彈性力學

彈性力學 (Theory of Elasticity)，也叫彈性理論，是固體力學个一隻分支，研究彈性體因為受到外力作用、邊界約束或溫度改變咾啥个原因發生个應力、應變、位移問題。

彈性力學是力學學科个一隻重點，是塑性力學、計算力學搭仔其他交叉學科个基礎。

作用拉物體丄个外力可分成功體積力（body force）搭仔表面力 （surface force）。體積力是作用拉物體內部體積丄个外力，簡稱體力，譬如重力、慣性力、電磁力咾啥个。表面力是作用拉物體表面丄个外力，簡稱面力，譬如流體壓力、接觸力等。

彈性體是一種特殊个變形體，伊个特徵是：外力作用下頭，物體變形，當外力弗超過某一限度个辰光，去脫外力以後物體會得恢復原狀樣。去脫外力以後，物體个殘餘變形咾小个辰光，一般性會得拿伊看成功彈性體。

1. 連續性：假定物體是連續个，也就是整個物體个體積儕被組成箇個物體个介質填沒脫，嘸沒任何空隙，勒拉整个變形過程當中保持伊个連續性。
2. 完全彈性：假定物體是完全彈性个，也就是物體勒拉去除脫引起形變个外力以後會得完全恢復伊一開始个形狀搭仔尺寸，物體个形變同其所受个外力有一一對應个函數關係。
3. 均勻性：假定物體是均勻个，也就是整個物體个所有部分儕具有相同个彈性性質。
4. 各向同性：既定物體是各向同性個，也就是物體个彈性性質勒拉所有个方向儕一式一樣，同考察方向嘸沒任何關係。
5. 小變形：假定物體受力以後个位移同形變是微小个，整個物體所有个點个位移儕遠比物體本生个尺寸小，而且應變同轉角儕遠小於1。
6. 無初應力：假定物體勒拉弗受外力或者溫度變化咾啥个作用之前，伊里向沒應力。

符合上述前4項假定个物體叫理想彈性體，是彈性力學个主要研究對象。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+X=0\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+Y=0\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+Z=0\\\end{aligned}}}$ ^[1]

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+{\boldsymbol {f}}={\boldsymbol {0}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad \gamma _{yz}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)\\\epsilon _{y}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad \gamma _{zx}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)\\\epsilon _{z}={\frac {\partial w}{\partial z}},\quad \gamma _{xy}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\\\end{aligned}}}$ ^[2]

${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {u}}\nabla +\nabla {\boldsymbol {u}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{x}-\nu \left(\sigma _{y}+\sigma _{z}\right)\right],\quad \gamma _{yz}={\frac {1}{G}}\tau _{yz}\\\epsilon _{y}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{y}-\nu \left(\sigma _{z}+\sigma _{x}\right)\right],\quad \gamma _{zx}={\frac {1}{G}}\tau _{zx}\\\epsilon _{z}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{z}-\nu \left(\sigma _{x}+\sigma _{y}\right)\right],\quad \gamma _{xy}={\frac {1}{G}}\tau _{xy}\\\end{aligned}}}$^[3]

${\displaystyle \sigma _{z}=\tau _{zx}=\tau _{zy}=0}$ ^[4]

${\displaystyle \epsilon _{z}=\gamma _{zx}=\gamma _{zy}=0}$ ^[5]

• 胡克定律
• 材料力學
• 結構力學
• 有限單元法