Перегляд вихідного коду сторінки Конфігурація Мебіуса

У Вас нема дозволу на редагування цієї сторінки з такої причини:

Ваша IP-адреса знаходиться в діапазоні, який заблоковано у всіх вікі Фонду Вікімедіа.

Блокування зроблено ‪EPIC‬. Причиною вказано Open proxy/Webhost: See the help page if you are affected.

Початок блокування: 08:48, 2 липня 2024
Закінчення блокування: 08:48, 2 липня 2025

Ваша поточна IP-адреса: 206.189.44.186. Заблокований діапазон — 206.189.32.0/20.

Будь ласка, додайте всі вказані подробиці до будь-яких запитів, які Ви будете робити. Якщо ви вважаєте, що вас заблокували помилково, ви можете знайти додаткову інформацію та інструкції в глобальній політиці Без відкритих проксі.

В іншому випадку, щоб обговорити блокування, будь ласка, опублікуйте запит на розгляд на Мета-вікі. Ви також можете надіслати електронний лист до VRT-черги стюардів за адресою stewards@wikimedia.org, вказавши усю вищезазначену інформацію.

Ви можете переглянути та скопіювати вихідний текст цієї сторінки:

[[Файл:Mobius_configuration.png|праворуч|міні|380x380пкс|Приклад конфігурації. На верхньому малюнку&nbsp;— площини граней червоного тетраедра. На нижньому&nbsp;— площини граней синього тетраедра. Координати вершин червоного тетраедра: <math>(0,0,0),</math> <math>(0,0,1),</math> <math>(0,1,0)</math> і <math>(1,0,0)</math>. Координати вершин синього тетраедра&nbsp;— <math>(0, -\gamma, \gamma),</math> <math>(\gamma, 0, -\gamma), </math> <math>(-\gamma, \gamma, 0)</math> і <math>(\lambda, \lambda, \lambda),</math> де <math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{2}}</math> і <math>\lambda=\frac{1}{3}</math>.]]
'''Конфігурацією Мебіуса''' або '''тетраедрами Мебіуса''' називають [[Конфігурація (геометрія)|конфігурацію]] в [[Евклідів простір|евклідовому просторі]] або проєктивному просторі, що складається з двох взаємно вписаних [[Чотиригранник|тетраедрів]]&nbsp;— кожна вершина одного тетраедра лежить на площині, що проходить через грань іншого тетраедра і навпаки. Таким чином, в отриманій системі восьми точок і восьми площин кожна точка лежить на чотирьох площинах (три площини визначають вершину тетраедра, а четверта площина&nbsp;— це площина, що проходить через грань другого тетраедра, на якій вершина лежить), і кожна площина містить чотири точки (три вершини грані тетраедра і вершина іншого тетраедра, що лежить на тій самій площині).

== Теорема Мебіуса ==
Конфігурацію названо на честь [[Август Фердинанд Мебіус|Августа Фердинанда Мебіуса]], який довів 1828 року, що якщо два тетраедри мають властивість, що сім їхніх вершин лежать на відповідних площинах граней іншого тетраедра, то восьма вершина також лежить на площині відповідної грані, утворюючи конфігурацію Мебіуса. Ця {{Не перекладено|теорема про інциденції||en|incidence theorem}} істинна і в загальнішому тривимірному проєктивному просторі [[тоді й лише тоді]], коли в цьому просторі виконується [[теорема Паппа]] ([[Курт Рейдемейстер|Рейдемейстер]]<ref>{{стаття
 | автор = [[Курт Рейдемейстер|K. Reidemeister]]
 | журнал = Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
 | мова = de
 | сторінки = 71
 | назва = Zur Axiomatik der 3-dimensionalen projektive Geometrie
 | відділ = Aufgaben und Lösungen
 | посилання = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN37721857X_0038&DMDID=DMDLOG_0039
 | том = 38
 | рік = 1929}}.</ref>, {{Не перекладено|Еріх Шьонхард|Шьонхард|en|Erich Schönhardt}}), і виконується в тривимірному просторі, побудованому на [[Тіло (алгебра)|тілі]], тоді й лише тоді, коли виконується [[Комутативність|комутативний закон]], і тому група маж бути [[Поле (алгебра)|полем]] (Al-Dhahir). Через [[Двоїстість (проєктивна геометрія)|проєктивну подвійність]] результат Мебіуса еквівалентний твердженню, що якщо сім з восьми площин двох тетраедрів, які проходять через грані, містять відповідні вершини іншого тетраедра, то площина восьмої грані теж містить іншу вершину.

