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{{copyedit|time=2017-01-21T15:13:24+00:00}}
'''十二平均律'''（'''英語'''：12 equal temperament），又稱'''十二等程律'''，音樂[[律式]]的一種，也是當今最主流的律式。將一個[[八度]]平均分成十二等份，每等分稱為[[半音]]，音高八度音指的是頻率乘上二倍。八度音的頻率分為十二等分，即是分為十二項的[[等比數列]]，也就是每個音的頻率為前一個音的[[2的12次方根]]倍：
: 其近似值約為<math>\,\sqrt[12]{2}=2^{\frac{1}{12}}\approx\,</math>{{Root|2|12|use math=yes}} 倍。

==歷史==
[[File:De Spiegheling der signconst.jpg|thumb|right|300px|西蒙·斯特芬 作于 1605年左右的手稿 Van de Spiegheling der singconst]]

公元400年左右，中国[[南北朝|南朝]]数学家[[何承天 (南朝)|何承天]]提出世界历史上最早有记载的十二平均律数列 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509.5 479 450（原文：……黄钟长九寸，太簇长八寸二厘，林钟长六寸一厘，应钟长四寸七分九厘强）<ref>J. Murray Barbour Tuning and Temperament p55-56, Michigan State University Press 1951 </ref>。

意大利的物理学家[[伽利略·伽利莱]]的父亲{{le|溫琴佐·伽利萊|Vincenzo Galilei}}曾试图解决十二平均率问题，但他用的倍率是18:17，而不是<math>\sqrt [12] {2}</math>，因此自乘12次后只得1.98556，不是2，他的系统只可算近似十二音阶平均律<ref name="卓仁祥2010">{{cite journal |title=《從文化史角度看十二平均律的發現》 |author=美國北德克薩斯大學音樂學院教授 卓仁祥 |journal=星海音樂學院學報 |year=2010年 |issue=2期 |url=http://edu.wanfangdata.com.cn/Periodical/Detail/xhyyxyxb201002001 |access-date=2019-11-12 |archive-date=2020-02-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200218112433/http://edu.wanfangdata.com.cn/Periodical/Detail/xhyyxyxb201002001 |dead-url=no }}</ref>。

1605年荷兰数学家[[西蒙·斯特芬]]在一篇未完成的手稿“Van de Spiegheling der singconst”<ref>Simon Stevin [http://diapason.xentonic.org/ttl/ttl21.html Van de Spiegheling der singconst] {{Wayback|url=http://diapason.xentonic.org/ttl/ttl21.html |date=20110717015203 }} 2009-6-30</ref>提出用<math>\sqrt [12] {1/2}</math> 计算十二平均律，但因计算精度不够，他算出的弦长数字，有些偏离正确数字一至二单位之多<ref> Thomas S. Christensen, The Cambridge history of western music theory p205, Cambridge Univerity Press</ref>。

西蒙·斯特芬的弦长表<ref>卓仁祥：《东西方文化视野中的朱載堉及其学术成就》，第十章，2009年，中央音乐学院出版社，151页。ISBN 978-7-81096-325-1</ref>：
{| border="0" width="500" align="center" style="border: 5px solid #999; background-color: #FFFFFF;"
|-align="center" bgcolor="#CCCCCC"
! 音
! 弦 10000
! 比率 
! 正确的弦长
|-----
| 半音
| 9438
| 1.0595465
| 9438.7
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| 全音
| 8909
| 1.0593781 
|
|-----
| 1.5 音
|8404
| 1.0600904
| 8409
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| 2 倍全音
|7936
| 1.0594758
| 7937
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| 2.5 音
| 7491
| 1.0594046
| 7491.5
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| 3 音 
| 7071
|1.0593975
| 7071.1
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| 3.5 音 
| 6674
|1.0594845 
| 6674.2
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| 4 音
| 6298
| 1.0597014
| 6299 
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| 4.5 音
| 5944
| 1.0595558
| 5946
|-----bgcolor="#EFEFEF"
|5 音
| 5611
|1.0593477
| 5612.3 
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| 5.5 音
| 5296
|1.0594788
| 5297.2
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| 八度
| 
|1.0592000 
|
|}

西蒙·斯特芬的频率比，每音一率，且各不相同，这是不正确的<ref>卓仁祥：《东西方文化视野中的朱載堉及其学术成就》，第十章，2009年，中央音乐学院出版社，152页，ISBN 978-7-81096-325-1</ref>。

