Uniformni polihoron

Uniformni polihoron je v geometriji polihoron ali 4-politop, ki je ogliščno prehoden. Njegove celice so uniformni poliedri.

• Pravilni politopi (konveksne stranske ploskve)
  • Leta 1852 je Ludwig Schläfli (1814-1895) v svojem rokopisu Theorie der vielfachen Kontinuitet dokazal, da obstaja natančno 6 pravilnih politopov v štirih razsežnostih in samo 3 v petih ali več razsežnostih.
• pravilni zvezdni polihoroni (celice zvezdnega poliedra in/ali slike oglišč)
  • Leta 1852 je Ludwig Schläfli našel štiri od desetih zvezdnih polihoronov
  • Leta 1883 je Edmund Hess (1843–1903) izpopolnil seznam desetih nekonveksnih polihoronov v knjigi Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder
• Konveksni polpravilni politopi (različne definicije preden je Coxeter določil uniformno kategorijo)
  • Leta 1900 je Thorold Gosset (1869-1962) oštevilčil v seznamu neprizmatičnih polpravilnih konveksnih politopov s pravilnimi celicami (platonska telesa) v svoji publikaciji On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions.^[1]
  • Leta 1910 Alicia Boole Stott (1860–1940) v svoji publikaciji Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings razširila definicijo s tem, da je dovolila arhimedska telesa in celice prizem. Takšen način obravnavanja je štel 45 polpravilnih polihoronov.^[2]
  • Leta 1911 je Pieter Hendrik Schoute (1846-1923) objavil delo Analytic treatment of polytopes regulary derived from the regular polytopes. Temu je sledilo oštevilčenje konveksnih uniformnih politopov s simetrijo osnovano na 5 celici, 8 celici, 16 celici in 24 celici.
  • Leta 1912 je Emanuel Lodewijk Elte razširil Gossetov seznam z objavo dela The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces z enim ali dvema vrstama polpravilnih facet.
• Konveksni uniformni politopi
  • Leta 1940 so se raziskave sistematično nadaljevale z delom Harolda Scotta MacDonalda Coxeterja (1907–2003)v njegovi publikaciji Regular and Semi-Regular Polytopes
    • Konveksni uniformni polihoroni
    • Leta 1940 so se raziskave sistematično razširile z delom Harolda Scotta MacDonald Coxeterja v njegovi knjigi Regular and Semi-Regular Polytopes.
    • Leta 1965 je bil dokončno izdelan seznam konveksnih oblik, ki sta ga pripravila John Horton Conway (rojen 1937) in Michael Guy (rojen 1942) v njuni publikaciji.
    • Leta 1966 je matematik Norman Johnson (rojen 1930) dokončal svojo doktorsko dizertacijo
    • Leta 1997 je George Olshevsky (rojen 1946) podal poln seznam in imena ter elemente konveksnih polihoronov
    • Leta 2004 je izšel dokaz, da je Conway-Guyeva množica popolna, kar je oblavil Marco Möller v svoji dizertaciji Vierdimensionale Archimedische Polytope.^[3]
• Nepravilni uniformni zvezdni polihoroni (podobni so nekonveksnim uniformnim poliedrom)
  • Pot naprej Znanih je na tisoče nekonveksnih polihoronov, toda večina od njih je neobjavljenih. Tudi njihov seznam verjetno še ni popoln. Prav tako ni ocen kako dolg bi naj bil popoln seznam. Med najbolj znanimi raziskovalci na tem področju so Jonathan Bowers (rojen 1969 ^[4]), George Olshevsky (rojen 1946) in Norman Johnson (rojen 1930).

Uniformni polihoroni vključujejo dve posebni podskupini, ki zadoščata dodatnim zahtevam:

• 16 pravilnih polihoronov z lastnostjo, da so vse celice, stranske ploskve robovi in oglišča skladni
  • 10 Schläfli-Hessovih polihoronov.
  • 6 konveksnih pravilnih 4 politopov

Znanih je 64 uniformnih konveksnih polihoronov, vključno s šestimi pravilnimi konveksnimi polihoroni. Sem ni šteta neskončna množica duoprizem in antiprizmatičnih hiperprizem.

• pet je poliederskih prizem osnovanih na platonskih telesih
• trinajst je poliederskih prizem osnovanih na arhimedskih telesih
• devet jih je v družini grupe pravilnih sebi dualnih A₄[3,3,3] (5 celica)
• devet je članov v družini grupe pravilnih sebi dualnih F₄[3,4,3] (24 celica), razen prirezane 24-celice
• petnajst jih je v družini pravilne grupe BC₄ (129 celica/600 celica)
• ena posebna prirezana oblika družine v grupi [3,4,3] (24 celica)
• ena posebna ne-Wythoffov polihoron , velika antiprizma
• Skupaj je to 68 – 4 = 64

Teh 64 polihoronov je indeksiral izdajatelj, pisec in založnik George Olshevsky (rojen 1946).

