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{{expand|time=2010-11-15T07:59:59+00:00}}
[[Image:Togliatti surface.png|thumb|right|陶里亚蒂曲面是一个五阶{{tsl|en| Algebraic surface|代数曲面}}。上图代表曲面的其中一个实[[轨迹]]。]]
{{General geometry|分支}}

'''代数几何'''（{{lang-en|'''algebraic geometry'''}}）是[[数学]]的一个分支，经典代数几何研究[[多项式]]方程的零点。现代代数几何将[[抽象代数]]，尤其是[[交换代数]]，同[[几何学]]的语言和问题结合起来。

代数几何的基本研究对象为[[代数簇]]。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有[[代数曲线|平面代数曲线]]，比如[[直线]]、[[圆]]、[[椭圆]]、[[抛物线]]、[[双曲线]]、三次曲线（非奇异情形称作[[椭圆曲线]]）、四次曲线（如[[伯努利双纽线|双纽线]]，以及[[卡西尼卵形线|卵形线]]）、以及一般n次曲线。代数几何的基本问题涉及对代数簇的分类，比如考虑在双有理等价意义下的分类，即[[双有理几何]]，以及[[模空间]]问题，等等。

代数几何在现代数学占中心地位，与{{tsl|en| functions of several complex variables|多复变函数论}}、[[微分几何]]、[[拓扑学]]和[[数论]]等不同领域均有交叉。始于对代数方程组的研究，代数几何延续[[方程求解|解方程]]未竟之事；与其求出方程实在的解，代数几何尝试理解方程组的解的几何性质。代数几何的概念和技巧都催生了某些最深奥的数学的分支。

进入20世纪，代数几何的研究又衍生出几个分支：
* 研究代数簇中，坐标在[[有理数]]域或[[代数数域]]里的点；这一分支发展成[[算术几何]]（更经典地，丢番图几何），属于[[代数数论]]的分支。
* 研究代数簇的实点，即[[实代数几何]]。
* [[奇点理论]]的一大部分致力于研究代数簇中的奇异点，及关于奇异点的解消的存在性和方法。
* 代数簇的[[上同调]]理论，如晶体上同调、[[平展上同调]]、以及[http://en.wikipedia.org/wiki/Motive_(algebraic_geometry) Motive]{{Wayback|url=http://en.wikipedia.org/wiki/Motive_(algebraic_geometry) |date=20201111230506 }}上同调。
* 几何不变量理论，起始于[[戴维·芒福德]]在二十世纪六十年代的研究，其思想起源于[[大卫·希尔伯特]]的古典[[不变量理论]]。
* 随着计算机的兴起，[[计算代数几何]]作为代数几何与符号运算两支的交叉而崭露头角。这一分支本质上包含开发[[算法]]和[[软件]]与寻找显代数簇的性质这两项工作。

20世纪以来，代数几何主流的许多进展都在抽象代数的框架内进行，越发强调代数簇“内蕴的”性质，即那些不取决于代数簇在射影空间的具体嵌入方式的性质，与[[拓扑学]]、[[微分几何]]及{{tsl|en| Complex geometry|复几何}}等学科的发展相应。抽象代数几何的一大关键成就是[[亚历山大·格罗滕迪克|格罗滕迪克]]的[[概形|概形论]]；概形论允许人们应用[[层 (数学)|层论]]研究代数簇，某种意义上与应用层论研究[[微分流形]]与[[复流形|解析流形]]是否相似。概形论延伸了点的概念。在经典代数几何中，根据[[希尔伯特零点定理]]，一个仿射代数簇的一点对应于[[坐标环]]上的一个[[极大理想]]，仿射概形上的子簇则对应于坐标环的[[素理想]]。而在概型论中，概型的点集包含了经典情况代数簇的点集，以及所有子簇的信息。这种方法使得经典代数几何（主要涉及闭点）同时联系起了[[微分几何]]、[[数论]]等主流分支的问题研究。

== 基本概念 ==
=== 联立多项式的零点 ===
[[File:Slanted_circle.png|thumb|200px|right|球和倾斜的圆周]]
在古典代数几何中，主要的研究对象是一组[[多项式]]的公共零点集，即同时满足一个或多个多项式方程的所有点组成的[[集合 (数学)|集合]]。 例如，在三维欧几里德空间<math>\mathbb R^3</math>中的单位球面被定���为满足方程

