Төркөм (математика)

Төркөм (математика)

Төркөмдәр теорияһы

Төп төшөнсәләр Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение Конечные группы Классификация простых конечных групп Циклическая группа Cp Симметрическая группа Sn Диэдрическая группа Dn Знакопеременная группа An Группы Матьё M11 • M12 • M22 • M23 • M24 Группы Конвея Co1 • Co2 • Co3 Группы Янко J1 • J2 • J3 • J4 Группы Фишера F22 • F23 • F24 Монстр (М) Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Группа Лоренца Группа Пуанкаре

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Портал:Физика

Төркөм математикала — ассоциатив бинар ғәмәл билдәләнгән күмәклек, шуның менән бергә был ғәмәл өсөн нейтраль элемент (ҡабатлау өсөн берҙең аналогы), һәм күмәклектең һәр элементының киреһе бар. Дөйөм алгебраның төркөмдәр менән шөғөлләнгән тармағы төркөмдәр теорияһы тип атала^[1].

Төркөм миҫалдарының береһе — ҡушыу ғәмәле менән тәьмин ителгән бөтөн һандар күмәклеге: теләһә ниндәй ике бөтөн һандың суммаһы шулай уҡ бөтөн һанды бирә, нейтраль элемент ролен ноль уйнай, ә ҡапма-ҡаршы тамғалы һан кире элемент була. Башҡа миҫалдар — ҡушыу ғәмәле менән ысын һандар күмәклеге, яҫылыҡтың координаталар башы тирәләй әйләнештәр күмәклеге. Төркөмгә аксиомалар системаһы аша, төҙөүсе күмәклектәрҙең үҙенсәлегенә бәйләнмәгән абстракт билдәләмә биреү арҡаһында, төркөмдәр теорияһында дөйөм үҙсәнлектәре һәм уларҙың структураһы күҙлегенән төрлө сығышлы математик объекттарҙы өйрәнеү өсөн универсаль аппарат булдырылған. Математикала һәм унан ситтә төркөмдәрҙең һәр ерҙә ҡыҫылғанлығы уларҙы хәҙерге математикала һәм уның ҡушымталарында мөһим конструкция итә.

Төркөм симметрия төшөнсәһенә фундаменталь оҡшаш һәм уның бөтә сағылыштарын өйрәнеүҙә мөһим инструмент булып тора. Мәҫәлән, симметрия төркөмө геометрик объекттың үҙсәнлектәрен сағылдыра: ул объектты үҙгәрешһеҙ ҡалдырған үҙгәртеүҙәр күмәклегенән һәм ике бер береһенең артынса килгән шундай үҙгәртеүҙәрҙе комбинациялау операцияһынан тора. Нөктәле симметрия төркөмө кеүек симметрия төркөмдәре химияла молекуляр симметрия күренешен аңларға ярҙам итә; Пуанкаре төркөмө арауыҡ-ваҡыттың симметрияһын характерлай, ә махсус унитар төркөмдәр элементар өлөшсәләр физикаһының стандарт моделендә ҡулланылалар ^[2].

Төркөм төшөнсәһен Эварист Галуа, күпбыуындарҙы өйрәнгәндә 1830-сы йылдарҙа индерә^[3].

Хәҙерге заман төркөм теорияһы математиканың әүҙем бүлеге булып тора^[4]. 1981 йылда тамамланған ябай сикле төркөмдәрҙе классификациялауҙа ҙур һөҙөмтәләргә өлгәшелә: теоремаларҙы иҫбатлау йөҙҙән артыҡ авторҙың 1955 йылдан башлап баҫылып сыҡҡан йөҙләгән фәнни мәҡәләһенең тиҫтәләгән мең битен тәшкил итә, ләкин иҫбатлауҙа табылған етешһеҙлек арҡаһында мәҡәләләр яҙылыуы дауам итә^[5]. 1980-се йылдар уртаһынан геометрик объекттар булараҡ сикле-килтереп сығарылған төркөмдәрҙе өйрәнеүсе төркөмдәрҙең геометрик теорияһы һиҙелерлек үҫеш ала.

Буш булмаған G күмәклеге унда бирелгән ${\displaystyle {*}}$ бинар операцияһы менән: ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} }$ ${\displaystyle (\mathrm {G} ,*)}$ төркөм тип атала, әгәр ошондай аксиомалар үтәлһә:

1. ассоциативлыҡ: ${\displaystyle \forall (a,b,c\in G)\colon (a*b)*c=a*(b*c)}$;
2. нейтраль элементтың булыуы: ${\displaystyle \exists e\in G\quad \forall a\in G\colon (e*a=a*e=a)}$;
3. кире элементтың булыуы: ${\displaystyle \forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)}$.

Һуңғы ике аксиоманы бер ${\displaystyle *}$-ға кире операцияның булыуы аксиомаһы менән алмаштырырға мөмкин:

${\displaystyle \forall (a,b\in G)\quad \exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b)}$.