===朱載堉发明十二平均律===
中國明代音樂家[[朱載堉]]於萬曆十二年（1584年）首次提出「[[新法密率]]」（見《[[律呂精義]]》、《[[樂律全書]]》），推算出以比率
<math>\sqrt [12] {2}</math> 將八度音等分為十二等分的算法，並製造出十二平均律律管及律準，是世界上最早的十二平均律樂器。他用九九八十一位算盘计算��来准确到25位数字新法密率为：
{| class="wikitable"
! 律名 || 比率
|-
|正黄钟|| 1.000000000000000000000000
|-
|倍應鍾|| 1.059463094359295264561825
|-
|倍無射|| 1.122462048309372981433533
|-
|倍南呂|| 1.189207115002721066717500
|-
|倍夷則|| 1.259921049894873164767211
|-
|倍林鍾|| 1.334839854170034364830832
|-
|倍蕤賓|| 1.414213562373095048801689
|-
|倍仲呂|| 1.498307076876681498799281
|-
|倍姑洗|| 1.587401051968199474751706
|-
|倍夾鍾|| 1.681792830507429086062251
|-
|倍太蔟|| 1.781797436280678609480452
|-
|倍大呂|| 1.887748625363386993283826
|-
|倍黃鐘|| 2.000000000000000000000000
|}
<gallery>
File:乐律全书全-118.jpg|
File:乐律全书全-119.jpg|
File:乐律全书全-120.jpg|
File:乐律全书全-121.jpg|朱載堉新法密率
File:乐律全书全-122.jpg|
File:乐律全书全-123.jpg|
File:乐律全书全-124.jpg|

</gallery>

=== 朱載堉首创十二平均律乐器 ===
[[朱載堉]]为了验证所创的十二平均律理论，计算出所需的长度和律管内径，特选用上等竹子，按数据截取所需的长度，按数据镟出内径，分别创制世界上最早的十二平均律律管36根，分别为新法密率倍率管12根、正律管12根和半律管12根<ref>朱載堉 {{wikisource-inline|樂律全書_(四庫全書本)/卷08|《乐律全书》卷八 第五至第九页}}</ref>。选上好竹子制造，金门竹、班竹或紫竹都可，而當時朱載堉採用的是江南出产的笔管竹。

倍率黄钟管的内径取为五寸，下一根竹管的内径为上根竹管的直径除以<math>\sqrt [24] {2}</math>：

====樂器尺寸====
[[File:乐律全书全-1153.jpg|thumb|right|200px|十二平均律倍律管]]
[[File:乐律全书全-1154.jpg|thumb|right|200px|十二平均律正律管]]
[[File:乐律全书全-1155b.jpg|thumb|right|200px|十二平均律半律管]]

{| class="wikitable"
!律数||律名|| 长度  || 内径
|-		       	   	
|	1	倍律||	黃鐘|| 2.0000	尺|| 0.500	尺
|-	
|	2	倍律||	大呂 || 1.8877	尺||0.485	尺
|-	
|	3	倍律||	太蔟|| 	1.7818	尺||	0.471	尺
|-	
|	4	倍律||	夾鍾|| 	1.6818	尺||	0.458	尺
|-	
|	5	倍律||	姑洗|| 	1.5874	尺||	0.445	尺
|-	
|	6	倍律||	仲呂|| 	1.4983	尺||	0.432	尺
|-	
|	7	倍律||	蕤賓|| 	1.4142	尺||	0.420	尺
|-	
|	8	倍律||	林鍾|| 	1.3348	尺||	0.408	尺
|-	
|	9	倍律||	夷則|| 	1.2599	尺||	0.396	尺
|-	
|	10	倍律||	南呂|| 	1.1892	尺||	0.385	尺
|-	
|	11	倍律||	無射|| 	1.1224	尺||	0.374	尺
|-	
|	12	倍律||	應鍾|| 	1.0594	尺||	0.363	尺
|-	
|	1	正律||	黄钟|| 	1.0000	尺||	0.353	尺
|-	
|	2	正律||	大呂|| 	0.9439	尺||	0.343	尺
|-	
|	3	正律||	太蔟|| 	0.8909	尺||	0.333	尺
|-	
|	4	正律||	夾鍾|| 	0.8409	尺||	0.324	尺
|-	
|	5	正律||	姑洗|| 	0.7937	尺||	0.314	尺
|-	
|	6	正律||	仲呂|| 	0.7491	尺||	0.306	尺
|-	
|	7	正律||	蕤賓|| 	0.7071	尺||	0.297	尺
|-	
|	8	正律||	林鍾|| 	0.6674	尺||	0.288	尺
|-	
|	9	正律||	夷則|| 	0.6299	尺||	0.280	尺
|-	
|	10	正律||	南呂|| 	0.5946	尺||	0.272	尺
|-	
|	11	正律||	無射|| 	0.5612	尺||	0.264	尺
|-	
|	12	正律||	應鍾|| 	0.5297	尺||	0.257	尺
|-								 
|	1	半律||	黃鐘||	0.5000	尺||	0.250	尺
|-	
|	2	半律||	大呂|| 	0.4719	尺||	0.242	尺
|-	
|	3	半律||	太蔟|| 	0.4454	尺||	0.235	尺
|-	
|	4	半律||	夾鍾|| 	0.4204	尺||	0.229	尺
|-	
|	5	半律||	姑洗|| 	0.3968	尺||	0.222	尺
|-	
|	6	半律||	仲呂|| 	0.3745	尺||	0.216	尺
|-	
|	7	半律||	蕤賓|| 	0.3535	尺||	0.210	尺
|-	
|	8	半律||	林鍾|| 	0.3337	尺||	0.204	尺
|-	
|	9	半律||	夷則|| 	0.3150	尺||	0.198	尺
|-	
|	10	半律||	南呂|| 	0.2973	尺||	0.192	尺
|-	
|	11	半律||	無射|| 	0.2806	尺||	0.187	尺
|-	
|	12	半律||	應鍾|| 	0.2648	尺||	0.181	尺
|}