== Побудова ==
[[Гарольд Коксетер|Коксетер]] {{Harvard citation|Coxeter|1950}} описав просту побудову конфігурації<ref>{{стаття|мова=en
 | автор = [[Гарольд Коксетер|H. S. M. Coxeter]]
 | назва = Self-dual configurations and regular graphs
 | журнал = Bulletin of the American Mathematical Society
 | том = 56 | випуск = 5 | рік = 1950 | сторінки = 413–455
 | mr = 0038078 | doi = 10.1090/S0002-9904-1950-09407-5<!--| doi-access = free--> }}.</ref>. Почнемо з довільної точки ''p'' евклідового простору. Нехай ''A'', ''B'', ''C'' і ''D''&nbsp;— чотири площини, що проходять через ''p'', ніякі три з яких не перетинаються по одній прямій. Розмістимо шість точок ''q'', ''r'', ''s'', ''t'', ''u'' і ''v'' на шести прямих, утворених попарним перетином цих площин таким чином, що ніякі чотири точки не лежать на одній площині. Для будь-якої площини ''A'', ''B'', ''C'' і ''D'' чотири з семи точок ''p'', ''q'', ''r'', ''s'', ''t'', ''u'' і ''v'' лежать на цій площині і три лежать поза нею. Побудуємо площини ''A’'', ''B’'', ''C’'' і ''D’'' через трійки точок, що лежать поза площин ''A'', ''B'', ''C'' і ''D'' відповідно. Тоді за двоїстою формою теореми Мебіуса ці чотири нові площини перетнуться в одній точці ''w''. Вісім точок ''p'', ''q'', ''r'', ''s'', ''t'', ''u'', ''v'' і ''w'' і вісім площин ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ''A’'', ''B’'', ''C’'' і ''D’'' утворюють конфігурацію Мебіуса.

== Схожі конструкції ==
[[Давид Гільберт|Гільберт]] і [[Кон-Фоссен Стефан Емануїлович|Кон-Фоссен]] {{Harvard citation|Hilbert, Cohn-Vossen|1952}} стверджують (без посилань), що існують п'ять конфігурацій, які мають вісім точок і вісім площин з чотирма точками на кожній площині і з чотирма площинами, що проходять через кожну точку, які можна реалізувати в тривимірному евклідовому просторі. Такі конфігурації мають позначення <math>8_4</math>. Інформацію про ці конфігурації можна отримати зі статті [[Ернст Штайніц|Штайніца]] {{Harvard citation|Steinitz|1910}}. У статті, спираючись на результати Мафа {{Harvard citation|Muth|1892}}, Бавера {{Harvard citation|Bauer|1897}} і Мартінетті {{Harvard citation|Martinetti|1897}}, насправді стверджується, що є п'ять <math>8_4</math> конфігурацій з властивостями, що максимум дві площини мають дві загальні точки і двоїсту властивість, що максимум дві точки належать двом площинам. (Ця умова означає, що будь-які три точки не лежать на одній прямій і двоїсті три площини не перетинаються по одній прямій.) Однак існує десять інших <math>8_4</math> конфігурацій, для яких ця умова не виконується, і всі п'ятнадцять конфігурацій можна реалізувати в тривимірному просторі. Цікаві конфігурації, в яких беруть участь два тетраедри, кожен вписаний і описаний один відносно одного, і це якраз ті конфігурації, які задовольняють вищеописаній властивості. Таким чином, існує п'ять конфігурацій з тетраедрами, і вони відповідають п'яти [[Клас спряженості|класам спряженості]] симетричної групи <math>S_4</math>. Можна отримати перестановки чотирьох вершин одного тетраедра ''S = ABCD'' в себе таким способом: кожна вершина ''p'' тетраедра ''S'' лежить на площині, яка містить три вершини іншого тетраедра ''T''. Остання точка тетраедра ''T'' лежить на площині, що містить три точки тетраедра S, і точка ''Q'' тетраедра ''S'' лежить поза цією площиною. Отримуємо відображення <math>P \rightarrow Q</math>. П'ять класів спряженості перестановок <math>S_4</math>&nbsp;— це ''<math>e</math>'', (12)(34), (12), (123), (1234) і, з цих п'яти класів, конфігурація Мебіуса відповідає класу спряженості <math>e</math>. Його позначають <math>K_e</math>. Штайніц стверджує, що якщо два тетраедри <math>K_e</math>&nbsp;— це <math>A_0,B_0,C_0,D_0</math> і <math>A_1,B_1,C_1,D_1</math>, то вісім площин <math>A_i,B_j,C_k,D_l</math> цих тетраедрів задаються індексами з непарною сумою <math>i+j+k+l</math>.

