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'''天元术'''是[[中国]]古代的[[代数学]]方法之一种，是中国古代建立[[方程|高次方程]]的方法。1248年，[[金代]]数学家[[李冶 (數學家)|李冶]]在其著作《[[测圆海镜]]》、《[[益古演段]]》，以及元代数学家[[朱世杰]]的《[[算学启蒙]]下卷》《[[四元玉鉴]]》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。元代数学家[[王恂 (元朝)|王恂]]也广泛使用天元术解高次方程。例如在授时历中“问半弧背一度下，黄赤道矢弧若干”一题，王恂用天元术建立和求解四次多项式方程 <math>x^4+(14823.0624+243.50)x^2-1804707.859375x+14823.0625=0</math><ref>吴文俊主编 《中数学史大系》 第六卷 第三编 第三节 《解高次方程》  186-193页</ref>

其中“天元”相当于现在的[[未知数]]，“立天元一为某某”相当于现代[[数学]]中的“设某某为<math>x</math>”，用天、地表示方程的正次[[幂]]和负次幂，根据问题设未知数，列出两个相等的[[多项式]]，进行多项式运算，最后列出有待求解的方程。

==历史==
[[File:益古第八问.jpg|thumb|right|300px|[[李冶]]《[[益古演段]]》中的天元术]]
[[File:朱世杰算学启蒙中的天元术.JPG|thumb|right|400px|[[朱世杰]]《[[算学启蒙]]》中的天元术]]
[[File:Wylie on Tian Yuen.jpg|thumb|right|300px|[[伟烈亚力]]《中国数学科学札记》论天元术]]
在中国数学史上最早创立天元概念的是北宋平阳[[蒋周]]所著的《益古集》，随后有博陆[[李文一 (宋朝)|李文一]]撰《照胆》，鹿泉[[石信道]]撰《钤经》，平水[[刘汝谐]]撰《如积释锁》，处州[[李思聪 (宋朝)|李思聪]]《洞渊九容》后人才知道有天元。

[[李冶]]在东平获得刘汝谐撰《如积释锁》，书中用十九个单字表示未知数的各个<math>x^9</math>至<math>x^{-9}</math>的幂：

:仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼；其中立天元在上。

后来有太原彭泽彦出，反其道而行，以天元在下<ref>[[吴文俊]]主编 《[[中国数学史大系 (吴文俊)|]]》 第六卷 35-43页</ref>。

《益古集》、《照胆》、《钤经》、《如积释锁》、《洞渊九容》等早期天元术著作今已失传。[[李冶]]在《[[测圆海镜]]》中使用天元在上的天元术。后来李冶又著《[[益古演段]]》，采用天元在下的次序。[[朱世杰]]《[[四元玉鉴]]》和《[[算学启蒙]]》卷下也采用天元在下的次序。

==例子==
[[File:Gouguxian.png|thumb|right|300px|a 勾 b 股   c 弦  ]]
在天元术中，一次项[[系数]]旁记一“元”字（或在[[常数]]项旁记一“太”字）。
:历史上有两种次序：

;《测圆海镜》式

“元”以上的系数表示各正次幂，“元”以下的系数表示常数项和各负次幂）。

例：李冶《测圆海镜》第二卷第十四问方程：<math>-x^2-680x+96000=0</math>

:::::::::::{{v-1}}
:::::::::{{h6}}{{h-8}}{{Rod0}}元
::::::::{{v9}}{{h6}}{{Rod0}}{{Rod0}}{{Rod0}}

;《益古演段》式
“元”以下的系数表示各正次幂，“元”以上的系数表示常数和各负次幂

例一：

[[李冶]]《[[益古演段]]》卷中第三十六问中的方程=<math>3x^2+210x-20325</math> 用天元术表示为:

::::::::{{Rod2}}{{Rod0}}{{v-3}}{{h2}}{{v5}} 太
::::::::::{{Rod2}}{{h1}}{{Rod0}}    元（x）
:::::::::::{{v3}}                   （<math>x^2</math>项）

其中“太”是常数项，算筹{{v3}} 打斜线表示该项常数为负数。
“元”相当于未知数x

例二：

[[朱世杰]]《[[算学启蒙]]》下卷第四问

将代数方程

<math>(92-X)X-2052=0</math>

表示为天元方程：

:::::::::::::{{h2}}{{Rod0}}{{h5}}{{v-1}}
:::::::::::::{{h9}}{{Rod2}}
:::::::::::::{{v-1}}

例三：

朱世杰《四元玉鉴》《一气混元》
:今有黄方乘直积得二十四步，只云股弦和九步，问勾几何？
:答曰：三步。
:草曰:立天元一为勾，

根据条件 黄方乘直积得二十四步
:黄方：<math>(a+b-c)</math><ref>[[朱世杰]]原著 李兆华校正 《四元玉鉴》  148页 科学出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6</ref>
:直积：<math>ab</math>
:得  <math>(a+b-c)ab=24</math>
:此外：股弦和九步
<math>b+c=9</math>
<math>x=a</math>(立天元一为勾)
由此得方程

<math>x^5-9x^4-81x^3+729x^2=3888</math>

::::::::::{{v3}}{{h8}}{{v-8}}{{h8}}
::::::::::::{{Rod0}} 太
:::::::::::{{v7}}{{h2}}{{v9}}
::::::::::::{{v-8}}{{h1}}
:::::::::::::{{v-9}}
::::::::::::::{{v1}}

解之，得勾=3

==天元术与阿拉伯代数之差异==
天元术与[[阿拉伯代数]]虽功用相同，但方法迥异。天元术可解高次方程，阿拉伯代数只能解一次，二次方程。天元术解根只求正根，但阿拉伯代数解二次方程得二根。<ref>[[钱宝琮]] 《金元之际数学之发展》《李俨·钱宝琮科学史全集》卷9  340页</ref>

==参见==
《[[益古演段]]》
《[[算学启蒙]]》
《[[四元��鉴]]》

==参考文献==
<references/>

{{中国数学史}}
[[Category:中國古代數學]]
[[Category:代数]]

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