:<math>x^2+y^2+z^2-1=0</math>

的所有点<math>(x,y,z)</math>的集合。

一个 "倾斜的" 圆周在三维欧几里德空间<math>\mathbb R^3</math>中可以被定义为同时满足如下两个方程

:<math>x^2+y^2+z^2-1=0</math>，
:<math>x+y+z=0</math> 

的所有点<math>(x,y,z)</math>的集合。

=== 仿射簇 ===
{{main|代数簇}}
现在我们开始进入稍微抽象的领域。考虑一个[[数域]] <math>k</math>，在古典代数几何中这个域通常是[[复数 (数学)|复数]]域<math>\mathbf{C}</math>，现在我们把它推广为一个代数封闭的数域。我们定义数域<math>k</math>上的<math>n</math>维仿射空间<math>{\mathbb A}^n_k</math>，简单讲来，它只是一些点的集合，以下为方便我们简记为<math>{\mathbb A}^n</math>。

如果函数
:<math>f:{\mathbb A}^n\to{\mathbb A}^1</math>
可以被写为多项式，即如果有多项式<math>p</math>在
:<math>k[x_1,\cdots,x_n]</math>上，
使得对<math>{\mathbb A}^n</math>上的每个点
:<math>(t_1,\cdots,t_n)</math> 
都有
:<math>f(t_1,\cdots,t_n) = p(t_1,\cdots,t_n)</math>，定义这个函数是正则的。
<math>n</math>维仿射空间的正则函数正是数域<math>k</math>上<math>n</math>个变量的多项式。我们将<math>{\mathbb A}^n</math>上的正则函数记为 <math>k[{\mathbb A}^n]</math>。
<!-- 
=== 正则函数 ===

=== 仿射簇范畴 ===

=== 射影空间 ===

== 现代的观点 ==
==與數論的關系;Hodge 結構==
== 極小模型與雙有理幾何 == 
-->

==與拓撲場論的關係==
拓撲場論是[[數學物理]]中對{{le|sigma 模型|Sigma model}}的場做[[路徑積分表述|路徑積分]][[量子化]]的理論。

sigma 模型是從一個實二維曲面到一個固定空間的映射，再加上此二維曲面上一些叢的平滑截面。其中映射部份被稱爲{{le|玻色場|bononic field}}，截面部份被稱爲[[費米場]]。該理論的主要目的是通過[[路徑積分表述|路徑積分]]計算[[配分函數]]。

在一些特殊情況下，可以用[[局部化方法]]把[[配分函數]]原在[[無限維空間]]的[[積分]]化簡爲在[[有限維空間]]的積分。對不同的[[作用量]]而言，這個過程給出了代數幾何的幾種[[計數理論]]，包括：

* [[Gromov Witten 不變量]]（即[[IIA型弦論]]）
* [[辛流形]]裡的[[全純曲線]]計數
* [[Seiberg Witten不變量]]
* [[Chern Simon 數]][[規範場]]

[[IIB型弦論]]則利用了 Hodge 結構的形變來計算。

==主要研究者==
*[[亞歷山大·格羅滕迪克]]
*[[讓-皮埃爾·塞爾]]
*[[奧斯卡·扎里斯基]]
*[[安德烈·韋伊]]
*[[米高·阿蒂亞|米高·弗朗西斯·阿蒂亞]]
*[[愛德華·威滕]]
*[[小平邦彦]]
*[[森重文]]
*[[廣中平祐]]
*[[梅村浩]]
*[[飯高茂]]
*[[斎藤秀司]]
*[[周煒良]]

== 注解 ==
{{reflist}}

== 参见 ==
* [[微分几何]]
* [[几何代数]]
* [[代數拓樸]]
* [[微分拓樸]]

== 参考书目 ==

经典教科书，先于概形:

* {{cite book
 | author = [[W. V. D. Hodge]]
 | coauthors = [[Daniel Pedoe]]
 | year = 1994
 | title = Methods of Algebraic Geometry: Volume 1
 | publisher = [[Cambridge University Press]]
 | id = ISBN 978-0-521-46900-5
}} 
* {{cite book
 | author = [[W. V. D. Hodge|Hodge, W. V. D.]]
 | coauthors = [[Daniel Pedoe|Pedoe, Daniel]]
 | year = 1994
 | title = Methods of Algebraic Geometry: Volume 2
 | publisher = [[Cambridge University Press]]
 | id = ISBN 978-0-521-46901-2
}} 
* {{cite book
 | author = [[W. V. D. Hodge|Hodge, W. V. D.]]
 | coauthors = [[Daniel Pedoe|Pedoe, Daniel]]
 | year = 1994
 | title = Methods of Algebraic Geometry: Volume 3
 | publisher = [[Cambridge University Press]]
 | id = ISBN 978-0-521-46775-9
}} 

不使用概形的语言的现代教科书:

* {{cite book
 | author = [[Phillip Griffiths]]
 | coauthors = [[Joe Harris (mathematician)|Joe Harris]]
 | year = 1994
 | title = Principles of Algebraic Geometry
 | publisher = Wiley-Interscience
 | id = ISBN 978-0-471-05059-9
}} 
* {{cite book
 | author = [[Joe Harris (mathematician)|Joe Harris]]
 | year = 1995
 | title = Algebraic Geometry: A First Course
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | id = ISBN 978-0-387-97716-4
}} 
* {{cite book
 | author = [[David Mumford]]
 | year = 1995
 | title = Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties
 | edition = 2nd ed.
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | id = ISBN 978-3-540-58657-9
}} 
* {{cite book
 | author = [[Miles Reid]]
 | year = 1988
 | title = Undergraduate Algebraic Geometry
 | url = https://archive.org/details/undergraduatealg0000reid
 | publisher = Cambridge University Press
 | id = ISBN 978-0-521-35662-6
}} 
* {{cite book
 | author = [[Igor Shafarevich]]
 | year = 1995
 | title = Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space
 | url = https://archive.org/details/basicalgebraicge00irsh
 | edition = 2nd ed.
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | id = ISBN 978-0-387-54812-8
}} 

关于概形的教科书和参考书:
* {{cite book
 | author = [[David Eisenbud]]
 | coauthors = [[Joe Harris (mathematician)|Joe Harris]]
 | year = 1998
 | title = The Geometry of Schemes
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | id = ISBN 978-0-387-98637-1
}} 
* {{cite book
 | author = [[亚历山大·格罗滕迪克]]
 | year = 1960
 | title = [[代数几何基础]]
 | publisher = Publications mathématiques de l'[[IHÉS]]
}} 
* {{cite book
 | author = [[亚历山大·格罗滕迪克]]
 | year = 1971
 | title = [[代数几何基础]]
 | volume = 1
 | edition = 2nd ed.
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | id = ISBN 978-3-540-05113-8
}} 
* {{cite book
 | author = [[Robin Hartshorne]]
 | year = 1997
 | title = [[Hartshorne's Algebraic Geometry|Algebraic Geometry]]
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | id = ISBN 978-0-387-90244-9
}} 
* {{cite book
 | author = [[David Mumford]]
 | year = 1999
 | title = The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians
 | url = https://archive.org/details/redbookofvarieti0002mumf
 | edition = 2nd ed.
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | id = ISBN 978-3-540-63293-1
}} 
* {{cite book
 | author = [[Igor Shafarevich]]
 | year = 1995
 | title = Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds
 | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
 | id = ISBN 978-0-387-54812-8
}} 

互联网上的资料:

* Kevin R. Coombes: [https://web.archive.org/web/20080210201054/http://odin.mdacc.tmc.edu/~krc/agathos/ ''Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System'']
* [https://web.archive.org/web/20040415021548/http://planetmath.org/encyclopedia/AlgebraicGeometry.html ''Algebraic geometry'']entry on [http://planetmath.org/ PlanetMath]{{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/AlgebraicGeometry.html |date=20040415021548 }}
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ae.htm ''Algebraic Equations and Systems of Algebraic Equations'']{{Wayback|url=http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ae.htm |date=20200228061819 }} at EqWorld: The World of Mathematical Equations

{{几何术语}}
{{数学主要领域}}

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