Штайніц також стверджує, що тільки одна <math>8_4</math> конфігурація Мебіуса відповідає геометричній теоремі. Однак із цим не згоден Глін {{Harvard citation|Glynn|2010}}&nbsp;— він показав, скориставшись комп'ютерним пошуком, що існує рівно дві <math>8_4</math>: одна відповідає конфігурації Мебіуса, для другої конфігурації (що відповідає класу спряженості (12)(34) вище) теорема також виконується у всіх тривимірних проєктивних просторах над [[Поле (алгебра)|полем]], але не над загальними [[Тіло (алгебра)|тілами]]. Існують інші подібності між цими двома конфігураціями, зокрема той факт, що вони самодвоїсті в сенсі [[Матроїд|двоїстості матроїдів]]. У абстрактних термінах, друга конфігурація має «точки» 0,…, 7 і «площини» 0125+i, (i = 0,…, 7), де цілі беруться за модулем вісім. Цю конфігурацію, як і конфігурацію Мебіуса, можна подати як два тетраедри, взаємно вписаних і описаних&nbsp;— у поданні у вигляді цілих тетраедри можуть бути 0347 і 1256. Однак ці дві <math>8_4</math> конфігурації не ізоморфні, оскільки конфігурація Мебіуса має чотири пари площин, що не містять спільних точок конфігурації, тоді як друга конфігурація таких площин не має.

[[Граф Леві]] конфігурації Мебіуса має 16 вершин, по одній для кожної точки і площини, а ребра відповідають інцидентності вершин і площин (пара&nbsp;— площина і вершина, що лежить на ній). Граф ізометричний [[Граф гіперкуба|графу гіперкуба]] з 16 вершинами ''Q''<sub>4</sub>. Близька конфігурація [[Конфігурація Мебіуса — Кантора|Мебіуса&nbsp;— Кантора]], утворена двома взаємно вписаними чотирикутниками, має графом Леві [[граф Мебіуса — Кантора]], підграф графа ''Q''<sub>4</sub>.