Шуның менән бергә юғарыла килтерелгән аксиомалар ҡәтғи иң әҙе булып тормайҙар. Нейтраль һәм кире элементтар булһын өсөн һул нейтраль элементтың һәм һул кире элементтың булыуы етә. Шуның менән бергә, улар автоматик рәүештә ғәҙәттәге нейтраль һәм кире элемент булалар икәнен иҫбатлап була^[6].

• Дөйөм осраҡта төркөмдән коммутативлыҡ үҙсәнлеге үтәлеүе талап ителмәй.
  • ${\displaystyle a*b=b*a}$ тигеҙлеге үтәлгән ${\displaystyle a,\;b}$ элементтары пары алмаштырып ҡуйылмалы йәки коммутирлаусы тип аталалар.
  • Төркөмдөң бөтә элементтары менән алмаштырып ҡуйылмалы элементтар күмәклеге төркөмдөң үҙәге тип атала.
  • Теләһә ниндәй ике элементы коммутирлаған төркөм коммутативлы йәки Абель төркөмө тип атала.
• Аҫтөркөм — ${\displaystyle G}$ төркөмөнөң, ${\displaystyle G}$-ла билдәләнгән операцияға ҡарата төркөм булып торған ${\displaystyle H}$ аҫкүмәклеге ул.
• ${\displaystyle (G,*)}$ төркөмөнөң тәртибе — ${\displaystyle G}$ ҡеүәте (йәғни уның элементтары һаны).
  • Әгәр ${\displaystyle G}$ күмәклеге сикле булһа, ул саҡта төркөм сикле тип атала.
• Төркөмдөң гомоморфизмдары — ул төркөм структураһын һаҡлаусы төркөмдәрҙең сағылыштары. Йәғни төркөмдәрҙең ${\displaystyle f\colon (G,*)\to (H,\times )}$ сағылышы гомоморфизм тип атала, әгәр ${\displaystyle f(a*b)=f(a)\times f(b)}$ шартын ҡәнәғәтләндерһә.
• Әгәр ${\displaystyle f(g(a))=a}$ һәм ${\displaystyle g(f(b))=b}$, бында ${\displaystyle b\in G}$ һәм ${\displaystyle a\in H}$ үтәлерлек ${\displaystyle f\colon (G,*)\to (H,\times )}$ төркөмдәр гомоморфизмы һәм ${\displaystyle g\colon (H,\times )\to (G,*)}$ төркөмдәр гомоморфизмы булһа, ике төркөм изоморфлы тип атала. Был осраҡта был гомоморфизмдар изоморфизмдар тип аталалар.
• ${\displaystyle g\in G}$ элементы өсөн ${\displaystyle H}$ аҫтөркөмө буйынса һул эргәләш класс — ${\displaystyle gH=\{gh\mid h\in H\}}$ күмәклеге, ${\displaystyle H}$ аҫтөркөмө буйынса уң эргәләш класс — ${\displaystyle Hg=\{hg\mid h\in H\}}$ күмәклеге.
• Нормаль аҫтөркөм — һул һәм уң эргәләш кластары тап килгән айырым төрҙәге аҫтөркөм. Теләһә ниндәй ${\displaystyle g\in G}$ өсөн, ${\displaystyle gH=Hg}$.
• Фактор төркөм — төркөмдөң, үҙе төркөм булып торған, уның нормаль аҫтөркөмө буйынса эргәләш кластар күмәклеге.

Ғәҙәттә төркөм операцияһын (абстрактлы) ҡабатлау тип атайҙар; ул саҡта мультипликатив яҙыу ҡулланыла:

• операция һөҙөмтәһен ҡабатландыҡ тип атайҙар һәм ${\displaystyle a\cdot b}$ йәки ${\displaystyle ab}$ тип яҙалар;
• нейтраль элемент «${\displaystyle 1}$» йәки ${\displaystyle e}$ тип тамғалана һәм берәмек тип атала;
• ${\displaystyle a}$-ға кире элемент ${\displaystyle a^{-1}}$ тип яҙыла.

Әгәр төркөм операцияһы ҡабатлау тип аталһа, ул саҡта төркөмдөң үҙен ${\displaystyle \mathrm {G} }$ мультипликатив тип атайҙар һәм яҙыуҙың тулы ысулында (төркөм операцияһын асыҡ күрһәтергә теләһәләр) ошолай тамғалайҙар: ${\displaystyle (\mathrm {G} ,\cdot )}$.

Тапҡырлы ҡабатлауҙарҙы ${\displaystyle aa}$, ${\displaystyle aaa}$, ${\displaystyle ...}$ натураль дәрәжәләр күренешендә яҙалар ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle a^{3}}$,${\displaystyle ...}$^[7]. ${\displaystyle a}$ элементы өсөн ^[8] бөтөн дәрәжә билдәләнә, ошо рәүешле яҙыла: ${\displaystyle a^{0}=e}$, ${\displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n}}$.