倍率黄钟管的内径取为五寸，下一根竹管的内径为上根竹管的直径除以<math>\sqrt [24] {2}</math>。

===十二平均律准===
[[朱載堉]]依他對十二平均律所發明的新法密率理論，创制一種律准。用桐木制作，琴身厚四分，张琴弦12根，琴底藏一根黄钟律管，用来定黄钟<ref>朱載堉《乐律全书》卷八 《律学新说》</ref>。
[[File:乐律全书全-2297.jpg|thumb|right|300px|朱載堉12弦十二平均律准]]
;	按第	1	弦为	黃鐘	与本弦	散声	应
;	按第	2	弦为	大呂 	与本弦	散声	应
;	按第	3	弦为	太蔟 	与本弦	散声	应
;	按第	4	弦为	夾鍾 	与本弦	散声	应
;	按第	5	弦为	姑洗 	与本弦	散声	应
;	按第	6	弦为	仲呂 	与本弦	散声	应
;	按第	7	弦为	蕤賓 	与本弦	散声	应
;	按第	8	弦为	林鍾 	与本弦	散声	应
;	按第	9	弦为	夷則 	与本弦	散声	应
;	按第	10	弦为	南呂 	与本弦	散声	应
;	按第	11	弦为	無射 	与本弦	散声	应
;	按第	12	弦为	應鍾 	与本弦	散声	应
{{Gallery
|title=十二平均律准
|footer=
|width=220
|height=200
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|align=center
|File:乐律全书全-2298.jpg|十二平均律准
|File:乐律全书全-2299.jpg|十二平均律准
|File:十二平均律准器2.JPG|十二平均律准
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|File:准器11.JPG|十二平均律准
|File:准器12.JPG|十二平均律准
|File:准器13.JPG|十二平均律准
}}

=== 歐洲的十二平均律 ===
16世纪末叶中外交通方兴未艾，1580年开始，明朝[[广东承宣布政使司]]每两年在广州举办一次为时数周的交易会，届时东西商人和传教士會交流货物和思想；<ref name="Christensen2006">{{cite book|author=Thomas Christensen|title=''The Cambridge History of Western Music Theory''|url=https://books.google.com/books?id=njPVBAAAQBAJ&pg=PT205|date=20 April 2006|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-316-02548-2|page=205|access-date=2019-11-12|archive-date=2020-02-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20200218112439/https://books.google.com/books?id=njPVBAAAQBAJ&pg=PT205|dead-url=no}}</ref>朱載堉刊行十二平均律学说之时，正值耶稣会意大利传教士[[利马窦]]来华之时，利马窦在其私人日记里提到朱載堉的历法新理论，利马窦本人又是精通天文学和数学，很可能��道朱載堉用<math>\sqrt [12]{2}</math>来解决春分与夏至三个月之间的比率：无独有偶，利马窦还是法国位居高位的科学家[[马兰·梅森]] （Pere Marin Mersenne）的朋友，他们有共同的学术兴趣，因此卓仁祥認為，在他们交往过程中，利马窦将朱載堉获得的<math>\sqrt [12]{2}</math>=1.059463094359295264561825 传达给梅森。1638年梅森出版《{{le|和谐音概论|Harmonie universelle}}》，书中在西方世界第一次出现1.059463 这个数字，在此之前西方无人知道这个数字<ref name="卓仁祥2010"/>。

