Евклид

Евклидтың тормошо тураһында дөрөҫ мәғлүмәткә Проклдың Евклидтың Башланғыстарының беренсе китабына комментарийҙарында килтергән күп булмаған мәғлүмәтте индереү ҡабул ителгән (шулай булһа ла Прокл Евклидтан 800 йыл самаһы һуңыраҡ йәшәүен иғтибарға алырға кәрәк). «Математика тариихы буйынса яҙыусылар» был фәндең үҫешен яҙыуҙы Евклид осорона тиклем һуҙыуҙарын билдәләп, Прокл Евклид Платон ҡоронан йәшерәк, ләкин Архимедтан һәм Эратосфендан өлкән, «Птолемей I Сотер осоронда йәшәгән» тип күрһәтә, «сөнки Птолемей I ваҡытында йәшәгән Архимед та Евклидты телгә ала һәм, атап әйткәндә, Птолемей унан геометрияны өйрәнеүҙең Башланғыстарға ҡарағанда ҡыҫҡараҡ юлы бармы тип һорай; ә ул геометрияға батшалар юлы юҡ тип яуап бирә тип һөйләй»^[11][12].

Евклидтың портретына өҫтәлмә мәғлүмәтте Папптан һәм Стобейҙан алырға була. Папп, математика фәндәрен үҫтереүгә әҙ генә булһа ла булышлыҡ итә алған бөтәһе менән дә Евклид йомшаҡ һәм кеселекле булды тип хәбәр итә, ә Стобей Евклид тураһында тағы бер анекдот еткерә. Бер үҫмер, геометрияны өйрәнә башлап беренсе теореманы төшөнгәс, Евклидтан һорай: «Ә миңә был фәндән ниндәй файҙа була?». Евклид ҡолон саҡырып ала һәм әйтә: «Ул уҡыуҙан табыш алырға теләгәс, өс обол бир уға»^[13]. Был һүҙҙәрҙең тарихи булыуы шикле, сөнки Платон тураһында ла шулай уҡ һөйләнә.

Ҡайһы бер хәҙерге заман авторҙары Проклдың Евклид Птолемей I Сотер осоронда йәшәгән тигән раҫлауын, Евклид Птолемей һарайы даирәһендә йәшәгән һәм Александрия Мусейонына нигеҙ һалыусы булған тип аңлаталар^[14]. Ләкин, әйтергә кәрәк, был ҡараш Европала XVII быуатта нығына, урта быуат авторҙары иһә Евклидты Сократтың уҡыусыһы, Мегара философы Евклид менән тиңләштерәләр.

Ғәрәп авторҙары Евклид Дамаскта йәшәгән һәм унда Аполлонийҙың «Башланғыстар»ын баҫтырып сығарған тип иҫәпләгәндәр^[15]. XII быуаттың аноним ғәрәп ҡулъяҙмаһы белдереүенсә :

Евклид, Наукраттың улы, боронғо замандың «Геометр» исеме аҫтында билдәле булған ғалимы, үҙенең сығышы буйынса грек, йәшәгән урыны буйынса Сириялы, Тир ҡалаһында тыуған…

Евклид исеме менән шулай уҡ Александрия математикаһының (геометрик алгебраның) фән булараҡ формалашыуын бәйләйҙәр^[16]. Дөйөм алғанда Евклид тураһында мәғлүмәттәр шул тиклем әҙ, хатта (дөрөҫөн әйткәндә, киң таралмаған) Александрия ғалимдары төркөмөнөң коллектив псевдонимы тураһында һүҙ бара тигән фекер бар^[17].

Евклидтың төп китабы Башланғыстар тип атала. Геометрияның һәм теоретик арифметиканың бөтә төп факттары эҙмә-эҙ яҙылған шундай уҡ исемле китаптар алдараҡ Гиппократ Хиосский, Леонт һәм Февдий тарафынан төҙөлгән булған. Ләкин Евклидтың Башланғыстары бөтә был китаптарҙы ҡулланыштан ҡыҫырыҡлап сығара һәм ике мең йыллыҡтан артыҡ ваҡыт геометрияның төп дәреслеге булып ҡала. Евклид үҙенең дәреслеген төҙөгәндә, унан алдағылар булдырған күп нәмәне, был материалды эшкәртеп һәм бергә туплап, китабына индерә.