Коммутативлы төркөмдә билдәләнгән операция йыш ҡына (абстрактлы) ҡушыу тип ҡарала һәм аддитив яҙыла:

• «${\displaystyle a+b}$» тип яҙалар һәм килеп сыҡҡан элементты ${\displaystyle a}$ һәм ${\displaystyle b}$ элементтарының суммаһы тип атайҙар;
• нейтраль элемент «${\displaystyle 0}$» тип тамғалана һәм уны нуль тип атайҙар;
• ${\displaystyle a}$-ға кире элементты «${\displaystyle -a}$» тип тамғалайҙар һәм уны ${\displaystyle a}$-ға ҡапма-ҡаршы элемент тип атайҙар;
• яҙыуҙы ошолай ҡыҫҡарталар: ${\displaystyle a+(-b)=a-b}$;
• ${\displaystyle a+a}$, ${\displaystyle a+a+a}$, ${\displaystyle -a-a}$ күренешендәге аңлатмаларҙы ${\displaystyle 2a}$, ${\displaystyle 3a}$, ${\displaystyle -2a}$ символдары менән тамғалайҙар.

Әгәр төркөм операцияһы ҡушыу тип аталһа, ул саҡта шундай төркөмдөң үҙен ${\displaystyle \mathrm {G} }$ аддитив тип атайҙар һәм яҙыуҙың тулы ысулында ошолай тамғалайҙар: ${\displaystyle (\mathrm {G} ,+)}$^[9].

Төркөмдәрҙең ғәйәт ҙур һанда миҫалдары һәм шулай уҡ уларҙың хәҙерге кешелек донъяһында ҡулланылышы бар. Ҡушыу ғәмәле менән бәйле бөтөн һандар күмәклеге аддитив төркөм йәки ҡушыу буйынса төркөм тип атала. Ҡабатлау ғәмәле менән ${\displaystyle 0}$-дән башҡа рациональ һандар күмәклеге мультипликатив төркөм була. Был төркөмдәр дөйөм алгебра бүлегендә мөһим конструкцияларҙың барлыҡҡа килеүенә башланғыс булалар. Төркөмдәр математиканың төрлө өлкәләрендә ҡулланылалар. Математик объекттарҙы йыш ҡына артабан уларҙың үҙсәнлектәрен өйрәнеү өсөн төркөмдәр менән бәйләйҙәр. Мәҫәлән, Анри Пуанкаре фундаменталь төркөм төшөнсәһе индереп, топологияға нигеҙ һала^[10]. Төркөмдәрҙең теоретик ҡулланылышынан тыш уларҙы практикала ҡулланыуҙың күп ысулдары бар. Миҫалға, улар төркөмдәрҙең иҫәпләү теорияһына һәм алгоритмдар өлкәһендәге белемдәргә нигеҙләнгән криптографияла ҡулланылалар.

Модулле арифметикала ике бөтөн һанды ҡушалар, ә килеп сыҡҡан сумманы ыңғай бөтөн һанға бүләләр, уны аҙағынан модуль тип атайҙар. Бүлеүҙән ҡалдыҡ модулле ғәмәлдең һөҙөмтәһе булып тора. Теләһә ниндәй ${\displaystyle n}$ модуле өсөн ${\displaystyle 0}$-дән ${\displaystyle n-1}$-гә тиклем бөтөн һандар күмәклеге ҡушыу буйынса төркөм барлыҡҡа килтерә. ${\displaystyle a}$-ға кире элемент булып ${\displaystyle a^{-1}=n-a}$ һаны, нейтраль элемент булып — ${\displaystyle 0}$ һаны тора. Бындай төркөмдөң асыҡ миҫалы булып циферблатлы сәғәт хеҙмәт итә ала^[11].

Төркөмдәр теорияһының ҡулланылышы математика менән генә сикләнмәй, уны физика, химия һәм информатика кеүек фәндәрҙә ҡулланалар.

• Ҡушыу ғәмәле менән бөтөн һандар ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ — коммутатив төркөм, нейтраль элементы ${\displaystyle 0}$ һаны. Ҡабатлау ғәмәле менән бөтөн һандар төркөм барлыҡҡа килтермәй. Йомоҡлоҡ, ассоциативлыҡ һәм нейтраль элементтың булыуы үтәлә, әммә кире элементтың булыуы тураһында аксиома үтәлмәй. Мәҫәлән, ${\displaystyle a=2}$, ул саҡта ${\displaystyle a\cdot b=1}$ йәғни ${\displaystyle b=1/2}$. Кире элемент бөтөн һан түгел^[12].
• Ҡабатлау ғәмәле менән ыңғай рациональ һандар. Рациональ һандарҙың ҡабатландығы — яңынан рациональ һан, рациональ һанға кире элемент кире кәсер менән күрһәтелә, ассоциативлыҡ үтәлә, ә бер һаны нейтраль элемент булып тора^[12].
• Ике төҙөүсе менән ирекле төркөм (${\displaystyle F_{2}}$) буш һүҙҙән (төркөмдөң берәмеге) һәм дүрт ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle a^{-1}}$, ${\displaystyle b}$ һәм ${\displaystyle b^{-1}}$ символдарынан төҙөлгән бөтә сикле һүҙҙәрҙән тора, бында ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ менән йәнәш тормай, һәм ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b^{-1}}$ менән йәнәш тормай. Бындай һүҙҙәрҙе ҡабатлау ғәмәле — ул ябай ғына ике һүҙҙе бер һүҙгә берләштереү һәм артабан ${\displaystyle aa^{-1}}$, ${\displaystyle a^{-1}a}$, ${\displaystyle bb^{-1}}$ һәм ${\displaystyle b^{-1}b}$ парҙарын ҡыҫҡартыу ул^[13].
• Симметрик төркөм. Сикле күмәклектең үҙенә бөтә биекциялары күмәклеге, композиция операцияһы менән, сикле төркөм була, ул симметрик төркөм, йәки алмаштырмалар төркөмө тип атала. Сикле симметрик төркөмдөң ҡеүәте ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n}$ элементлы күмәклек өсөн ${\displaystyle n!}$-ға тигеҙ. ${\displaystyle n\geq 3}$ булғанда был төркөм Абель төркөмө булмай^[14]. Теләһә ниндәй сикле төркөм ниндәйҙер симметрик төркөмдөң аҫтөркөмө була (Кэли теоремаһы)^[12][15].