十九世纪德国物理学家[[赫尔曼·冯·亥姆霍兹]]在所著的论音感一书中写道：“中国有一位王子名叫載堉，力排众议，创导七声音阶。而将八度分成十二个半音的方法，也是这个富有天才和智巧的国家发明的”<ref>Hermann Von Helmholtz, [https://archive.org/details/onsensationsofto00helmrich/page/258 ''On the Sensations of Tone as a Physiological basis for the theory of music''], p 258, 3rd edition, Longmans, Green, and Co., London, 1895 </ref>。1890年布鲁塞尔皇家音乐博物馆馆长 Victor Charles Mahillon 按朱載堉十二平均律律管数据，复制了一套律管，经过测试之后，他写道：“关于乐管的管径，我们毫无所知，中国人比我们知道的多得多。我们按王子載堉的数据复制了一套律管，测试结果表明他的理论的准确性”<ref>劳汉生 《珠算與實用算術》，2010年，河北科學技術出版社，389页，ISBN 9787537518918</ref>。

====十二平均律流行世界====

[[德國作曲家列表|德国作曲家]][[约翰·塞巴斯蒂安·巴赫|巴赫]]於1722年發表的《[[平均律键盘曲集]]》(Das Wohltemperierten Klavier，中文意思是「完美調音的鍵盤樂器」)，雖然現代中文翻譯為「平均律」，但可能並不是為使用十二平均律的鍵盤樂器而著。十二平均律的德文是Gleichschwebende Temperatur，而不是Wohltemprierte。平均律的英文是Equal Temperament，Temperament是Temper（調律）的動詞，因為百餘年來歐美各國的調律都採十二平均律，故現在習慣以Temperament表示十二平均律。

James Murray Barbour (1897, 3, 31 - 1970, 1, 04) 研究「調律技術演進史」，認為1842年由英國樂器製造廠Broadwood找到十二平均律的調律法，十二平均律才能普及。<ref> Barbour, James Murray, Tuning and temperament, a historical survey, East Lansing, Michigan State College Press, 1953 </ref> 巴赫的鍵盤樂器则是使用他的学生，音乐理论家{{tsl|en|Johann Kirnberger|Johann Philipp Kirnberger}}綜合[[中庸全音律]]與[[五度相生律]]的原理，所發明的調律法。

===历史上各种十二平均律的音分===
{| border="0" width="700" align="center" style="border: 5px solid #999; background-color:#FFFFFF"
|-align="center" bgcolor="#CCCCCC"
! 年份
! 人名
! 比率
! 音分
|-----
| 400
| 何承天
| 1.060070671
| 101.0
|-----
| 1580
| 伽利略·文森佐
| 18:17
| 99.0
|-----bgcolor="#EFEFEF"
| 1581
| 朱載堉
| 1.059463094
| 100.0
|-----
| 1585
| 西蒙·斯特芬
| 1.059546514
| 100.1
|-----
| 1630
| 马兰·梅森
| 1.059322034
| 99.8
|-----bgcolor="#EFEFEF"

