada red konvergira. Ako je r > 1, tada red divergira. Ako je r = 1, Cauchyjev korjeni test test je neodlučan, te red može i konvergirati i divergirati (potrebna su dalja ispitivanja).

Integralni test. Red se može uporediti sa integrallom kako bi odredili konvergenciju ili divergenciju. Neka ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$  bude pozitivna i monotono opadajuća funkcija. Ako vrijedi

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$ 

tada dati red konvergira. Ali, ako integral divergira, tada i dati red divergira.

Test upoređivanje limesa. Ako je ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}>0}$ , a granična vrijednost ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$  postoji i nije nula, tada ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  konvergira ako i samo ako ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$  konvergira.

Leibnizov test. Za alternativni red oblika ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(-1)^{n}}$ , ako je ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$  monotono opadajuća funkcija, čija je granična vrijednost 0, tada red konvergira.

Cauchyjev test konvergencije. Ako je ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$  monotono opadajući niz, tada ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  konvergira ako i samo ako ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{k}a_{2^{k}}}$  konvergira.

Dirichletov test

Abelov test

Raabeov test

Za svaki niz ${\displaystyle \left\{a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right\}}$ , ${\displaystyle a_{n}\leq \ \left|a_{n}\right\vert }$  za sve n. Odatle je

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\leq \ \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert .}$ 

Ovo znači da ako ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert }$  konvergira, tada ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ , također, konvergira (međutim, obrnuto ne vrijedi!).

Ako red ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert }$  konvergira, tada je red ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  apsolutno konvergentan. Apsolutno konvergentan niz je onaj kod kojeg dužina linije, koja je nastala spajanjem svih prirasta na parcijalnu sumu, je konačno duga. Potencijlani red eksponencijalne funkcije je svuda apsolutno konvergentan.

Ako red ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  konvergira, ali red ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert }$  divergira, tada je red ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$  uslovno konvergentan. Potencijalni red logaritma je uslovno konvergentan.

Riemannov teorem o redu kaže da ako je red uslovno konvergentan, moguće je njegove članove ispremiještati, tako da on bude konvergentan za svaku vrijednost, čak i da bude divergentan.

Neka ${\displaystyle \left\{f_{1},\ f_{2},\ f_{3},\dots \right\}}$  bude niz funkcija. Za red ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$  se kaže da konvergira uniformno u f ako je niz ${\displaystyle \{s_{n}\}}$  parcijalnih suma definisan sa

${\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)}$ 

konvergira uniformno u f.

Postoji analog testu poređenja za beskonačne redove funkcija koji se zove Weierstrassov M-test.

Cauchyjev kriterij konvergencije kaže da red

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ 

konvergira ako i samo ako je niz parcijalnih suma Cauchyjev niz. To znači da za svako ${\displaystyle \varepsilon >0,}$  postoji pozitivan cijeli broj ${\displaystyle N}$  takav da za svako ${\displaystyle n\geq m\geq N}$  imamo

${\displaystyle \left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon ,}$ 

što je ekvivalentno

${\displaystyle \lim _{n\to \infty \atop m\to \infty }\sum _{k=n}^{n+m}a_{k}=0.}$ 

• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGrawHill.
• Spivak, Michael (1994). Calculus (3rd ed.). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-89-6.

• Interactive graphical simulation of series convergence
• Chase, Robert (2007). More plots on convergence
• Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. Retrieved May 16, 2005.