• Циклик төркөмдәр бер ${\displaystyle a}$ элементының дәрәжәләренән ${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}$ тора. ${\displaystyle a}$ элементы циклик төркөмдөң төҙөүсеһе тип атала. Циклик төркөмдәр һәр ваҡыт коммутатив. Телгә алынған ҡушыу буйынса бөтөн һандар бындай төркөмдөң миҫалы булып тора. Берҙең ${\displaystyle n}$ комплекслы тамырҙарынан торған төркөм циклик төркөм була, йәғни ${\displaystyle |z^{n}|=1}$ шартын һәм комплекслы һандарҙы ҡабатлау ғәмәлен ҡәнәғәтләндергән ${\displaystyle z}$ комплекслы һандар төркөмө^[16]. Мультипликатив сикле төркөм ${\displaystyle (\mathrm {G} ,\cdot )}$ шулай уҡ циклик төркөм була. Мәҫәлән, ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle n=5}$ булғанда ${\displaystyle \mathrm {G} }$ төркөмөнөң төҙөүсе элементы була:

${\displaystyle {\begin{aligned}3^{1}&\equiv 3{\pmod {5}}\\3^{2}&\equiv 4{\pmod {5}}\\3^{3}&\equiv 2{\pmod {5}}\\3^{4}&\equiv 1{\pmod {5}}\,\end{aligned}}}$

• Рубик кубигы төркөмө — симметрик төркөм аҫтөркөмө ${\displaystyle S_{48}}$, Рубик кубигын үҙгәртеүҙәр уның элементтары булып торалар. Ике үҙгәртеүҙең композицияһы яңынан үҙгәртеү була, һәр үҙгәртеү өсөн кире элемент бар, ассоциативлыҡ һәм нейтраль элемент бар^[17].
• Галуа төркөмдәре. Математикаға полиномиаль тигеҙләмәләрҙе симметрия үҙсәнлеге ярҙамында сығарыу өсөн индерелгәндәр. Мәҫәлән, ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ квадрат тигеҙләмәһен сығарыу ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$ тамырҙарын бирә. Оҡшаш формула өсөнсө һәм дүртенсе дәрәжә тигеҙләмә өсөн бар, ләкин ${\displaystyle 5}$-се һәм юғарыраҡ дәрәжә полиномиаль тигеҙләмә өсөн формула юҡ^[18].

• Һәр ${\displaystyle a}$ элементы өсөн кире элемент ${\displaystyle a^{-1}}$ берҙән-бер.
• Нейтраль элемент берҙән-бер:

  Әгәр ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$— нейтраль, ул саҡта ${\displaystyle e_{1}\cdot e_{2}=e_{1}=e_{2}\cdot e_{1}=e_{2}=e_{1}}$.

• ${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}$.
• ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$.
• ${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}}$.
• ${\displaystyle e^{n}=e}$, теләһә ниндәй ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ өсөн^[9].
• ${\displaystyle (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}}$.
• Ҡыҫҡартыу закондары дөрөҫ:

  ${\displaystyle c\cdot a=c\cdot b\Leftrightarrow a=b}$,

  ${\displaystyle a\cdot c=b\cdot c\Leftrightarrow a=b}$.

• Нейтраль элементҡа кире элемент нейтраль элемент үҙе^[19].
• Төркөмдә теләһә ниндәй ${\displaystyle x\cdot c=b}$ йәки ${\displaystyle c\cdot x=b}$ тигеҙләмәһенең берҙән бер ${\displaystyle x}$ сығарылышы бар; йәғни төркөмдә бер ҡиммәтле билдәләнгән уң һәм һул «бүлеү» мөмкин^[1].
• ${\displaystyle \mathrm {G} }$ төркөмөнөң ике аҫтөркөмөнөң киҫешеүе ${\displaystyle \mathrm {G} }$ төркөмөнөң аҫтөркөмө ^[20].
• Лагранж теоремаһы: әгәр ${\displaystyle \mathrm {G} }$ — ${\displaystyle g}$ сикле тәртиптәге төркөм булһа, ул саҡта уның теләһә ниндәй аҫтөркөмөнөң ${\displaystyle \mathrm {G_{1}} }$ тәртибе ${\displaystyle g_{1}}$ төркөмдөң тәртибенең бүлеүсеһе була. Бынан, теләһә ниндәй элементтың тәртибе лә төркөмдөң тәртибен бүлә икәне килеп сыға^[21].
• Төркөмдә аҫтөркөмдәр һанын табыу өсөн Лагранж теоремаһы һәм Силов теоремаһы ҡулланыла.

