Granična vrijednost niza

• Za niz realnih brojeva ${\displaystyle \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;}$ 

Realan broj L naziva se granična vrijednost niza x_n, a piše se kao

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L,}$ 

ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N imamo |x_n−L| < ε.

• Za niz tačaka ${\displaystyle \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;}$  u metričnom prostoru M sa funkcijom udaljenosti d (takav da je poput niza racionalnih brojeva, realnih brojeva, kompleksnih brojva, tačaka u normiranom prostoru, i td.):

Za element ${\displaystyle L\in M}$  se kaže da je granična vrijednost niza, a piše se kao

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L,}$ 

ako i samo ako, za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj N takav da za svako n > N, imamo d(x_n,L) < ε.

• Kao generalizacija, za niz tačaka ${\displaystyle \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;}$  u topološkom prostoru T:

Za element ${\displaystyle L\in T\;}$  se kaže da je granična vrijednost ovog niza, a piše se kao

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L,}$ 

ako i samo ako, za svaku okolinu S od L, postoji prirodan broj N, takav da je ${\displaystyle x_{n}\in S\;}$  za sve ${\displaystyle n>N.\;}$ 

Ako niz ima graničnu vrijednost, kažemo da je niz konvergentan, a da niz konvergira u tu graničnu vrijednost. U suprotnom, niz je divergentan (također pogledajte: oscilacija).

Nulti niz je niz koji konvergira u 0.

• Niz 1, -1, 1, -1, 1, ... je divergentan.
• niz 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... konvergira sa graničnom vrijednosti 1. Ovo je primjer beskonačnog reda.
• Ako je a realan broj sa apsolutno vrijednošću |a| < 1, tada niz aⁿ ima graničnu vrijednost 0. Ako je 0 < a, tada niz a^1/n ima graničnu vrijednost 1.

Također:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0{\hbox{ ako je }}p>0}$ 

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{n}=0{\hbox{ ako je }}|a|<1}$ 
${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1}$ 
${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{ ako je }}a>0}$ 

• Granična vrijednost funkcije
• Načini konvergencije

• Examples of sequences
• A history of the calculus, including limits