5-celica ima diploidno pentahorsko [3,3,3] simetrijo z redom 120, izomorfnih s permutacijami petih elementov, ker so vsi pari oglišč povezani na isti način. V spodnjem seznamu so tri oblike označene z *. Te imajo višjo razširjeno pentahorsko simetrijo reda 240, [[3,3,3]] ker se elementi, ki pripadajo osnovni 5-celici, lahko zamenjajo z enim od tistih, ki odgovarjajo elementom duala.

Facete (celice) so podane in razvrščene v skupine v svojih Coxeter-Dinkinovih lokacijah z odstranitvijo določenih vozlov.

#	Johnsonovo ime Bowersovo ime (in okrajšava)	slika oglišč	Coxeter-Dinkinov in Schläflijevi simboli	Število celic po položaju				Število elementov
				položaj 3 (5)	položaj 2 (10)	položaj 1 (10)	položaj 0 (5)	celice	stranske ploskve	robovi	oglišča
1	5 celica pentahoron (pen)		{3,3,3}	(4) (3.3.3)				5	10	10	5
2	rektificirana 5 celica rektificirani pentahoron (rap)		t1{3,3,3}	(3) (3.3.3.3)			(2) (3.3.3)	10	30	30	10
3	prisekana 5 celica prisekani pentahoron (tip)		t0,1{3,3,3}	(3) (3.6.6)			(1) (3.3.3)	10	30	40	20
4	kantelirana 5 celica mali rombski pentahoron (srip)		t0,2{3,3,3}	(2) (3.4.3.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	20	80	90	30
5	*runcinirana 5 celica mali prizmatični dodekaeder (spid)		t0,3{3,3,3}	(1) (3.3.3)	(3) (3.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	30	70	60	20
6	*dvojno prisekana 5 celica dekakron (deca)		t1,2{3,3,3}	(2) (3.6.6)			(2) (3.6.6)	10	40	60	30
7	kantiprisekana 5 celica veliki rombski pentahoron (grip)		t0,1,2{3,3,3}	(2) (4.6.6)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	20	80	120	60
8	runciprisekana 5 celica prizemskorombski pentahoron (prip)		t0,1,3{3,3,3}	(1) (3.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	30	120	150	60
9	*omniprisekana 5 celica veliki prizmatični dekahoron (gippid)		t0,1,2,3{3,3,3}	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.6)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	30	150	240	120

Tri Coxeterjeve ravnine dvorazsežne projekcije so dane za A₄, A₃, A₂ Coxeterjeve grupe, ki kažejo simetrijo reda 5,4,3 ter so podvojene za parne A_k rede na 10, 4, 6 za simetrične Coxeterjeve diagrame.

Trirazsežne slike so narisane kot projekcije Schleglovih diagramov usredinjenih na celice na položaju 3, s pravilno orientacijo in petimi celicami na položaju 0 kot je prikazano.

#	Johnsonovo ime Bowersovo ime (in okrajšava)	Coxeter-Dinkinov diagram in Schläflijevi simboli	Coxeterjev element#Coxeterjeva ravnina grafi			Schleglov diagram
			A4 [5]	A3 [4]	A2 [3]	tetraeder usrediščen	dualni tetraeder usrediščen
1	5 celica pentahoron (pen)	{3,3,3}
2	rektificirana 5 celica rektificirani pentahoron (rap)	t1{3,3,3}
3	prisekana 5 celica prisekani pentahoron (tip)	t0,1{3,3,3}
4	kantelirana 5 celica mali rombski pentahoron (srip)	t0,2{3,3,3}
5	*runcinirana 5 celica mali prizmatičen dodekahoron (spid)	t0,3{3,3,3}
6	*dvojno prisekana 5 celica dekahoron (deca)	t1,2{3,3,3}
7	kantiprisekana 5 celica veliki rombski pentahoron (grip)	t0,1,2{3,3,3}
8	runciprisekana 5 celica przmatičnorombski pentahoron (prip)	t0,1,3{3,3,3}
9	*omniprisekana 5 celica veliki prizmatični dekahoron (gippid)	t0,1,2,3{3,3,3}

Koordinate uniformnega 4-politopa s pentahorsko simetrijo se lahko generira s permutacijami celih števil v petrazsežnem prostoru s hiperravninami, ki imajo normalni vektor (1,1,1,1,1). A₄ Coxeterjeva grupa je palindromska tako, da politopi obstajajo v parih dualnih oblik. Znani so trije simetrični položaji in šest parov, kar skupaj daje petnajst permutacij enega ali več kolobarjev. Vsi so navedeni spodaj v zaporedju dvojiški številski sistem zato, da je razumljivejše generiranje koordinat iz kolobarjev za vsak Coxeter-Dinkinov diagram.