Төркөмдө бирергә мөмкин:

• барлыҡҡа килтереүсе күмәклек^[22] һәм уның элементтары араһында бәйләнештәр йыйылмаһы ярҙамында;
• Фактор төркөм ${\displaystyle G/H}$ менән, бында ${\displaystyle G}$ — ниндәйҙер төркөм һәм ${\displaystyle H}$ — уның нормаль аҫтөркөмө^[23];
• Ике төркөмдөң ярым тура ҡабатландығы менән һәм, айырым алғанда,
  • Ике ${\displaystyle (G,\cdot )}$ һәм ${\displaystyle (H,\cdot )}$ төркөмдәренең тура ҡабатландығы менән, йәғни компоненттар буйынса ҡабатлау ғәмәле индерелгән ${\displaystyle G\times H}$ парҙар күмәклеге: ${\displaystyle (g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}\cdot h_{2})}$^[24];
• Ике төркөмдөң ирекле ҡабатландығы менән: ${\displaystyle G}$ һәм ${\displaystyle H}$ төркөмдәренең ирекле ҡабатландығы, төҙөүселәр системаһы ${\displaystyle G}$ һәм ${\displaystyle H}$ төҙөүселәре системаларының берекмәһе булған төркөм,^[25] ә бәйләнештәр системаһы ^[26] ${\displaystyle G}$ һәм ${\displaystyle H}$ бәйләнештәр системаһының берекмәһе^[27].

Төркөмдөң хәҙерге төшөнсәһе математиканың бер нисә тармағынан барлыҡҡа килә. Иң башта төркөмдәр теорияһының алға этәреүсе көстәре булып дүртенсенән юғарыраҡ дәрәжәләге алгебраик тигеҙләмәләрҙең сығарылыштарын эҙләү тора. 19-сы быуаттың француз математигы Эварист Галуа, Руффини һәм Лагранждың тикшеренеүҙәрен эшләп бөтөрөп, конкрет алгебраик тигеҙләмәнең, уның сығрылыштарының симметрия төркөмө күҙлегенән, сиселеү критерийын бирә. Галуаның ундай төркөмдәренең элементтары тамырҙарҙың билдәле бер алмаштырмаларына ярашлы. Галуаның идеялары замандаштары тарафынан кире ҡағыла һәм уның вафатынан һуң Лиувилль тарафынан 1846 йылда баҫылып сыға. Галуа кеүек шул уҡ хеҙмәттәргә таянып, Коши алмаштырмалар төркөмөн ентекле тикшерә^[3]. Беренсе тапҡыр сикле төркөм төшөнсәһен Артур Кэли 1854 йылда үҙенең «Глава по теории групп, зависящих от символического уравнения θⁿ = 1» (ингл. "On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ${\displaystyle =}$1") хеҙмәтендә индерә^[28].

Геометрия — төркөмдәр систематик рәүештә ҡулланылған икенсе өлкә, бигерәк тә, немец математигы Феликс Клейндың «Эрланген программаһы» өлөшө булараҡ, симметрия төркөмө. Геометрияның гиперболик һәм һыҙма геометрия кеүек яңы бүлектәре барлыҡҡа килгәндән һуң, Клейн төркөмдәр теорияһын уларҙы яҡшыраҡ бергәләп хәл итеү өсөн ҡуллана. Был идеяларҙы артабан үҫтереү математикаға 1884 йылда Ли төркөмө төшөнсәһен индереүгә килтерҙе ^[3].

Төркөмдәр теорияһы үҫешенә сәбәпсе булған математиканың өсөнсө өлкәһе, — һандар теорияһы. Ҡайһы бер Абель төркөмдәре Гаусстың «Арифметические исследования» (1801) хеҙмәтендә йәшерен ҡулланыла. 1847 йылда Эрнст Куммер беренсе тапҡыр ябай һандарға тарҡатыуҙы тасуирлаусы Ферманың бөйөк теоремаһын төркөмдәр ярҙамында иҫбатларға маташа. 1870 йылда Кронекер Куммерҙың хеҙмәттәрен дөйөмләштерә һәм сикле Абель төркөмөнөң хәҙергегә яҡын билдәләмәһен бирә^[3].

Төркөмдәр теорияһының айырымланыуы Камиль Жордандың «Трактат о заменах и алгебраических уравнениях» (1870) хеҙмәтенән һуң башлана^[29]. 20 быуатта төркөмдәр теорияһы әүҙем үҫешә башлай. Фробениустың һәм Бёрнсайдтың сикле төркөмдәрҙе күҙаллау тураһында тәүге хеҙмәттәре, Ричард Браурҙың күҙаллауҙарҙың модулле теорияһы һәм Шурҙың яҙмалары донъя күрә. Ли төркөмө теорияһын һәм локаль компактлы төркөмдәрҙе өйрәнеүҙә Вейль һәм Картан һиҙелерлек уңыштарға өлгәшәләр. Беренсе булып Клод Шевалле формулировкалаған, аҙағыраҡ Борель һәм Титстың хеҙмәттәрендә телгә алынған алгебраик төркөмдәр теорияһы был теорияларҙың алгебраик өҫтәмәһе булып тора^[3].

