Спряжені числа

Спря́женими числами (також комплексно-спря́женими числами) називаються два комплексні числа, які мають таку саму дійсну частину та протилежні за знаком уявні частини^[1]. Наприклад, спряженими є числа 3 + 4i та 3 − 4i. Число спряжене до числа ${\displaystyle z\!}$ позначається ${\displaystyle {\overline {z}}}$. У загальному випадку, спряженим до числа ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z=a+ib,\,}$

де ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ — дійсні числа, є

${\displaystyle {\overline {z}}=a-ib.\,}$

Наприклад,

${\displaystyle {\overline {(3-2i)}}=3+2i}$

${\displaystyle {\overline {7}}=7}$

${\displaystyle {\overline {i}}=-i.}$

На комплексній площині спряжені числа представлені точками, симетричними відносно дійсної осі. У полярній системі координат спряжені числа мають вигляд ${\displaystyle re^{i\phi }}$ та ${\displaystyle re^{-i\phi }}$, що безпосередньо випливає з формули Ейлера.

Спряженими числами є корені квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами та від'ємним дискримінантом.

Для довільних комплексних чисел ${\displaystyle z}$ та ${\displaystyle w}$:

• ${\displaystyle {\overline {(z\pm w)}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}\!\ }$

• ${\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\ }$

• ${\displaystyle {\overline {z}}=z\Leftrightarrow z}$ є дійсним числом

• ${\displaystyle {\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}}$ для всіх цілих ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$

• ${\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z}$

• ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z\!\ }$, (тобто, спряження є інволюцією)

• ${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}}$, якщо z не дорівнює нулю. За допомогою цієї властивості обчислюють обернене комплексного числа заданого у прямокутних координатах.

• Якщо ${\displaystyle \phi \,}$ є голоморфною функцією, звуження якої на множину дійсних чисел є дійсною функцією, та визначено ${\displaystyle \phi (z)\,}$, то

${\displaystyle \phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}.\,\!}$

Зокрема:

• ${\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}\,\!}$
• ${\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}\,\!}$, якщо z не дорівнює нулю.
• Якщо ${\displaystyle p}$ — поліном з дійсними коефіцієнтами і ${\displaystyle p(z)=0\!\,}$, то також ${\displaystyle p({\overline {z}})=0}$. Отже, комплексні (не дійсні) корені таких поліномів завжди утворюють комплексно-спряжені пари.

Прямокутні та полярні координати комплексного числа можуть бути визначені за допомогою формул:

• ${\displaystyle x=\operatorname {Re} \,(z)=(z+{\overline {z}})/2}$
• ${\displaystyle y=\operatorname {Im} \,(z)=(z-{\overline {z}})/2i}$
• ${\displaystyle \rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}}$
• ${\displaystyle e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z}}}}}$ (якщо z не дорівнює нулю).

• Ермітово-спряжена матриця

Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (квітень 2020)

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.