Башланғыстар ун өс китаптан тора. Беренсе китабында һәм ҡайһы бер башҡаларында билдәләмәләр теҙмәһе алдан яҙып ҡуйылған. Беренсе китапҡа инеш рәүешендә шулай уҡ постулаттар һәм аксиомалар исемлеге индерелгән. Ҡағиҙә булараҡо, постулаттар төп төҙөүҙәрҙе билдәләй (мәҫәлән, «теләһә ниндәй ике нөктә аша тура һыҙыҡ үткәрергә мөмкин булыуы талап ителә»), ә аксиомалар — дәүмәлдәр менән эш иткәндә һығымта яһауҙың дөйөм ҡағиҙәләре (мәҫәлән, «әгәр ике дәүмәл өсөнсөһөнә тигеҙ булһа, улар үҙ-ара тигеҙ»).

I китабында өсмөйөштәрҙең һәм параллелограммдарҙың үҙсәнлектәре өйрәнелә; был китап тура мөйөшлө өсмөйөштөр өсөн данлыҡлы Пифагор теоремаһы менән тамамлана. Пифагорсыларға барып тоташҡан II китап «геометрик алгебраға» арналған. III һәм IV китаптарҙа әйләнәләр, шулай уҡ ҡамалған һәм ҡамаусы күпмөйөштәр геометрияһы тасуирлана; был китаптар өҫтөндә эшләгәндә Евклид Гиппократ Хиосскийҙың китаптарын ҡулланған булыуы мөмкин. V китапта пропорцияларҙың Евдокс Книдский төҙөгән дөйөм теорияһы индерелә, ә VI китапта ул оҡшаш фигуралар теорияһына ҡушып бирелә. VII—IX китаптары һандар теорияһына арналған һәм пифагорсыларға барып тоташалар; VIII китаптың авторы, моғайын, Архит Тарентский булғандыр. Был китаптарҙа пропорциялар һәм геометрик прогрессиялар тураһында теоремалар ҡарала, ике һандың иң ҙур уртаҡ бүлеүсеһен табыу ысулы (хәҙерге ваҡытта Евклид алгоритмы булараҡ билдәле булған) индерелә, йоп камил һандар төҙөлә, ябай һандар күмәклегенең сикһеҙ булыуы иҫбат ителә. Башланғыстарҙың иң күләмле һәм ҡатмарлы өлөшөн тәшкил иткән X китабында, иррационаллектәр классификацияһы төҙөлә; уның авторы Теэтет Афинский булыуы мөмкин. XI китапҡа стереометрия нигеҙҙәре ингән. XII китапта ҡарап сығыу ысулы менән түңәрәктәрҙең майҙандарының, шулай уҡ пирамидалар һәм конустарҙың күләмдәренең сағыштырмаһы тураһында теоремалар иҫбат ителә; дөйөм таныу буйынса был китаптың авторы Евдокс Книдский тип иҫәпләнә. Ахыр килеп, XIII китап биш төҙөк күпмөйөштө төҙөүгә бағышланған; считается, төҙөүҙәрҙең бер өлөшө Теэтет Афинский тарафынан эшләнгән тип иҫәпләнә.

Беҙҙең көндәргә килеп еткән ҡулъяҙмаларҙа был ун өс китапҡа тағы ла икәү өҫтәлгән. XIV китап александрийсы Гипсиклдыҡы (яҡынса б. э. тиклем 200 йыл), ә XV китап Изге София сиркәүен (Константинополь) төҙөүсе Исидор Милетский йәшәгән осорҙа яҙылған (б. э. VI быуаты башы).

Башланғыстар Архимедтың, Аполлонийҙың һәм башҡа боронғо авторҙарҙың артабанғы геометрик трактаттары өсөн дөйөм нигеҙ булып торалар; уларҙа иҫбат ителгән һөйләмдәр дөйөм билдәле тип иҫәпләнәләр. Борон Башланғыстарға Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий комментарийҙар биргәндәр. Проклдың I китапҡа комментарийы, шулай уҡ Папптың X китапҡа комментарийы (ғәрәп теленә тәржемәлә) һаҡланған. Боронғо авторҙарҙан комментатор традицияһы ғәрәптәргә, ә аҙаҡ Урта быуат Европаһына күскән.

Яңы осор фәне барлыҡҡа килеүҙә һәм үҫешендә Башланғыстар мөһим роль уйнай. Улар теге йәки был математик фәндең төп фекерҙәрен ҡәтғи һәм системалы яҙыусы математик трактат өлгөһө булып ҡалалар.