1960—61 уҡыу йылында Чикаго университетында төркөмдәр теорияһы йылы үтә, ул Даниель Горенстейн, Джон Томпсон һәм Уолтер Фейт кеүек теоретиктарҙы бергә туплай, шуның менән күп һандағы математиктарҙың хеҙмәттәшлегенә нигеҙ һала, улар һуңынан 1980-се йылдарҙа бөтә ябай сикле төркөмдәрҙе классификациялау тураһында теорема сығаралар. Был проект үҙенең үлсәмдәре буйынса бөтә алдағы төркөмдәрҙе классификацияларға маташыуҙарҙы үтеп китә, иҫбатлау оҙонлоғо буйынса ла, был эшкә йәлеп ителгән ғалимдарҙың һаны буйынса ла. Ағымдағы тикшеренеүҙәр төркөмдәрҙе классификациялауҙы ябайлаштырыуға йүнәлтелгән. Хәҙерге ваҡытта төркөмдәр теорияһы әүҙем үҫешеүен һәм математиканың ҡалған бүлектәренә тәьҫир итеүҙе дауам итә ^[5][30][31].

• Группоид — күмәклек унда бирелгән бинар операция менән^[32].
• Квазитөркөм — ниндәйҙер ${\displaystyle Q}$ күмәклегенән һәм, теләһә ниндәй ${\displaystyle a,b\in Q}$ өсөн, ${\displaystyle a\cdot x=b}$ һәм ${\displaystyle y\cdot a=b}$ тигеҙлеге үтәлгән, берҙән бер ${\displaystyle x}$ һәм ${\displaystyle y}$ элементтары булған шундай ${\displaystyle \cdot }$ бинар операцияһынан торған группоид ул^[33].
• Ярымтөркөм — унда бирелгән ассоциатив бинар операция менән алгебраик система. Натураль һандар күмәклеге ҡушыу ғәмәле менән натураль һандарҙың аддитив ярымтөркөмөн төҙөйҙәр^[34].
• ${\displaystyle G}$ күмәклеге унда бирелгән, тәүге ике аксиоманы ғына ҡәнәғәтләндергән ${\displaystyle \cdot }$ бинар операцияһы менән, моноид тип атала. Натураль һандар күмәклеге нуль менән натураль һандарҙың аддитив моноидын төҙөй^[34].

Күп төркөмдәр бер үк ваҡытта ниндәй ҙә булһа башҡа (өҫтәлмә) математик структураға эйә булалар. Категориялар теорияһы телендә был — категорияла төркөм объекттары; икенсе төрлө әйткәндә, был — улар өсөн (морфизмдар тип аталған), төркөмдөң аксиомаларына эйәргән ниндәйҙер үҙгәртеүҙәр класы бирелгән объекттар (йәғни, мәҫәлән, билдәле бер математик структураға эйә булған күмәклектәр). Атап әйткәндә, һәр төркөм (элекке билдәләнгән мәғәнәлә) бер үк ваҡытта күмәклек була, шуға күрә төркөм күмәклектәр категорияһында төркөм объекты Set (был категорияла морфизмдар — күмәклектәрҙең сағылыштары)^[35].

Ҡулса — коммутатив ҡушыуҙың һәм (коммутатив булыуы мотлаҡ булмаған) ҡабатлауҙың бинар операциялары билдәләнгән ${\displaystyle K}$ күмәклеге, шуның менән бергә ҡушыуға ҡарата К төркөм төҙөй, ә ҡабатлау ҡушыу менән дистрибутив закон менән бәйләнгән.

Ҡулсаны коммутатив һәм ассоциатив тип атайҙар, әгәр унда бирелгән ҡабатлау ғәмәле коммутатив һәм ярашлы рәүештә ассоциатив булһа. Ҡулсаның элементы ${\displaystyle 1}$ берәмек тип атала, әгәр ошо шарт үтәлһә: ${\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a}$, бында ${\displaystyle a}$ — ҡулсаның теләһә ниндәй элементы.

Z, Q, R һанлы күмәклектәре берәмек менән коммутатив ассоциатив ҡулса булалар. Векторҙар күмәклеге векторлы ҡабатлау ғәмәле менән антикоммутатив ҡулса була (йәғни ${\displaystyle a\cdot b=-b\cdot a}$) векторлы ҡабатлау үҙсәнлеге буйынса^[36]: ${\displaystyle a\times b+b\times a=0}$.

