Стільник (геометрія)

Стільник
Досліджується в	стереометрія
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Стільник у Вікісховищі

В геометрії стільник — це заповнення простору многогранниками, що не перетинаються, при якому не залишається незаповненого простору. Це узагальнення математичного поняття мозаїка або паркет на будь-яку розмірність.

Стільники зазвичай розглядаються у звичайному евклідовому (плоскому) просторі. Їх можна також побудувати в неевклідових просторах, наприклад, гіперболічний стільник. Будь-який скінченний однорідний многогранник можна спроєктувати на його описану сферу, що дасть однорідний стільник у сферичному просторі.

Існує нескінченно багато стільників і вони можуть бути класифіковані лише частково. Найбільш правильні мозаїки отримують найбільший інтерес, хоча багатий і широкий набір інших мозаїк відкривається знову і знову.

Найпростіші стільники формуються з шарів призм, побудованих з паркетів на площині. Зокрема, копії будь-якого паралелепіпеда можуть заповнити простір, при цьому кубічний стільник^[en] є спеціальним випадком, оскільки тільки він утворює правильний стільник у звичайному (евклідовому) просторі. Іншим цікавим прикладом є тетраедр Гілла^[en] і його узагальнення, які також утворюють мозаїку в просторі.

Тривимірний однорідний стільник — це стільник у тривимірному просторі, складений з однорідних многогранників, що мають однакові вершини (тобто група ізометрій тривимірного простору, що зберігає мозаїку, є транзитивною на вершинах). Існує 28 прикладів опуклих мозаїк у тривимірному евклідовому просторі^[1], званих також архімедовими стільниками^[en].

Стільник називають правильним, якщо група ізометрій, що зберігає мозаїку, діє транзитивно на прапори, де прапор — це вершина, яка лежить на ребрі, яке належить грані (всі разом). Будь-який правильний стільник є автоматично однорідним. Однак існує всього один вид правильних стільників у тривимірному евклідовому просторі — кубічний стільник. Двоє стільників є квазіправильними (зробленими з двох типів правильних комірок):

Тип	Кубічний стільник	Квазіправильний стільник
Комірки	Кубічні	Октаедричні і тетраедричні
Шар

Тетраедрично-октаедричний стільник^[en] і повернутий тетраедрично-октаедричний стільник складаються з шарів, утворених 3-ма або 2-ма положеннями тетраедрів і октаедрів. Нескінченне число унікальних стільників можна отримати шляхом різного чергування цих шарів.

Про тривимірний стільник, всі комірки якого ідентичні, включно з симетрією, кажуть як про комірково-транзитивний або ізохорний. Про комірку такого стільника кажуть як про многогранник, що заповнює простір^[2].

Тільки п'ять многогранників, що заповнюють простір, можуть заповнити 3-мірний евклідів простір з використанням тільки паралельного перенесення. Їх називають параллелогранниками^[en]:

1. Кубічний стільник (або варіації: прямокутний паралелепіпед, ромбічний шестигранник або паралелепіпед);
2. Шестикутний призматичний стільник^[en][3];
3. Ромбододекаедричний стільник^[en];
4. Подовжений додекаедричний стільник^[en][4];
5. Стільник з глибокозрізаних кубів^[en][5].

Кубічний стільник	Шестикутний призматичний стільник	Ромбододекаедричний стільник	Подовжений ромбододекаедричний стільник	Стільник з глибокозрізаних кубів
Куб(паралелепіпед)	Шестикутна призма	Ромбододекаедр	Подовжений додекаедр[en]	Зрізаний октаедр
3 довжини ребер	3+1 довжини ребер	4 довжини ребер	4+1 довжин ребер	6 довжин ребер

Інші відомі приклади:

• Трикутний призматичний стільник^[ru].
• Однорідний повернутий трикутний призматичний стільник
• Зрізаний триакістетраедричний стільник^[en]. Комірки мозаїки Вороного атомів вуглецю в алмазі мають такий вигляд^[6].
• Трапецеїдально-ромбічний додекаедричний стільник^[en][7].
• Прості ізоедричні мозаїки^[8].

Іноді два^[9] і більше різних многогранники можна скомбінувати, щоб заповнити простір. Добре відомим прикладом слугує структура Вейра — Фелана^[en], запозичена зі структури кристалів клатратного гідрату ^[10].

Структура Вейра — -Фелана (з двома типами комірок)

• Неопуклі комірки, впаковані без накладання, аналогічно мозаїкам з увігнутих багатокутників. Вони включають пакування^[en] малих зірчастих ромбічних додекаедрів, як в кубі Йошімото^[en].
• Мозаїки з накладенням комірок, за якого додатні і від'ємні щільності «знищуються» з утворенням однорідного за щільністю континууму, аналогічно мозаїкам з накладенням на площині.

У тривимірному гіперболічному просторі двогранний кут многогранника залежить від розміру многогранника. Правильні гіперболічні стільники включають два види з чотирма або п'ятьма додекаедрами, які мають спільні ребра. Їхні двогранні кути тоді будуть π/2 2π/5, обидва менші, ніж у евклідового додекаедра. За винятком цього ефекту гіперболічні стільники відповідають тим самим вимогам, що й евклідові стільники і многогранники.

Досліджено 4 види компактних правильних гіперболічних стільників^[ru] і багато однорідних гіперболічних стільників^[en].

Для будь-якого стільника є двоїсті стільники, які можуть бути отримані обміном:

• комірок на вершини;
• граней на ребра.

Для правильних стільників:

• Кубічний стільник самодвоїстий.
• Стільники, що складаються з октаэдрів і тетраедрів, двоїсті стільникам з ромбічних додекаедрів.
• Шаруваті стільники, отримані з однорідних плоских мозаїк, двоїсті таким самим, отриманим з двоїстих мозаїк.
• Двоїсті стільники до інших архімедових стільників є комірко-транзитивними і описані в статті Інчбальда^[11].

Стільники можуть бути самодвоїстими^[ru]. Всі n-вимірні гіперкубічні стільники^[ru] з символами Шлефлі {4,3^n-2,4} самодвоїсті.

• Список однорідних евклідових мозаїк^[en]
• Правильні стільники^[en]

• H. S. M Coxeter. Chapter 8: Truncation // Regular Polytopes^[en]. — 3rd edition. — New York : Dover Publications Inc., 1973. — С. 145–154. — ISBN 0-486-61480-8.
• Williams, R. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York : Dover Publications, 1979. — С. 164—199.
• K. Critchlow. Order in space. — New York : Thames & Hudson Inc., 1997. — ISBN 0-500-34033-1.
• Branko Grünbaum. Uniform tilings of 3-space // Geombinatorics. — 1994. — Вип. 4(2).
• P. Pearce. Structure in nature is a strategy for design. — Cambridge, Massachusetts, London : MIT press, 1978.
• Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. A new program for optimizing periodic boundary models of solvated biomolecules (PBCAID). // Journal of Computational Chemistry. — 2001. — Т. 22, вип. 15.
• O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with <16 faces // Acta Cryst. — 2005. — Вип. A61.
• Linus Pauling. The Nature of the Chemical Bond. — Cornell University Press, 1960. — ISBN 0-8014-0333-2.
• G. Inchbald. The Archimedean Honeycomb duals // The Mathematical Gazette. — 1997. — Вип. 81, July.

• Glossary For Hyperspace
• Five space-filling polyhedra, Guy Inchbald
• The Archimedean honeycomb duals, Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80, November 1996, p.p. 466—475.
• Raumfueller (Space filling polyhedra) by T.E. Dorozinski