Število oglišč se dobi iz permutacij števila koordinat.

Prisekanja pentahorona v petrazsežnem prostoru:

#	Osnovna točka	Ime (simetrično ime)	Coxeter-Dinkin	oglišča
1	(0, 0, 0, 0, 1)	5 celica		5
2	(0, 0, 0, 1, 1)	rektificirana 5 celica		10
3	(0, 0, 0, 1, 2)	prisekana 5 celica		20
4	(0, 0, 1, 1, 1)	dvojno rektificirana 5 celica (rektificirana 5 celica)		10
5	(0, 0, 1, 1, 2)	kantelirana 5 celica		30
6	(0, 0, 1, 2, 2)	dvojno prisekana 5 celica		30
7	(0, 0, 1, 2, 3)	kantiprisekana 5 celica		60
8	(0, 1, 1, 1, 1)	trojno rektificirana 5 celica (5 celica)		5
9	(0, 1, 1, 1, 2)	runcinirana 5 celica		20
10	(0, 1, 1, 2, 2)	dvojno kantelirana 5 celica (kantelirana 5 celica)		30
11	(0, 1, 1, 2, 3)	runciprisekana 5 celica		60
12	(0, 1, 2, 2, 2)	trojno prisekana 5 celica (prisekana 5 celica)		20
13	(0, 1, 2, 2, 3)	runcikantelirana 5 celica (runciprisekana 5 celica)		60
14	(0, 1, 2, 3, 3)	dvojno kantiprisekana 5 celica (kantiprisekana 5 celica)		60
15	(0, 1, 2, 3, 4)	omniprisekana 5 celica		120

Ta skupina ima diploidno heksadekahorično simetrijo reda 24*16=384: 4!=24 permutacij štirih osi, 2⁴=16 pa je za zrcaljenje na vsaki osi.

#	Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način)	Slika oglišč	Coxeter-Dinkinov in Schläflijevi simboli	Število celic po položaju				Število elementov
				položaj 3 (8)	položaj 2 (24)	položaj 1 (32)	položaj 0 (16)	celice	stranske ploskve	robovi	oglišča
10	8 celica ali teserakt (tes)		{4,3,3}	(4) (4.4.4)				8	24	32	16
11	rektificirana 8 celica (rit)		t1{4,3,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (3.3.3)	24	88	96	32
13	prisekana 8 celica (tat)		t0,1{4,3,3}	(3) (3.8.8)			(1) (3.3.3)	24	88	128	64
14	kantelirana 8 celica (srit)		t0,2{4,3,3}	(1) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	56	248	288	96
15	runcinirana 8 celica (tudi runcinirana 16 celica) (sidpith)		t0,3{4,3,3}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	80	208	192	64
16	dvojno prisekana 8 celica (tudi dvojno prisekana 16 celica) (tah)		t1,2{4,3,3}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)	24	120	192	96
18	kantiprisekana 8 celica (grit)		t0,1,2{4,3,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	56	248	384	192
19	runciprisekana 8 celica (proh)		t0,1,3{4,3,3}	(1) (3.8.8)	(2) (4.4.8)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	80	368	480	192
21	omniprisekana 8 celica (tudi omniprisekana 16 celica) (gidpith)		t0,1,2,3{3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	80	464	768	384
12	polteserakt 16 celica (hex)		h0{4,3,3}	(3.3.3)			(half) (3.3.3)	16	32	24	8