Ялан — ул берәмек менән коммутатив ассоциатив ҡулса ${\displaystyle F}$, шуның менән бергә ҡушыуға ҡарата ${\displaystyle F}$ төркөм төҙөй, ә уның нулдән айырмалы элементтары ҡабатлау буйынса төркөм була. Ялан бер нулдән генә тора алмай. рациональ һәм ысын һандар күмәклектәре ялан булалар. Теләһә ниндәй яланда ${\displaystyle a\cdot b=0}$ тик ${\displaystyle a=0}$ һәм/йәки ${\displaystyle b=0}$ булғанда ғына^[37].

Ҡайһы бер топологик арауыҡтар бер үк ваҡытта төркөм структураһы менән дә тәьмин ителгән булырға мөмкин. Был осраҡта бындай арауыҡ топологик төркөм булырға мөмкин.

Атап әйткәндә, топологик төркөм — бер үк ваҡытта топологик арауыҡ та булған төркөм ул, шуның менән бергә төркөмдөң элементтарын ҡабатлау ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} }$ һәм кире элементты алыу ғәмәле ${\displaystyle \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} }$ ҡулланылған топологияла өҙлөкһөҙ сағылыштар булалар ^[38]. Топологик төркөмдәр Top топологик арауыҡтарҙа төркөм объекттары булалар^[35].

Топологик төркөмдәрҙең иң мөһим миҫалдары — ул ысын һандарҙың аддитив төркөмө ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$, нулдән айырмалы ысын һандарҙың мультипликатив төркөмө ${\displaystyle (\mathbb {R^{*}} ,\cdot )}$, тулы һыҙыҡлы төркөм ${\displaystyle GL(n)}$, махсус һыҙыҡлы төркөм ${\displaystyle SL(n)}$, ортогональ төркөм ${\displaystyle O(n)}$, махсус ортогональ төркөм ${\displaystyle SO(n)}$, унитар төркөм ${\displaystyle U(n)}$, махсус унитар төркөм ${\displaystyle SU(n)}$^[39].

Ли төркөмө (Софус Ли хөрмәтенә) — бер үк ваҡытта K яланында дифференциалланыусы төрлөлөк (һуңғыһының ролендә ысын йәки комплекслы һандар яландары сығыш яһарға мөмкин) булған төркөм ул, шуның менән бергә төркөмдөң элементтарын ҡабатлау ${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} }$ һәм кире элементты алыу ғәмәле ${\displaystyle \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G} }$ шыма сағылыштар булалар (комплекслы осраҡта индерелгән сағылыштарҙың голоморфлығы талап ителә). Шуның менән бергә теләһә ниндәй комплекслы ${\displaystyle n}$-үлсәмле Ли төркөмө бер үк ваҡытта ${\displaystyle 2n}$ үлсәмле ысын Ли төркөмө ^[40].

Топологик төркөмд��рҙең миҫалы рәүешендә алдағы бүлектә килтерелгән бөтә конкрет төркөмдәр, бер үк ваҡытта Ли төркөмдәре лә булалар.

Ли төркөмдәре тәбиғи рәүештә өҙлөкһөҙ симметрияларҙы ҡарағанда барлыҡҡа киләләр; шулай, Ли төркөмөн барлыҡҡа килтерәләр^[41] ${\displaystyle \mathrm {E} \rightarrow \mathrm {E} }$ күренешендәге изометриялар, бында ${\displaystyle \mathrm {E} }$ — Евклид нөктәле арауығы. ${\displaystyle Is(\mathrm {E} )}$ тип тамғаланған килеп сыҡҡан төркөм^[42], икенсе Ли төркөмөнөң аҫтөркөмө була — ${\displaystyle \mathrm {E} }$ арауығының, ${\displaystyle Aff(\mathrm {E} )}$ тип тамғаланған аффинлы төркөмө ^[43].

Ли төркөмдәре, уларҙа булған структураларҙың бай булыуы планында, бөтә төрлөлөктәрҙең иң яҡшыһы булып торалар, шулай булараҡ, дифференциаль геометрияла һәм топологияла бик мөһимдәр. Улар шулай уҡ геометрияла, математик анализда, механикала һәм физикала мөһим роль уйнайҙар^[40].

• Алгебраик структуралар
• Төркөмдәр теорияһының терминдар һүҙлеге
• Күпҡыр төркөмө
• Клейн төркөмө

Ҡалып:Ииҫкәрмәләр

• Сагалович Ю. Л. Введение в алгебраические коды (урыҫ) — 2-е изд. — М.: ИППИ РАН, 2010. — 320 с. — ISBN 978-5-901158-14-2
• Белоногов В. А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000.
• Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
• Курош А. Г. Теория групп. (3-е изд.). М.: Наука, 1967.
• Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Gorenstein D. Finite groups. N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Huppert B. Endliche Gruppen. I.B.: Springer, 1967.

• Александров П. С. Введение в теорию групп. — Т. 7. — («Библиотечка Квант»).
• Садовский Л., Аршинов М. Группы // Квант. — 1976. — № 10.
• Группа // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 88—94. — 352 с.