Евклидтың башҡа китаптарынан һаҡланып ҡалғандар:

• Данные (δεδομένα) — фигураны биреү өсөн нимә кәрәк булыуы тураһында;
• О делении (περὶ διαιρέσεων) — өлөшләтә һәм тик ғәрәп теленә тәржемәлә генә һаҡланған; геометрик фигураларҙы тигеҙ йәки үҙ-ара бирелгән нисбәттә торған өлөштәргә бүлеүҙе бирә

Явления (φαινόμενα) — сферик геометрияның астрономияға ҡушымтаһы;

• Оптика (ὀπτικά) — яҡтылыҡтың тура һыҙыҡ буйынса таралыуы тураһында.

Ҡыҫҡаса тасуирлауҙар буйынса билдәлеләр:

• Поризмы (πορίσματα) — кәкреләрҙе билдәләүсе шарттар тураһында;
• Конические сечения (κωνικά);
• Поверхностные места (τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ) — конус киҫелештәре үҙсәнлектәре тураһында;
• Псевдария (ψευδαρία) — геометрик иҫбатлауҙарҙа хаталар тураһында;

Шулай уҡ Евклидтыҡы тип иҫәпләнә:

• Катоптрика (κατοπτρικά) — көҙгөләр теорияһы; Теон Александрийҙың эшкәртеүе һаҡланған;
• Деление канона (κατατομὴ κανόνος) — музыканың элементар теорияһы буйынса трактат^[18].

Пифагорсылар һәм Платон осоронан уҡ («математик» фәндәр тип аталыусы, һуңғараҡ Боэций квадривий тип атаған) арифметика, музыка, геометрия һәм астрономия системалы фекерләү өлгөһө һәм философияны өйрәнеүҙең баштағы баҫҡысы сифатында ҡаралалар. Платон Академияһына инеү ишеге башында «Да не войдёт сюда не знающий геометрии» тигән яҙыу урынлаштырылған тигән риүәйәт юҡҡа ғына барлыҡҡа килмәгән.

Ярҙамсы һыҙыҡтар үткәргәндә, күренеп тормаған дөрөҫлөк асыҡ күренгән геометрик һыҙмалар, Платон тарафынан Менонда һәм башҡа диалогтарҙа үҫтерелгән таныу тураһында ғилем өсөн иллюстрация булып хеҙмәт итәләр. Геометрияның һөйләмдәре, уларҙың асылына төшөнөү өсөн һыҙманы ябай күҙ менән түгел, ә «аҡыл күҙе» менән үҙләштерергә кәрәк булғанға ла, теоремалар тип аталалар. Теоремаға һәр һыҙма идеяны кәүҙәләндерә: беҙ алдыбыҙҙа был фигураны күрәбеҙ, ә уның менән бер үк күренештә булған бөтә фигуралар тураһында фекер йөрөтәбеҙ һәм һығымта яһайбыҙ.

Евклидтың ҡайһы бер «платонизм»ы шулай уҡ шуның менән бәйле, Платондың Тимейында дүрт төҙөк күпҡырға (тетраэдр — ут, октаэдр — һауа, икосаэдр — һыу, куб — ер) ярашлы булған дүрт элемент тураһында тәғлимәт ҡарала, бишенсе күпҡыр, додекаэдр, «йыһанда фигура өлөшөнә тура килә». Ошоноң менән бәйле, Башланғыстар «Платон есемдәре» тип аталған биш төҙөк күпҡырҙы төҙөү тураһында, башҡа төҙөк күпҡырҙар булмауын иҫбатлау менән тамамланған тәғлимәт кеүек ҡаралырға мөмкин.

Икенсе аналитикала үҫеш алған иҫбатлау тураһындағы Аристотель тәғлимәтенә Башланғыстар шулай уҡ бай материал бирә. Башланғыстарҙа геометрия сығарылма белем системаһы кеүек төҙөлә, унда бөтә һөйләмдәр, иҫбатлауһыҙ ҡабул ителгән күп булмаған башланғыс раҫлауҙар йыйылмаһына нигеҙләнгән сылбыр буйлап, эҙмә-эҙ береһе икенсеһенән сығарыла. Аристотель буйынса, шундай башланғыс раҫлауҙар булырға тейеш, сөнки сығарылма сылбыры, сикһеҙ булмаҫ өсөн, ҡайҙалыр башланырға тейеш. Артабан, Евклид дөйөм характерҙағы раҫлауҙарҙы иҫбатларға тырыша, был шулай уҡ Аристотелдың яратҡан өлгөһөнә тап килә: «әгәр һәр тигеҙ эргәле өсмөйөшкә суммаһы ике тура мөйөшкә тигеҙ булған мөйөштәре булыу хас булһа, был уға ул тигеҙ эргәле булған өсөн түгел, ә өсмөйөш булған өсөн хас» (An. Post. 85b12).

