sh , ch та th
Гіперболі́чні фу́нкції — сімейство елементарних функцій , які виражаються через експоненту і тісно пов'язані з тригонометричними функціями .
Визначення гіперболічних функцій через гіперболу Гіперболічні функції задаються такими формулами:
s
h
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \mathop {\mathrm {sh} } \,x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
(в іноземній літературі позначається
sinh
x
{\displaystyle \sinh x}
).
Існує сленгова назва: «шинус».
c
h
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \mathop {\mathrm {ch} } \,x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
(в іноземній літературі позначається
cosh
x
{\displaystyle \cosh x}
).
Існує сленгова назва: «чосинус», «кошинус».
Лінію гіперболічного косинуса називають ланцюговою , бо саме таку форму приймає ланцюг або мотузка, яку підвісили за обидва кінці в однорідному гравітаційному полі.
t
h
x
=
s
h
x
c
h
x
{\displaystyle \mathop {\mathrm {th} } \,x={\frac {\mathop {\mathrm {sh} } \,x}{\mathop {\mathrm {ch} } \,x}}}
(в іноземній літературі позначається
tanh
x
{\displaystyle \tanh x}
).
Існують сленгові назви: «щангенс», «цангенс».
Іноді також визначається
c
t
h
x
=
1
t
h
x
{\displaystyle \mathop {\mathrm {cth} } \,x={\frac {1}{\mathop {\mathrm {th} } \,x}}}
,
гіперболічні секанс і косеканс :
s
e
c
h
x
=
1
c
h
x
{\displaystyle \mathop {\mathrm {sech} } \,x={\frac {1}{\mathop {\mathrm {ch} } \,x}}}
,
c
s
c
h
x
=
1
s
h
x
{\displaystyle \mathop {\mathrm {csch} } \,x={\frac {1}{\mathop {\mathrm {sh} } \,x}}}
.
Один зі способів визначення тригонометричних функцій через одиничне коло
Гіперболічні функції виражаються через тригонометричні функції від уявного аргументу.
sh
x
=
−
i
sin
(
i
x
)
,
ch
x
=
cos
(
i
x
)
,
th
x
=
−
i
tg
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatorname {ch} x=\cos(ix),\quad \operatorname {th} x=-i\operatorname {tg} (ix)}
.
sh
(
i
x
)
=
i
sin
x
,
ch
(
i
x
)
=
cos
x
,
th
(
i
x
)
=
i
tg
x
{\displaystyle \operatorname {sh} (ix)=i\operatorname {sin} x,\quad \operatorname {ch} (ix)=\cos x,\quad \operatorname {th} (ix)=i\operatorname {tg} x}
.
Функція Гудермана зв'язує тригонометричні функції та гіперболічні функції без залучення комплексних чисел .
ch
2
x
−
sh
2
x
=
1
{\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1}
.
Парність :
sh
(
−
x
)
=
−
sh
x
{\displaystyle \operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x}
,
ch
(
−
x
)
=
ch
x
{\displaystyle \operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x}
,
th
(
−
x
)
=
−
th
x
{\displaystyle \operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x}
.
Формули додавання:
sh
(
x
±
y
)
=
sh
x
ch
y
±
sh
y
ch
x
{\displaystyle \operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x}
,
ch
(
x
±
y
)
=
ch
x
ch
y
±
sh
y
sh
x
{\displaystyle \operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x}
,
th
(
x
±
y
)
=
th
x
±
th
y
1
±
th
x
th
y
{\displaystyle \operatorname {th} (x\pm y)={\frac {\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y}{1\pm \operatorname {th} x\operatorname {th} y}}}
.
Формули подвоєного кута:
sh
2
x
=
2
ch
x
sh
x
=
2
th
x
1
−
th
2
x
{\displaystyle \operatorname {sh} 2x=2\operatorname {ch} x\,\operatorname {sh} x={\frac {2\,\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}}
,
ch
2
x
=
ch
2
x
+
sh
2
x
=
2
ch
2
x
−
1
=
1
+
2
sh
2
x
=
1
+
th
2
x
1
−
th
2
x
{\displaystyle \operatorname {ch} 2x=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\operatorname {ch} ^{2}x-1=1+2\operatorname {sh} ^{2}x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}}
,
th
2
x
=
2
th
x
1
+
th
2
x
{\displaystyle \operatorname {th} 2x={\frac {2\operatorname {th} x}{1+\operatorname {th} ^{2}x}}}
,
cth
2
x
=
1
2
(
th
x
+
cth
x
)
{\displaystyle \operatorname {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operatorname {th} x+\operatorname {cth} x)}
,
th
x
=
ch
2
x
−
1
sh
2
x
=
sh
2
x
1
+
ch
2
x
{\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {ch} 2x-1}{\operatorname {sh} 2x}}={\frac {\operatorname {sh} 2x}{1+\operatorname {ch} 2x}}}
,
ch
2
x
±
sh
2
x
=
(
sh
x
±
ch
x
)
2
{\displaystyle \operatorname {ch} 2x\pm \operatorname {sh} 2x=(\operatorname {sh} x\pm \operatorname {ch} x)^{2}}
.