1. ↑ ^{1,0 1,1} Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 16. — 288 с. — 11 800 экз.
2. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 9—14. — 288 с. — 11 800 экз.
3. ↑ ^{3,0 3,1 3,2 3,3 3,4} Israel Kleiner. The Evolution of Group Theory: A Brief Survey (инг.) // Mathematics Magazine : журнал. — 1986. — Т. 59. — № 4. — С. 195-215. — DOI:10.2307/2690312
4. ↑ Тик 2005 йылда ғына, MathSciNet мәғлүмәттәре буйынса, Group theory and generalisations өлкәһендә 2 меңдән артыҡ тикшеренеү эше баҫылып сыға.
5. ↑ ^{5,0 5,1} Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию = Finite simple Groups. An Introduction to Their Classification / под ред. А.И. Кострикина. — Мир. — Москва: Мир, 1985. — С. 9—17. — 352 с. — 5250 экз.
6. ↑ Сагалович, 2010, с. 50
7. ↑ Элементтың натуральная степень а корректно определяется благодаря ассоциативности
8. ↑ Корректность вытекает из единственности обратного элемента.
9. ↑ ^{9,0 9,1} Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 18. — 288 с. — 11 800 экз.
10. ↑ Hatcher Allen. Algebraic topology. — Cambridge: Cambridge University Press, 2002. — P. 30. — ISBN 978-0-486-45868-7.
11. ↑ М. Вельшенбах. Глава 5. Модульная математика: вычисление в классах вычетов. // Криптография на C и С++ в действии. — М.: «Триумф», 2004. — С. 81—84. — 464 с. — ISBN 5-89392-083-X.
12. ↑ ^{12,0 12,1 12,2} Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 18—19. — 448 с. — ISBN 5-02-013916-5.
13. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 122—124. — 288 с. — 11 800 экз.
14. ↑ Курош А. Г. Теория групп / под ред. Брудно К. Ф. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1967. — С. 34. — 648 с. — 20 000 экз.
15. ↑ Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 351. — 559 с. — 40 000 экз.
16. ↑ Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 162—163. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
17. ↑ Schönert, Martin. Analyzing Rubik's Cube with GAP (ингл.). Дата обращения: 19 июль 2013. Архивировано 5 сентябрь 2013 года.
18. ↑ Постников М. М. Теория Галуа. — Москва: Физматгиз, 1963. — С. 126—127. — 220 с. — 11 500 экз.
19. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — 3-е изд.. — Москва: Наука, 1982. — С. 17. — 288 с. — 11 800 экз.
20. ↑ Сагалович, 2010, с. 56
21. ↑ Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 353. — 559 с. — 40 000 экз.
22. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 24. — 288 с. — 11 800 экз.
23. ↑ Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 3-е изд. — Москва: Наука, 1982. — С. 45—46. — 288 с. — 11 800 экз.
24. ↑ Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е. — Факториал Пресс, 2001. — С. 409, 415. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
25. ↑ Ленг С. Алгбра. М.: Мир, 1964. С. 23.
26. ↑ Ленг С. Алгбра. М.: Мир, 1964. С. 52.
27. ↑ Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группе. — Наука, 1989. — С. 330—331. — 448 с. — ISBN 5-02-013916-5.
28. ↑ Cayley (1854) «On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1», Philosophical Magazine, 4th series, (42) : 40-47.
29. ↑ Wussing, Hans. The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory. — Review of General Psychology. — Нью-Йорк: Dover Publications, 2007. — P. 154. — ISBN 978-0-486-45868-7.
30. ↑ Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov Walter Feit (1930–2004) Walter Feit (1930–2004) (инг.) // Notices of the American Mathematical Society : журнал. — 2005. — Т. 52. — № 7. — С. 728—735.
31. ↑ Wilson, Robert A. The finite simple groups. — Graduate Texts in Mathematics. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2009. — P. 2—5. — ISBN 978-1-84800-987-5. — DOI:10.1007/978-1-84800-988-2.
32. ↑ Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 5. — 223 с. — 2800 экз.
33. ↑ Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп. — Наука, 1967. — С. 6. — 223 с. — 2800 экз.
34. ↑ ^{34,0 34,1} Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. — Высшая школа, 1979. — С. 346—347. — 559 с. — 40 000 экз.
35. ↑ ^{35,0 35,1} Букур И., Деляну А. Введение // Введение в теорию категорий и функторов = Introduction to the theory of categories and functors / пер. с англ. Д. А. Райкова , В. Ф. Ретах . — М.: Мир, 1972. — С. 9—10. — 259 с.
36. ↑ Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 14—15. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
37. ↑ Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 16. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
38. ↑ Бурбаки Н.  Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. М.: Наука, 1969.  С. 12.
39. ↑ Рохлин В. А., Фукс Д. Б.  Начальный курс топологии. Геометрические главы.  М.: Наука, 1977.  С. 268—271.
40. ↑ ^{40,0 40,1} Винберг Э. Б. Основы теории групп. — 2-е изд. — Факториал Пресс, 2001. — С. 501. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7.
41. ↑ Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986. С. 201.
42. ↑ Дьедонне Ж.  Линейная алгебра и элементарная геометрия. М.: Наука, 1972. С. 129.
43. ↑ Долгачёв И. В., Широков А. П. Аффинное пространство // Матем. энциклопедия. Т. 1. М.: Сов. энциклопедия, 1982. Стб. 362—363.