• Эвклидовы элементы из двенадцати нефтоновых книг выбранные и в осмь книг чрез профессора мафематики А. Фархварсона сокращённые. / Пер. с лат. И. Сатарова. СПб., 1739. 284 стр.
• Елементы геометрии, то есть первые основания науки о измерении протяжении, состоящие из осьми Евклидовых книг. / Пер. с франц. Н. Курганова. СПб., 1769. 288 стр.
• Евклидовых стихий осьмь книг, а именно: 1-я, 2-я, 3-я, 4-я, 5-я, 6-я, 11-я и 12-я. / Пер. с греч. СПб., 1784. 370 стр.
  • 2-е изд. … к сим прилагаются книги 13-я и 14-я. 1789. 424 стр.
• Эвклидовых начал восемь книг, а именно: первые шесть, 11-я и 12-я, содержащие в себе основания геометрии 2020 йыл 24 ноябрь архивланған.. / Пер. Ф. Петрушевского. СПб., 1819. 480 стр.
• Эвклидовых начал три книги, а именно: 7-я, 8-я и 9-я, содержащие общую теорию чисел древних геометров. / Пер. Ф. Петрушевского. СПб., 1835. 160 стр.
• Восемь книг геометрии Эвклида. / Пер. с нем. воспитанниками реального училища… Кременчуг, 1877. 172 стр.
• Начала Евклида. / С введ. и толкованиями М. Е. Ващенко-Захарченко. Киев, 1880. XVI, 749 стр.

В XI веке н.э. Григор Магистрос перевел с греческого на армянский «Начала» Евклида. Более обширный перевод Евклида сделан в позднем средневековье и приписывается автору XVII века Григору Кесараци.

• Начала Евклида. Пер. и комм. Д. Д. Мордухай-Болтовского при ред. участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. В 3 т. (Серия «Классики естествознания»). М.: ГТТИ, 1948-50. 6000 экз.

• Книги I—VI (1948. 456 стр.) на www.math.ru или на mccme.ru 2011 йыл 11 август архивланған.
• Книги VII—X (1949. 512 стр.) на www.math.ru или на mccme.ru 2011 йыл 18 сентябрь архивланған.
• Книги XI—XIV (1950. 332 стр.) на www.math.ru или на mccme.ru 2011 йыл 20 сентябрь архивланған.

• Оливер Бирн. Первые шесть книг Начал Евклида в которых используются цветные схемы и знаки вместо букв для большего удобства обучающихся / перевод с английского Сергея Слюсарева. — 2018. — 278 с.
• Euclidus Opera Omnia. Ed. I. L. Heiberg & H. Menge. 9 vols. Leipzig: Teubner, 1883—1916.

• Vol. I—IX на www.wilbourhall.org

• Heath T. L. The thirteen books of Euclid’s Elements. 3 vols. Cambridge UP, 1925. Editions and translations: Greek (ed. J. L. Heiberg), English (ed. Th. L. Heath)
• Euclide. Les éléments. 4 vols. Trad. et comm. B. Vitrac; intr. M. Caveing. P.: Presses universitaires de France, 1990—2001.
• Barbera A. The Euclidian Division of the Canon: Greek and Latin Sources // Greek and Latin Music Theory. Vol. 8. Lincoln: University of Nebraska Press, 1991.

• Max Steck. Bibliographia Euclideana. Die Geisteslinien der Tradition in den Editionen der «Elemente» des Euklid (um 365—300). Handschriften, Inkunabeln, Frühdrucke (16.Jahrhundert). Textkritische Editionen des 17.-20. Jahrhunderts. Editionen der Opera minora (16.-20.Jahrhundert). Nachdruck, herausgeg. von Menso Folkerts. Hildesheim: Gerstenberg, 1981.

• Прокл Диадох. Комментарии к первой книге «Начал» Евклида. Введение. Пер. и комм. Ю. А. Шичалина. М.: ГЛК, 1994.
• Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида / Перевод А. И. Щетникова. — М.: Русский фонд содействия образованию и науке, 2013.
• Thompson W. Pappus’ commentary on Euclid’s Elements. Cambridge, 1930.

