Перегляд вихідного коду сторінки Ланцюговий дріб

У Вас нема дозволу на редагування цієї сторінки з такої причини:

Ваша IP-адреса знаходиться в діапазоні, який заблоковано у всіх вікі Фонду Вікімедіа.

Блокування зроблено ‪EPIC‬. Причиною вказано Open proxy/Webhost: See the help page if you are affected.

Початок блокування: 08:48, 2 липня 2024
Закінчення блокування: 08:48, 2 липня 2025

Ваша поточна IP-адреса: 206.189.44.186. Заблокований діапазон — 206.189.32.0/20.

Будь ласка, додайте всі вказані подробиці до будь-яких запитів, які Ви будете робити. Якщо ви вважаєте, що вас заблокували помилково, ви можете знайти додаткову інформацію та інструкції в глобальній політиці Без відкритих проксі.

В іншому випадку, щоб обговорити блокування, будь ласка, опублікуйте запит на розгляд на Мета-вікі. Ви також можете надіслати електронний лист до VRT-черги стюардів за адресою stewards@wikimedia.org, вказавши усю вищезазначену інформацію.

Ви можете переглянути та скопіювати вихідний текст цієї сторінки:

'''Ланцюго́вий дріб''' (або '''неперервний дріб''')&nbsp;— це [[Вираз (математика)|математичний вираз]] виду
: <math>[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;</math>
де ''a''<sub>0</sub> є [[ціле число]], а всі інші ''a''<sub>''n''</sub> є [[натуральне число|натуральними числами]]. Узагальненими ланцюговими дробами називають вирази виду:
<center><math>a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\dots}}}</math></center>
Будь-яке [[дійсне число]] може бути представлене ланцюговим дробом. Число представляється скінченним ланцюговим дробом [[тоді й лише тоді]], коли воно [[раціональні числа|раціональне]].

== Розклад в ланцюговий дріб ==
Будь-яке дійсне число <math>x</math> може бути представлене ланцюговим дробом <math>[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots]</math>, де
: <math>a_0 = \lfloor x \rfloor, x_0 = x - a_0,</math>
: <math>a_1 = \left\lfloor \frac{1}{x_0} \right\rfloor, x_1 = \frac{1}{x_0} - a_1,</math>
: <math>\dots</math>
: <math>a_n = \left\lfloor \frac{1}{x_{n-1}} \right\rfloor, x_n = \frac{1}{x_{n-1}} - a_n,</math>
: <math>\dots</math>

де <math>\lfloor x \rfloor</math> позначає цілу частину числа <math>x</math>.

Для раціонального числа <math>x</math> цей розклад завершиться після одержання нульового <math>x_n</math> для деякого ''n''. У цьому випадку <math>x</math> представляється скінченним ланцюговим дробом <math>x = [a_0; a_1, \cdots, a_n]</math>.

Для [[ірраціональні числа|ірраціонального]] <math>x</math> всі величини <math>x_n</math> будуть ненульовими, і процес розкладу можна продовжувати нескінченно.

Приклад обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245 подано в таблиці.

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="none"
|-
! colspan="5" |'''Обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245'''
|-
|<math>3\,</math>
|<math>3.245\ \left(3 \tfrac{49}{200}\right) - 3\,</math>
|<math>= 0.245\ \left(\tfrac{49}{200}\right)\,</math>
|<math>1 / 0.245\ \left(\tfrac{200}{49}\right)\,</math>
|<math>= 4.082\ \left(4 \tfrac{4}{49}\right)\,</math>
|-
|<math>4\,</math>
|<math>4.082\ \left(4 \tfrac{4}{49}\right)- 4\,</math>
|<math>= 0.082\ \left(\tfrac{4}{49}\right)\,</math>
|<math>1 / 0.082\ \left(\tfrac{49}{4}\right)\,</math>
|<math>= 12.250\ \left(12 \tfrac{1}{4}\right)\,</math>
|-
|<math>12\,</math>
|<math>12.250\ \left(12 \tfrac{1}{4}\right)- 12\,</math>
|<math>= 0.250\ \left(\tfrac{1}{4}\right)\,</math>
|<math>1 / 0.250\ \left(\tfrac{4}{1}\right)\,</math>
|<math>= 4.000\,</math>
|-
|<math>4\,</math>
|<math>4.000 - 4\,</math>
|<math>= 0.000\,</math>
|'''STOP'''
|
|-
! colspan="5" | ланцюговий дріб для числа 3,245 рівний [3; 4, 12, 4]
|-
! colspan="5" | <math> 3.245 = 3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{12 + \cfrac{1}{4}}} </math>
|}

== Приклади розкладу ==
*: <math>
\pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots]
</math>
якщо, проте, використовувати узагальнені ланцюгові дроби то отримаємо певні закономірності:
<math>
\pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\cfrac{11^2}{6+\cfrac{13^2}{6+\cfrac{15^2}{6+\ddots}}}}}}}}
\ =\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\cfrac{5^2}{11+\cfrac{6^2}{13+\cfrac{7^2}{15+\ddots}}}}}}}}
</math>

