Функцыя (матэматыка)

Фу́нкцыя — адзін з асноўных паняткаў матэматыкі. Інтуітыўна, пад функцыяй разумеюць правіла ці закон, які ставіць у адпаведнасьць элемэнтам аднаго мноства элемэнты другога мноства. Больш строгае азначэньне функцыі выражае гэты панятак праз базавы панятак мноства. Дакладна, функцыяй з мноства ${\displaystyle X}$ у мноства ${\displaystyle Y}$ называюць падмноства ${\displaystyle F}$ дэкартавага здабытку ${\displaystyle X\times Y}$ такое, што калі ${\displaystyle (x,y_{1})\in F}$, ${\displaystyle (x,y_{2})\in F}$, то ${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$.

Функцыі зьяўляюцца цэнтральным аб’ектам дасьледаваньня ў большасьці абласьцей сучаснай матэматыкі^[1]. Ёсьць шмат спосабаў, каб апісаць ці прадставіць сабой функцыю. Некаторыя функцыі могуць быць вызначаны формулай альбо альгарытмам, які распавядае, як можна атрымаць вырашэньне для дадзеных значэньняў. Іншыя задаюцца графічным спосабам, што ўяўляе сабой будаваньне графіка функцыі. У навуцы функцыі часам вызначаюцца табліцамі, якія даюць вынікі функцыі для абраных пачатковых значэньняў. Функцыя можа быць апісана праз свае адносіны з іншымі функцыямі, напрыклад, як зваротная функцыя або як рашэньне дыфэрэнцыйнага раўнаньня.

У выпадку функцыі толькі з адной зьменнай, зададзеныя й выніковыя функцыі можна прадставіць у выглядзе ўпарадкаванай пары, упарадкаваныя такім чынам, што першы элемэнт зьяўляецца уваходным, а другі вынікам. У прыкладзе, ${\displaystyle F(x)=x^{2}}$, у нас ёсьць спарадкаваная пара ${\displaystyle (-3;9)}$. Калі пара складаецца з рэчаісных лікаў, гэтую спарадкаваную пару можна разглядаць як дэкартавы каардынаты кропкі на графіку функцыі. Але ніякі графік ня здольны дакладна вызначыць кожную кропку ў бясконцым мностве. У сучаснай матэматыцы, функцыя, якая вызначаецца сваім наборам зададзеных значэньняў, называецца вобласьцю вызначэньня функцыі, якая зьмяшчае мноства рашэньняў, якія маюць назоў ейнай вобласьцю значэньняў, а мноства ўсіх парных зададзеных значэньняў і іхных вынікаў, называецца графам. Напрыклад, мы маглі б вызначыць функцыю з дапамогай правіла ${\displaystyle F(x)=x^{2}}$, сказаўшы, што вобласьць вызначэньня функцыі й вобласьць значэньняў зьяўляюцца рэчаіснымі лікамі, і што спарадкаванымі парамі зьяўляюцца ўсе пары лікаў ${\displaystyle (x,x^{2})}$. Калекцыі функцыяў з той жа вобласьцю вызначэньня функцыі й той жа вобласьцю значэньняў называецца функцыянальным прасторам, ��ласьцівасьці якіх вывучаюцца ў такіх матэматычных дысцыплінах, як то рэальны аналіз і комплексны аналіз.