Евклид геометрияһы

Элементар геометрия — башлыса күсеш төркөмө (изометриялар) һәм оҡшашлыҡ төркөмө менән билдәләнгән геометрия. Әммә элементар геометрия йөкмәткеһе күрһәтелгән үҙгәртеүҙәр менән генә бөтмәй. Элементар геометрияға шулай уҡ инверсия үҙгәртеүен, сферик геометрия мәсьәләләрен, геометрик төҙөүҙәр элементтарын, геометрик дәүмәлдәрҙе үлсәү теорияһын һәм башҡа мәсьәләләрҙе индерәләр.

Элементар геометрияны йыш ҡына Евклид геометрияһы тип атайҙар, сөнки ул, етерлек ҡәтғи булмаһа ла, тәү башлап һәм систематик рәүештә Евклидтың «Башланғыстар»ында яҙылған. Элементар геометрияның беренсе ҡәтғи аксиоматикаһы Гильберт тарафынан бирелгән. Элементар геометрия дөйөм урта белем биреү мәктәбендә өйрәнелә.

Элементар геометрияны аксиоматикалаштырыу мәсьәләһе аксиомалар системаһын, Евклид геометрияһының бөтә раҫлауҙары был аксиомаларҙан, һыҙмаларҙың күргәҙмәлелегенән тыш, логик һығымта яһау юлы менән сығырлыҡ итеп төҙөүҙә тора.

Евклидтың «Башланғыстар»ында шундай аксиомалар системаһы була:

1. Теләһә ниндәй нөктәнән теләһә ниндәй нөктәгә тиклем тура һыҙыҡ үткәреп була.
2. Сикләнгән тура һыҙыҡты тура һыҙыҡҡа тиклем өҙлөкһөҙ дауам итеп була.
3. Һәр үҙәктән теләһә ниндәй радиус менән түңәрәк ҡамарға мөмкин.
4. Бөтә тура мөйөштәр ҙә үҙ-ара тигеҙ.
5. Әгәр ике тура һыҙыҡты киҫкән тура һыҙыҡ ике тура мөйөштән бәләкәйерәк эске бер яҡлы мөйөштәр барлыҡҡа килтерһә, сикһеҙ дауам ителгән был ике тура һыҙыҡ, мөйөштәре ике тура мөйөштән бәләкәйерәк булған яҡтан осрашалар.

Был система, бер математик икенсеһен аңлау өсөн етерлек була, ләкин иҫбатлауҙарҙа аңғармаҫтан икенсе раҫлауҙар ҡулланыла.

Айырып әйткәндә, Паша теоремаһы. Шулай уҡ был аксиомалар системаһынан бирелгән яҡтары өсмөйөш тигеҙһеҙлеген ҡәнәғәтләндергән өсмөйөштөң булыуы килеп сыҡмай ^{[сығанаҡ 3240  көн күрһәтелмәгән]}.

1899 йылда Гильберт беренсе етерлек ҡәтғи Евклид геометрияһы аксиоматикаһын тәҡдим итә. Евклид геометрияһы аксиоматикаһын Гильбертҡа тиклем Паш, Шур^[en], Пеано, Веронезе яҡшыртырға маташып ҡарай, әммә Гильберттың ҡарашы, төшөнсәләрҙе һайлауҙа консерваторлығына ҡарамай, уңышлыраҡ булып сыға. Башҡа хәҙерге заман аксиоматикалары ла бар, иң билдәлеләре:

• Александров аксиоматикаһы
• Биргоф аксиоматикаһы, барлығы 4 аксиоманан тора, ләкин ысын һандарҙы әҙер төшөнсә кеүек ҡуллана.
• Тарский аксиоматикаһы

Бер нисә көнәркәшле тамғалауҙар системаһы бар.

• Нөктәләр ғәҙәттә ҙур латин хәрефтәре ${\displaystyle A,B,C,\dots }$  менән тамғаланалар.
• Тура һыҙыҡтар ғәҙәттә бәләкәй латин хәрефтәре ${\displaystyle a,b,c,\dots }$  менән тамғаланалар.
• ${\displaystyle P}$  һәм ${\displaystyle Q}$  нөктәләре араһындағы алыҫлыҡ ғәҙәттә ${\displaystyle PQ}$  йәки ${\displaystyle |PQ|}$  тип тамғалана.
• ${\displaystyle P}$  һәм ${\displaystyle Q}$  нөктәләре араһындағы киҫек ғәҙәттә ${\displaystyle [PQ]}$  йәки ${\displaystyle {\overline {PQ}}}$  тип тамғалана.
• ${\displaystyle P}$  нөктәһенән ${\displaystyle Q}$  нөктәһе аша нур ғәҙәттә ${\displaystyle [PQ)}$  йәки ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}$  тип тамғалана.
• ${\displaystyle P}$  һәм ${\displaystyle Q}$  нөктәләре аша тура һыҙыҡ ғәҙәттә ${\displaystyle (PQ)}$  йәки ${\displaystyle {\overleftrightarrow {PQ}}}$  тип тамғалана.
• ${\displaystyle P}$ , ${\displaystyle Q}$  һәм ${\displaystyle R}$  нөктәләре түбәләре булған өсмөйөш ғәҙәттә ${\displaystyle \triangle PQR}$  йәки ${\displaystyle [PQR]}$  тип тамғалана.
• ${\displaystyle F}$  фигураһының майҙаны ғәҙәттә ${\displaystyle S(F)}$  йәки ${\displaystyle |F|}$  тип тамғалана.
• ${\displaystyle [OP)}$  һәм ${\displaystyle [OQ)}$  нурҙары менән яһалған мөйөш ғәҙәттә ${\displaystyle \angle POQ}$  тип тамғалана.
• ${\displaystyle \angle POQ}$  мөйөшөнөң дәүмәле ғәҙәттә ${\displaystyle \measuredangle POQ}$  тип тамғалана.
  • Шуның менән бергә, мөйөштөң дәүмәле, ҡыҫҡартып яҙыу өсөн бәләкәй грек хәрефе ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\dots }$  менән тамғалана.

• Аксиомалар системалары
• Александров аксиоматикаһы
• Биркгоф аксиомалары
• Гильберт аксиоматикаһы
• Лобачевский геометрияһы
• Риман геометрияһы
• Евклид булмаған геометрия
• Аналитик геометрия

• Давид Гильберт Основания геометрии. 2011 йыл 28 июль архивланған. Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. — Ленинград: «Сеятель», 1923—152 с.
• Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1. — М.: Учпедгиз, 1948; Ч. 2. — М.: Учпедгиз, 1951.
• Математический энциклопедический словарь, — М.: «Советская энциклопедия», 1988
• Обухова А. И., История элементарной геометрии
• Евклидова геометрия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Ҡалып:Математика бүлектәре