*: <math>e = \exp(1) = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, \dots] \,\!.</math>

Якщо ''n'' ціле число більше одиниці,

*: <math>\exp(1/n) = [1; n-1, 1, 1, 3n-1, 1, 1, 5n-1, 1, 1, 7n-1, 1, 1, \dots] \,\!.</math>
Якщо також ''n'' парне:

*: <math> \exp(2/n) = [1; (n-1)/2, 6n, (5n-1)/2, 1, 1, \dots, 3nk+(n-1)/2, 6n(2k+1), 3nk+(5n-1)/2, 1, 1, \dots ] \,\!</math>

при ''n'' = 1:

*: <math>e^2 = \exp(2) = [7; 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6, 30, 8, 1, 1, 9, 42, 11, 1, 1, \dots, 3k, 12k+6, 3k+2, 1, 1, \dots] \,\!.</math>

*: <math>\tanh(1/n) = [0; n, 3n, 5n, 7n, 9n, 11n, 13n, 15n, 17n, 19n, \dots] \,\!</math>

якщо ''n'' додатне число; також

*: <math>\tan(1) = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, \dots]\,\!</math>

якщо ''n''&nbsp;>&nbsp;1,

*: <math>\tan(1/n) = [0; n-1, 1, 3n-2, 1, 5n-2, 1, 7n-2, 1, \dots]\,\!.</math>

== Властивості ==

* Будь-яке раціональне число може бути представлене в виді скінченного ланцюгового дробу двома способами, більш довгий з яких завжди закінчується одиницею, а коротший відрізняється від нього тим, що останньої одиниці немає, а елемент перед одиницею на 1 більший. Наприклад:
:: <math> 9/4=[2; 3, 1] = [2; 4]\;</math>
* '''Теорема Лагранжа''': Число можна подати у вигляді нескінченного періодичного лінійного дробу тоді й лише тоді коли воно є ірраціональним розв'язком [[Квадратне рівняння|квадратного рівняння]] з цілими коефіцієнтами.
: Наприклад:
:: <math>\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, 2, \dots]</math>
:: [[золотий поділ]] <math>\phi = [1;1,1,1,\dots]</math>
* Для інших&nbsp;— не квадратичних&nbsp;— [[алгебраїчне число|алгебраїчних чисел]] характер розкладу не відомий.
* Для майже всіх дійсних чисел ''x'' середнє геометричне коефіцієнтів розкладу числа в ланцюговий дріб рівний константі Хінчіна (K ≈ 2,6854520010…)

''n''-м '''наближеним дробом''' для ланцюгового дробу <math>x=[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots]</math>, називається скінченний ланцюговий дріб <math>[a_0; a_1, \cdots, a_n]</math>, значення якого можна подати <math>\frac{p_n}{q_n}</math>.

* Парні наближені дроби утворюють зростаючу [[послідовність]], а непарні&nbsp;— спадну. Обидві послідовності [[збіжна послідовність|збігаються]] до ''x.''
* Виконуються наступні [[рекурентні співвідношення]]:
: <math>p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2};</math>
: <math>q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2}.</math>
*: <math>p_n q_{n-1} - q_n p_{n-1} = (-1)^{n-1},</math>
*: <math>\left|x - \frac{p_n}{q_n}\right| < \frac{1}{q_n^2}.</math>
Звідси випливає наступне твердження:
* наближений дріб <math>\frac{p_n}{q_n}</math> є найкращим наближенням для <math>x</math> серед всіх дробів, [[знаменник]] яких не перевищує <math>q_n</math>;

== Застосування ==
* при розробці [[Сонячний календар|сонячного календаря]] необхідно знайти раціональне наближення для числа 365,2421988… За допомогою ланцюгових дробів одержується послідовність:
: <math>\frac{1}{4}; \frac{7}{29}; \frac{8}{33}; \frac{31}{128}; \frac{132}{545} \cdots</math>
Перший з цих дробів є основою [[юліанський календар|юліанського календаря.]]
* Доведення ірраціональності чисел. Наприклад, за допомогою ланцюгових дробів доведена ірраціональність [[дзета-функція Рімана|дзета-функції Рімана]] <math>\zeta(3)</math> числа пі.
* Алгоритми [[факторизація|факторизації]] [[SQUFOF]] и [[CFRAC]].
* Характеристика ортогональних многочленів
* Характеристика стабільних многочленів
* [[Алгоритм Ланцоша]] використовує ланцюгові дроби для [[Алгоритм обчислення власних значень|обчислення власних значень]] великих розріджених матриць.