Евклидтың Башланғыстары тураһында

• Алимов Н. Г. Величина и отношение у Евклида. Историко-математические исследования, вып. 8, 1955, с. 573—619.
• Башмакова И. Г. Арифметические книги «Начал» Евклида. Историко-математические исследования, вып. 1, 1948, с. 296—328.
• Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. М.: Физматгиз, 1959.
• Выгодский М. Я. «Начала» Евклида. Историко-математические исследования, вып. 1, 1948, с. 217—295.
• Глебкин В. В. Наука в контексте культуры: («Начала» Евклида и «Цзю чжан суань шу»). М.: Интерпракс, 1994. 188 стр. 3000 экз. ISBN 5-85235-097-4
• Каган В. Ф. Евклид, его продолжатели и комментаторы. В кн.: Каган В. Ф. Основания геометрии. Ч. 1. М., 1949, с. 28-110.
• Раик А. Е. Десятая книга «Начал» Евклида. Историко-математические исследования, вып. 1, 1948, с. 343—384.
• Родин А. В. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. М.: Наука, 2003.
• Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. М.-Л.: ОНТИ, 1938.
• Щетников А. И. Вторая книга «Начал» Евклида: её математическое содержание и структура. Историко-математические исследования, вып. 12(47), 2007, с. 166—187.
• Щетников А. И. Сочинения Платона и Аристотеля как свидетельства о становлении систем�� математических определений и аксиом. ΣΧΟΛΗ, вып. 1, 2007, c. 172—194.
• Artmann B. Euclid’s «Elements» and its prehistory. Apeiron, v. 24, 1991, p. 1-47.
• Brooker M.I.H., Connors J. R., Slee A. V. Euclid. CD-ROM. Melbourne, CSIRO-Publ., 1997.
• Burton H.E. The optics of Euclid. J. Opt. Soc. Amer., v. 35, 1945, p. 357—372.
• Itard J. Lex livres arithmetiqués d’Euclide. P.: Hermann, 1961.
• Fowler D.H. An invitation to read Book X of Euclid’s Elements. Historia Mathematica, v. 19, 1992, p. 233—265.
• Knorr W.R. The evolution of the Euclidean Elements. Dordrecht: Reidel, 1975.
• Mueller I. Philosophy of mathematics and deductive structure in Euclid’s Elements. Cambridge (Mass.), MIT Press, 1981.
• Schreiber P. Euklid. Leipzig: Teubner, 1987.
• Seidenberg A. Did Euclid’s Elements, Book I, develop geometry axiomatically? Archive for History of Exact Sciences, v. 14, 1975, p. 263—295.
• Staal J.F. Euclid and Panini // Philosophy East and West.1965.№ 15. P. 99-115.
• Taisbak C.M. Division and logos. A theory of equivalent couples and sets of integers, propounded by Euclid in the arithmetical books of the Elements. Odense UP, 1982.
• Taisbak C.M. Colored quadrangles. A guide to the tenth book of Euclid’s Elements. Copenhagen, Museum Tusculanum Press, 1982.
• Tannery P. La géometrié grecque. Paris: Gauthier-Villars, 1887.

Евклидтың башҡа әҫәрҙәре тураһында

• Зверкина Г. А. Обзор трактата Евклида «Данные». Математика и практика, математика и культура. М., 2000, с. 174—192.
• Ильина Е. А. О «Данных» Евклида. Историко-математические исследования, вып. 7(42), 2002, с. 201—208.
• Шаль М. О поризмах Евклида. // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. М., 1883.
• Berggren J.L., Thomas R.S.D. Euclid’s Phaenomena: a translation and study of a Hellenistic treatise in spherical astronomy. NY, Garland, 1996.
• Schmidt R. Euclid’s Recipients, commonly called the Data. Golden Hind Press, 1988.
• С. Кутателадзе Апология Евклида 2011 йыл 13 сентябрь архивланған.

• Аксиома
• Постулат
• Евклид алгоритмы
• Евклид геометрияһы
• Евклид булмаған геометрия
• Бишенсе постулат
• Евклид арауығы

• Храмов Ю. А. Евклид // Физики : Биографический справочник / Под ред. А. И. Ахиезера. — Изд. 2-е, испр. и доп. — М. : Наука, 1983. — С. 109. — 400 с. — 200 000 экз.

Ҡалып:Александрийская школа