Дыфэрэнцыйнае раўнаньне

Раўнаньне ${\displaystyle F(x,y,y')=0}$ , дзе ${\displaystyle y=y(x)}$  — невядомая функцыя, якая непарыўна дыфэрэнцуецца на адцінку ${\displaystyle (a,b)}$ , называецца звычайным дыфэрэнцыйным раўнаньнем першага парадку.

Функцыя ${\displaystyle y=y(x)}$  называецца разьвязкам дыфэрэнцыйнага раўнаньня ${\displaystyle F(x,y,y')=0,}$ , калі яна непарыўна дыфэрэнцуецца на ${\displaystyle (a,b)}$  і ${\displaystyle F(x,y,y')=0}$  ${\displaystyle \forall }$  ${\displaystyle x}$ .

Звычайнае дыфэрэнцыйнае раўнаньне першага парадку перша�� ступені, разьвязанае адносна вытворнай можна прадставіць у выглядзе ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x,y)}$ .

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}$ 

Разьвязаньне гэтага раўнаньня:

${\displaystyle {dy}=f(x)\,dx}$ 

${\displaystyle y=\int f(x)\,dx+c}$ 

Аднародныя дыфэрэнцыйныя раўнаньні — раўнаньні выгляду ${\displaystyle y'=f({\frac {y}{x}})}$ . Таксама могуць быць запісаныя ў выглядзе ${\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}$ , дзе ${\displaystyle M(x,y)}$  і ${\displaystyle N(x,y)}$  зьяўляюцца аднароднымі функцыямі адной і той жа ступені.^[1]

Для таго, каб разьвязаць аднароднае раўнаньне, можна зрабіць замену ${\displaystyle y=tx}$ .

${\displaystyle xdy=(x+y)dx}$ 

${\displaystyle y=tx}$ 

${\displaystyle x(xdt+tdx)=(x+tx)dx}$ 

${\displaystyle xdt=dx}$ 

Адкуль:

${\displaystyle dt={\frac {dx}{x}},(*)}$ 

${\displaystyle t=\ln |x|+c}$ 

Паколькі ${\displaystyle y=tx}$ , ${\displaystyle y=x(\ln |x|+c)}$ . Таксама застаўся разьвязак ${\displaystyle x=0}$ , згублены пры дзяленьні на ${\displaystyle x}$  (гл. ${\displaystyle (*)}$ ).

Лінейнае дыфэрэнцыйнае раўнаньне першага парадку — раўнаньне, якое лінейнае адносна нейкай невядомай функцыі і яе вытворнай. Выгляд лінейнага раўнаньня:

${\displaystyle t={\frac {dy}{dx}}+p(x)y=f(x)}$ , дзе ${\displaystyle p(x)}$  і${\displaystyle f(x)}$  лічацца непарыўнымі функцыямі ў вобласьці інтэграваньня раўнаньня^[2].

Калі ${\displaystyle f(x)\equiv 0}$ , то лінейнае раўнаньне аднароднае. Такія раўнаньні разьвязваюцца дзяленьнем зьменных:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+p(x)y=0}$ 

${\displaystyle {\frac {dy}{y}}=-p(x){dx}}$ 

Інтэгруем: ${\displaystyle \ln |y|=-\int {p(x)dx}+\ln c}$ , дзе ${\displaystyle c>0}$ 

${\displaystyle y=e^{\int \!p(x)\,dx}}$ , дзе ${\displaystyle c\neq 0}$ 

Пры дзяленьні на ${\displaystyle y}$  згубіўся разьвязак ${\displaystyle y\equiv 0}$ .

Для разьвязаньня лінейных неаднародных раўнаньняў можна ўжыць мэтад варыяцыі пастаяннай^[3].

Гл. Дыфэрэнцыйнае раўнаньне Бэрнулі

Гл. Раўнаньне Рыкаці

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні n-га парадку маюць выгляд

${\displaystyle y^{(n)}=f(x.y,y',...,y^{(n-1)})}$ .

Калі раўнаньне разьвязанае адносна самай высокай вытворнай, яно мае выгляд ${\displaystyle F(x,y,y',...,y^{(n)})}$ .

Для разьвязаньня дыфэрэнцыйнага раўнаньня n-га парадку трэба панізіць гэты парадак. Гэта можна ажыцьцявіць шматлікімі спосабамі.

${\displaystyle yy''=y'^{2}}$ 

Падзелім раўнаньне на ${\displaystyle yy'}$ :

${\displaystyle {\frac {y''}{y'}}={\frac {y'}{y}}}$ .

Адкуль ${\displaystyle (\ln y')'=(\ln y)'}$ ,

${\displaystyle \ln y'=\ln y+\ln c}$ ,

${\displaystyle y'=yc}$ .

Парадак раўнаньня панізілі.

Раўнаньне выгляду

${\displaystyle y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+p_{2}(x)y^{(n-2)}+...+p_{n-1}(x)y'+p_{n}(x)y=f(x)}$ 

называецца лінейным раўнаньнем n-га парадку.

Калі ${\displaystyle f(x)=0}$  ${\displaystyle \forall x}$ , то раўнаньне называецца аднародным. Калі ж ${\displaystyle f(x)\neq \ 0}$ , то раўнаньне называецца неаднародным^[4].

Раўнаньне выгляду

${\displaystyle y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+a_{2}y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y'+a_{n}y=0}$ 

з пастаяннымі рэчаіснымі каэфіцыентамі ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$  мае фундамэнтальную сыстэму разьвязкаў (ФСР) ${\displaystyle y_{1},y_{2},...,y_{n}}$  ${\displaystyle \forall x}$ .

Агульны разьвязак, які адпавядае ФСР: ${\displaystyle y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}+...+C_{n}y_{n}}$ , дзе ${\displaystyle C_{1},C_{2},...,C_{n}}$  — вольныя пастаянныя.

Неаднароднае раўнаньне

${\displaystyle y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+a_{2}y^{(n-2)}+...+a_{n-1}y'+a_{n}y=f(x)}$ 

можа быць праінтэграванае з дапамогай мэтаду варыяцыі вольных пастаянных^[5][6].

  Дыфэрэнцыйнае раўнаньне — сховішча мультымэдыйных матэрыялаў

• Лекцыі па дыфэрэнцыйным раўнаньням. МТІ
• Дыфэрэнцыйныя раўнаньні. S.O.S. Mathematics
• Вырашальнік дыфэрэнцыйных раўнаньняў. Джава-аплет
• Увядзенне ў мадэляваньне з дапамогай дыфэрэнцыйных раўнаньняў
• Дакладныя разьвязкі звычайных дыфэрэнцыйных раўнаньняў
• «Сьвет матэматычных раўнаньняў»
• Прыклады разьвязаньня дыфэрэнцыйных раўнаньняў