{{Див. також|Гіпотеза Заремби}}

== Див. також ==
* [[Обмежені неповні частки]]

== Джерела ==
* {{Дрозд.Теорія алгебричних чисел}}
* {{книга |автор=В. И. Арнольд |назва=Цепные дроби |серія=Библиотека «Математическое просвещение» |видавництво=МЦНМО |місто=М. |том=14 |рік=2000 |сторінок=40 |посилання=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.14.pdf}}
* {{книга |автор=А. А. Бухштаб |назва=Теория чисел |место=М. |видавництво=Просвещение |рік=1966 |сторінок=384 |посилання=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Buhshtab1966ru.djvu}}
* {{книга |автор=И. М. Виноградов |назва=Основы теории чисел |место=М.-Л. |видавництво=Гос. изд. технико-теоретической литературы |рік=1952 |сторінок=180 |посилання=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov1972ru.djvu}}
* {{книга |автор=С. Н. Гладковский |назва=Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1 |место=Незлобная |издательство= |рік=2009 |сторінок=138 |посилання=http://sngladrjvskii.narod.ru/AnalizUPCDp1/Kn1p1ed23.djvu}}
* {{книга |автор=И. Я. Депман |назва=История арифметики. Пособие для учителей |видавництво=Просвещение |место=М. |рік=1965 |сторінки=253—254 |посилання=http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/depman.htm}}
* {{книга |автор=Г. Дэвенпорт |назва=Высшая Арифметика |місто=М. |видавництво=Наука |рік=1965 |посилання=http://ega-math.narod.ru/Books/Daven2.htm}}
* {{книга |автор=С. В. Сизый |назва=Лекции по теории чисел |місто=Екатеринбург |видавництво=Уральский государственный университет им. А. М. Горького |рік=1999 |посилання=http://virlib.eunnet.net/books/numbers/}}
* {{книга |автор=А. Я. Хинчин |назва=Цепные дроби |місто=М. |видавництво=ГИФМЛ |рік=1960 |посилання=http://ilib.mccme.ru/djvu/hinchin-cep-dr.htm}}
* ''Claude Brezinski''. [https://www.bookdepository.com/History-Continued-Fractions-Pade-Approximants-C-Brezinski/9783540152866 History of continued fractions and Padé approximants] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190622205843/https://www.bookdepository.com/History-Continued-Fractions-Pade-Approximants-C-Brezinski/9783540152866 |date=22 червня 2019 }}. Berlin: Springer-Verlag; 1991.&nbsp;— VIII + 551 pages. / [https://www.springer.com/gp/book/9783540152866 Chapter 4] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190622205840/https://www.springer.com/gp/book/9783540152866 |date=22 червня 2019 }}. Golden Age. Pages 97-140.
* ''G. Blanch''. [https://www.jstor.org/stable/2027965?seq=1#page_scan_tab_contents Numerical Evaluation of Continued Fractions] / SIAM Review, Vol. 6, No. 4, Oct. 1964, pp. 383—421
* ''J. Widž''. [https://www.mff.cuni.cz/veda/konference/wds/proc/pdf09/WDS09_131_m8_Widz.pdf From the History of Continued Fractions] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190622205848/https://www.mff.cuni.cz/veda/konference/wds/proc/pdf09/WDS09_131_m8_Widz.pdf |date=22 червня 2019 }} // WDS'09 Proceedings of Contributed Papers, Part I, 176—181, 2009

{{Ділення і дроби}}

[[Категорія:Теорія чисел]]

Шаблони, використані на цій сторінці:

Шаблон:-. (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Cite book (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Delink (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Hlist/styles.css (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Navbox (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Ref-info/styles.css (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Ref-lang (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Ref-uk (переглянути вихідний код) (частково захищено)
Шаблон:Sfrac (редагувати)
Шаблон:Str endswith (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Str len (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Webarchive (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:±. (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Див. також (переглянути вихідний код) (частково захищено)
Шаблон:Дрозд.Теорія алгебричних чисел (редагувати)
Шаблон:Ділення і дроби (редагувати)
Шаблон:Книга (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Ндріб (редагувати)
Шаблон:Ндріб/styles.css (редагувати)
Модуль:Arguments (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Citation/CS1 (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Citation/CS1/COinS (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Citation/CS1/Configuration (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Citation/CS1/Identifiers (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Citation/CS1/Utilities (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Citation/CS1/Whitelist (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Citation/CS1/styles.css (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Delink (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Lang (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Lang/ISO 639 synonyms (переглянути вих��дний код) (захищено)
Модуль:Lang/data (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Lang/data/iana languages (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Lang/data/iana regions (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Lang/data/iana scripts (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Lang/data/iana suppressed scripts (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Lang/data/iana variants (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Lang/data/languages abbr. (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Navbar (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Navbar/configuration (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Navbar/styles.css (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Navbox (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Navbox/configuration (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Navbox/styles.css (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Ref-info (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Ref-lang (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:String (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:TableTools (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Unicode data (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Unsubst (переглянути вихідний код) (частково захищено)
Модуль:Webarchive (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Yesno (переглянути вихідний код) (захищено)

Повернення до сторінки «Ланцюговий дріб».

Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Ланцюговий_дріб