| 1630
| Johann Faulhaber
| 1.059490385
| 100.0
|}

朱載堉显然是历史上最先获得准确的100[[音分]]半音十二平均律的人；半世纪之后德国数学家Johann Faulhaber也获得了准确的100音分。

==十二平均律表==
將主音設為a1(440Hz)，來計算所有音的頻率，結果如下 ''（为计算过程更清晰，分数不进行约分）''：
{| frame="box" rules="all" cellpadding="4" style="text-align:center" align=center
|- bgcolor=#00FFFF
!音程名稱
!間隔半音數
!十二平均律的倍數
!頻率
|-
|纯一度(A<sup>1</sup>)
!0
|<math>2^0=1 \,</math>
|<math>440 \times 1=440 \,</math>
|-
|增一度/小二度(A♯<sup>1</sup>/B♭<sup>1</sup>)
!1
|<math>\sqrt[12]{2}=2^{\frac{1}{12}}\approx 1.0594630943592952645618252949463</math>
|<math>440 \times 2^{\frac{1}{12}}\approx 466.1637615180899164072031297762</math>
|-
|大二度(B<sup>1</sup>)
!2
|<math>\sqrt[6]{2}=2^{\frac{2}{12}}\approx 1.1224620483093729814335330496792</math>
|<math>440 \times 2^{\frac{2}{12}}\approx 493.8833012561241118307545418586</math>
|-
|小三度(C<sup></sup>)
!3
|<math>\sqrt[4]{2}=2^{\frac{3}{12}}\approx 1.1892071150027210667174999705605</math>
|<math>440 \times 2^{\frac{3}{12}}\approx 523.2511306011972693556999870466</math>
|-
|大三度(C♯<sup></sup>)
!4
|<math>\sqrt[3]{2}=2^{\frac{4}{12}}\approx 1.2599210498948731647672106072782</math>
|<math>440 \times 2^{\frac{4}{12}}\approx 554.3652619537441924975726672023</math>
|-
|纯四度(D<sup></sup>)
!5
|<math>\sqrt[12]{32}=2^{\frac{5}{12}}\approx 1.3348398541700343648308318811845</math>
|<math>440 \times 2^{\frac{5}{12}}\approx 587.3295358348151205255660277209</math>
|-
|增四度/減五度(D#<sup></sup>/E♭<sup></sup>)
!6
|<math>\sqrt{2}=2^{\frac{6}{12}}\approx 1.4142135623730950488016887242097</math>
|<math>440 \times 2^{\frac{6}{12}}\approx 622.2539674441618214727430386522</math>
|-
|纯五度(E<sup></sup>)
!7
|<math>\sqrt[12]{128}=2^{\frac{7}{12}}\approx 1.4983070768766814987992807320298</math>
|<math>440 \times 2^{\frac{7}{12}}\approx 659.2551138257398594716835220930</math>
|-
|小六度(F<sup></sup>)
!8
|<math>\sqrt[3]{4}=2^{\frac{8}{12}}\approx 1.5874010519681994747517056392723</math>
|<math>440 \times 2^{\frac{8}{12}}\approx 698.4564628660077688907504812795</math>
|-
|大六度(F#<sup></sup>)
!9
|<math>\sqrt[4]{8}=2^{\frac{9}{12}}\approx 1.6817928305074290860622509524664</math>
|<math>440 \times 2^{\frac{9}{12}}\approx 739.9888454232687978673904190852</math>
|-
|小七度(G<sup></sup>)
!10
|<math>\sqrt[6]{32}=2^{\frac{10}{12}}\approx 1.781797436280678609480452411181</math>
|<math>440 \times 2^{\frac{10}{12}}\approx 783.9908719634985881713990609195</math>
|-
|大七度(G#<sup></sup>)
!11
|<math>\sqrt[12]{2048}=2^{\frac{11}{12}}\approx 1.8877486253633869932838263133351</math>
|<math>440 \times 2^{\frac{11}{12}}\approx 830.6093951598902770448835778670</math>
|-
|纯八度(A<sup></sup>)
!12
|<math>2^{1}=2 \,</math>
|<math>440 \times 2=880 \,</math>
|}

其中<math>\,\sqrt[12]{2}=2^{\frac{1}{12}}\approx\,</math>{{Root|2|12|use math=yes}}
:<math> \approx  \frac {18}{17} =1.05882 </math> 99 音分
:<math>\approx  \frac {107}{101}=1.05941 </math> 99.9 音分
:<math>\approx  \frac {11011}{10393}=1.05946310 </math> 100  音分

== 參考文献 ==
=== 引用 ===
{{Reflist|2}}

=== 来源 ===
* [[李約瑟]]：《中國科學技術史》第四卷第一分册
* Robert Temple：The Genius of CHINA （李約瑟《中國科學技術史》的濃縮本）
* 戴念祖：《朱载堉———明代的科学和艺术巨星》
* 程貞一 著，王翼勳 譯：《黃鐘大呂：中國古代和十六世紀聲學成就》（上海：上海科技教育出版社，2007）。
* Cho, Gene Jinsiong. (2003). The Discovery of Musical Equal Temperament in China and Europe in the Sixteenth Century. Lewiston, NY: The Edwin Mellen Press.

== 参见 ==
{{Portal box|音乐|数学|中国数学史}}
* [[十二律]]
* [[律学]]
* [[朱載堉]]

{{-}}
{{平均律}}
{{中国数学史}}

[[Category:音樂理論]]
[[category:音阶]]
[[Category:調律]]
[[Category:明朝发明]]
[[Category:中国发现]]

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