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==

* {{Книга
|автор = M. W. Al-Dhahir
|видання = The Mathematical Gazette
|сторінки = 241–245
|заголовок = A class of configurations and the commutativity of multiplication
|том = 40
|рік = 1956
|doi = 10.2307/3609605
|видавництво = The Mathematical Association
|ref = Al-Dhahir
}}.
* {{Стаття|author=G. Bauer|видання=München Ber.|pages=359|том=27|date=1897|ref=Bauer}}.
* {{Стаття|author=H. S. M. Coxeter|authorlink=Гарольд Коксетер|title=Self-dual configurations and regular graphs|видання=Bulletin of the American Mathematical Society|том=56|issue=5|date=1950|pages=413–455|doi=10.1090/S0002-9904-1950-09407-5|ref=Coxeter}}.
* {{Стаття|author=D. G. Glynn|title=Theorems of points and planes in three-dimensional projective space|видання=Journal of the Australian Mathematical Society|том=88|date=2010|pages=75–92|doi=10.1017/S1446788708080981|ref=Glynn}}.
* {{Книга
|автор = [[Давид Гільберт|David Hilbert]], [[Кон-Фоссен Стефан Емануїлович|Stephan Cohn-Vossen]]
|видання = 2nd
|ISBN = 0-8284-1087-9
|сторінки = [https://archive.org/details/geometryimaginat0000hilb/page/184 184]
|видавництво = Chelsea
|посилання = https://archive.org/details/geometryimaginat0000hilb
|рік = 1952
|ref = Hilbert, Cohn-Vossen
|назва = Geometry and the Imagination
}}.
* {{Стаття|author=V. Martinetti|видання=Giornale di Matematiche di Battaglini|language=Italian|title=Le configurazioni (8<sub>4</sub>,8<sub>4</sub>) di punti e piani|pages=81–100|том=35|url=https://books.google.com/books?id=_lJaAAAAYAAJ&pg=PA81|date=1897|ref=Martinetti|accessdate=26 вересня 2021|archivedate=26 вересня 2021|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210926132644/https://books.google.com/books?id=_lJaAAAAYAAJ&pg=PA81}}.
* {{Стаття|author=A. F. Möbius|видання=[[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|title=Kann von zwei dreiseitigen Pyramiden einejede in Bezug auf die andere um- und eingeschriehen zugleich heissen?|том=3|date=1828|pages=273–278|ref=Möbius}} У зібранні творів (1886), том. 1, стор. 439—446.
* {{Стаття|author=P. Muth|title=|видання=Zeitschrift Math. Phys.|pages=117|том=37|date=1892|ref=Muth}}.
* {{Стаття|author=K. Reidemeister|authorlink=Курт Рейдемейстер|видання=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung|pages=71|title=Zur Axiomatik der 3-dimensionalen projektive Geometrie|том=38|date=1929|ref=Reidemeister}}.
* {{Стаття|author=K. Reidemeister|authorlink=Курт Рейдемейстер|видання=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung|pages=48–50|title=Aufgabe 63 (gestellt in Jahresbericht D. M. V. 38 (1929), 71 kursiv). Lösung von E. Schönhardt|том=40|date=1931|ref=Reidemeister}}.
* {{Стаття|author=Ernst Steinitz|видання=Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften|pages=492–494|title=Konfigurationen der projektiven Geometrie.  6. Konfigurationen von Punkten und Ebenen|том=3-1-1 A B 5a|date=1910|ref=Steinitz}}.
[[Категорія:Конфігурації]]
[[Категорія:Тетраедри]]

Шаблони, використані на цій сторінці:

Шаблон:-. (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Delink (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Harvard citation (редагувати)
Шаблон:Main other (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Nobr (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Reflist (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Reflist/styles.css (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Str endswith (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Str len (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:±. (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Бскор (переглянути вихідний код) (частково захищено)
Шаблон:Книга (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Не перекладено (переглянути вихідний код) (захищено)
Шаблон:Стаття (переглянути вихідний код) (частково захищено)
Модуль:Arguments (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Check for unknown parameters (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Delink (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Footnotes (переглянути вихідний код) (частково захищено)
Модуль:String (пе��еглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Yesno (переглянути вихідний код) (захищено)
Модуль:Не перекладено (переглянути вихідний код) (захищено)

Повернення до сторінки «Конфігурація Мебіуса».

Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Конфігурація_Мебіуса