Формули кратних кутів:
sh
3
x
=
4
sh
3
x
+
3
sh
x
{\displaystyle \operatorname {sh} 3x=4\operatorname {sh} ^{3}x+3\operatorname {sh} x}
,
ch
3
x
=
4
ch
3
x
−
3
ch
x
{\displaystyle \operatorname {ch} 3x=4\operatorname {ch} ^{3}x-3\operatorname {ch} x}
,
th
3
x
=
th
x
3
+
th
2
x
1
+
3
th
2
x
{\displaystyle \operatorname {th} 3x=\operatorname {th} x{\frac {3+\operatorname {th} ^{2}x}{1+3\operatorname {th} ^{2}x}}}
,
sh
5
x
=
16
sh
5
x
+
20
sh
3
x
+
5
sh
x
{\displaystyle \operatorname {sh} 5x=16\operatorname {sh} ^{5}x+20\operatorname {sh} ^{3}x+5\operatorname {sh} x}
,
ch
5
x
=
16
ch
5
x
−
20
ch
3
x
+
5
ch
x
{\displaystyle \operatorname {ch} 5x=16\operatorname {ch} ^{5}x-20\operatorname {ch} ^{3}x+5\operatorname {ch} x}
,
th
5
x
=
th
x
th
4
x
+
10
th
2
x
+
5
5
th
4
x
+
10
th
2
x
+
1
{\displaystyle \operatorname {th} 5x=\operatorname {th} x{\frac {\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+5}{5\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+1}}}
.
Добуток
sh
x
sh
y
=
ch
(
x
+
y
)
−
ch
(
x
−
y
)
2
{\displaystyle \operatorname {sh} x\operatorname {sh} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{2}}}
,
sh
x
ch
y
=
sh
(
x
+
y
)
+
sh
(
x
−
y
)
2
{\displaystyle \operatorname {sh} x\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {sh} (x+y)+\operatorname {sh} (x-y)}{2}}}
,
ch
x
ch
y
=
ch
(
x
+
y
)
+
ch
(
x
−
y
)
2
{\displaystyle \operatorname {ch} x\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}{2}}}
,
th
x
th
y
=
ch
(
x
+
y
)
−
ch
(
x
−
y
)
ch
(
x
+
y
)
+
ch
(
x
−
y
)
{\displaystyle \operatorname {th} x\operatorname {th} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}}}
.
Суми
sh
x
±
sh
y
=
2
sh
x
±
y
2
ch
x
∓
y
2
{\displaystyle \operatorname {sh} x\pm \operatorname {sh} y=2\operatorname {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x\mp y}{2}}}
,
ch
x
+
ch
y
=
2
ch
x
+
y
2
ch
x
−
y
2
{\displaystyle \operatorname {ch} x+\operatorname {ch} y=2\operatorname {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x-y}{2}}}
,
ch
x
−
ch
y
=
2
sh
x
+
y
2
sh
x
−
y
2
{\displaystyle \operatorname {ch} x-\operatorname {ch} y=2\operatorname {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {sh} {\frac {x-y}{2}}}
,
th
x
±
th
y
=
sh
x
±
y
ch
x
ch
y
{\displaystyle \operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y={\frac {\operatorname {sh} x\pm y}{\operatorname {ch} x\operatorname {ch} y}}}
.
Формули пониження степеня
ch
2
x
2
=
ch
x
+
1
2
{\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}}
,
sh
2
x
2
=
ch
x
−
1
2
{\displaystyle \operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}}
.
Похідні:
(
sh
x
)
′
=
ch
x
{\displaystyle (\operatorname {sh} x)^{\prime }=\operatorname {ch} x}
,
(
ch
x
)
′
=
sh
x
{\displaystyle (\operatorname {ch} x)^{\prime }=\operatorname {sh} x}
,
(
th
x
)
′
=
1
ch
2
x
{\displaystyle (\operatorname {th} x)^{\prime }={\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}}
,
sh
x
=
∫
0
x
ch
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operatorname {ch} tdt}
,
ch
x
=
1
+
∫
0
x
sh
t
d
t
{\displaystyle \operatorname {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operatorname {sh} tdt}
,
th
x
=
∫
0
x
d
t
ch
2
t
{\displaystyle \operatorname {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operatorname {ch} ^{2}t}}}
.
Інтеграли:
∫
sh
x
d
x
=
ch
x
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C}
,
∫
ch
x
d
x
=
sh
x
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C}
,
∫
th
x
d
x
=
ln
ch
x
+
C
{\displaystyle \int \operatorname {th} x\,dx=\ln \operatorname {ch} x+C}
,
∫
1
ch
2
x
d
x
=
th
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatorname {th} x+C}
,
∫
1
sh
2
x
d
x
=
−
cth
x
+
C
{\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operatorname {cth} x+C}
.
Дивись також: Таблиця інтегралів гіперболічних функцій , Таблиця інтегралів обернених гіперболічних функцій
При всіх
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
виконується
0
≤
ch
x
−
1
≤
|
sh
x
|
<
ch
x
{\displaystyle 0\leq \operatorname {ch} x-1\leq |\operatorname {sh} x|<\operatorname {ch} x}
,
|
th
x
|
<
1
{\displaystyle |\operatorname {th} x|<1}
.
sh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
…
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
,
ch
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
…
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
,
th
x
=
x
−
x
3
3
+
2
x
5
15
−
17
x
7
315
+
…
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}}
,
cth
x
=
1
x
+
x
3
−
x
3
45
+
2
x
5
945
+
…
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi }
(Ряд Лорана ).
Тут
B
2
n
{\displaystyle B_{2n}}
— числа Бернуллі .
sh(x) , ch(x) , th(x) , cth(x)
Гіперболічний синус і гіперболічний косинус аналітичний у всій комплексній площині, за винятком істотно особливої точки на нескінченності. Гіперболічний тангенс аналітичний скрізь, окрім полюсів в точках
z
=
i
π
(
n
+
1
2
)
{\displaystyle z=i\pi (n+{\tfrac {1}{2}})}
, де
n
{\displaystyle n}
— ціле. Лишки у всіх цих полюсах рівні одиниці. Гіперболічний котангенс аналітичний скрізь, окрім точок
z
=
i
π
n
{\displaystyle z=i\pi n}
, лишки в цих полюсах також рівні одиниці.