#	Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način)	slika oglišč	Coxeter-Dinkinov diagram in Schläflijevi simboli	število celic po položaju				Število elementov
				položaj 3 (8)	položaj 2 (24)	položaj 1 (32)	položaj 0 (16)	Celice	Stranske ploskve	Robovi	Oglišča
[12]	16 celica (hex)		{3,3,4}				(8) (3.3.3)	16	32	24	8
[22]	*rektificirana 16 celica (isto kot 24 celica) (ico)		t1{3,3,4}	(2) (3.3.3.3)			(4) (3.3.3.3)	24	96	96	24
17	prisekana 16 celica (thex)		t0,1{3,3,4}	(1) (3.3.3.3)			(4) (3.6.6)	24	96	120	48
[23]	*kantelirana 16 celica (isto kot rektificirana 24 celica) (rico)		t0,2{3,3,4}	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		(2) (3.4.3.4)	48	240	288	96
[15]	runcinirana 16 celica (tudi runcinirana 8 celica) (sidpith)		t0,3{3,3,4}	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	80	208	192	64
[16]	dvojno prisekana 16 celica (tudi dvojno prisekana 8 celica) (tah)		t1,2{3,3,4}	(2) (4.6.6)			(2) (3.6.6)	24	120	192	96
[24]	*kantiprisekana 16 celica (isto kot prisekana 24 celica) (tico)		t0,1,2{3,3,4}	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		(2) (4.6.6)	48	240	384	192
20	runciprisekana 16 celica (prit)		t0,1,3{3,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)	80	368	480	192
[21]	omniprisekana 16 celica (tudi omniprisekana 8 celica) (gidpith)		t0,1,2,3{3,3,4}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	80	464	768	384
[31]	alternirana kantiprisekana 16 celica (isto kot prirezana 24-celica) (sadi)		h0,1,2{3,3,4}	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)	(4) (96) (3.3.3)	(2) (3.3.3.3.3)	144	480	432	96

(*) Tako kot rektifikacija tetraedra naredi oktaeder, tako tudi rektifikacija 16 celice naredi 24 celico, ki je član naslednje skupine (družine).

Prirezana 24-celica je običajno v tej skupini zaradi popolnosti. To je alternacija kantiprisekane16 celice ali prisekane 24 celice s polovično simetrijsko grupo [(3,3)⁺,4]. Prisekane oktaederske celice postanejo ikozaedri. Kocka postane tetraeder in 96 novih tetraedrov nastane v prazninah odstranjenih oglišč.

Slike so prikazane kot projekcije v perspektivi Schleglovih diagramov usrediščenih na celice v položaju 3 s primerno orientacijo in 16 celic na položaju 0, ki so prikazane z drugačno barvo.

#	Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način)	projekcije Coxeterjeva ravnina					Schleglovi diagrami
		F4 [12/3]	B4 [8]	B3 [6]	B2 [4]	A3 [4]	kocka usrediščena	tetraeder usrediščen
10	8 celica ali teserakt (tes)
11	rektificirana 8 celica (rit)
12	16 celica (hex)
13	prisekana 8 celica (tat)
14	kantelirana 8 celica (srit)
15	runcinirana 8 celica (tudi runcinirana 16 celica) (sidpith)
16	dvojno prisekana 8 celica (tudi dvojno prisekana 16 celica) (tah)
17	prisekana 16 celica (thex)
18	kantiprisekana 8 celica (grit)
19	runciprisekana 8 celica (proh)
20	runciprisekana 16 celica (prit)
21	omniprisekana 8 celica (tudi omniprisekana 16 celica) (gidpith)
[22]	*rektificirana 16 celica (isto kot 24 celica) (ico)
[23]	*kantelirana 16 celica (isto kot rektificirana 24 celica) (rico)
[24]	*kantiprisekana 16 celica (isto kot prisekana 24 celica) (tico)
[31]	alternirana kantiprisekana 16 celica (isto kot prirezana 24-celica) (sadi)

Teseraktna skupina polihoronov je podana s pomočjo konveksnih ogrinjač z določenimi osnovnimi točkami, ki so naštete v naslednji tabeli z vsemi permutacijami koordinat. Vsak osnovna točka generira drugi uniformni polihoron. Vse koordinate pripadajo uniformnemu polihoronu, ki ima dolžino roba enako 2.

Koordinate za uniformne polihorone v skupini teserakta/16 celica

#	Osnovna točka	Johnsonovo ime Bowersovo ime (okrajšava na Bowersov način)	Coxeter-Dinkin
1	(0,0,0,1)√2	16 celica heksadekahoron (hex)
2	(0,0,1,1)√2	rektificirana 16 celica ikozitetrahoron (ico)
3	(0,0,1,2)√2	prisekana 16 celica prisekani heksadekahoron (thex)
4	(0,1,1,1)√2	rektificiran teserakt (dvojno rektificirana 16 celica) rektificirani teserakt (rit)
5	(0,1,1,2)√2	kantelirana 16 celica rektificirani ikozitetrahoron (rico)
6	(0,1,2,2)√2	dvojno prisekana 16 celica teseraktiheksadekahoron (tah)
7	(0,1,2,3)√2	kantiprisekana 16 celica prisekani ikozotetrahoron (tico)
8	(1,1,1,1)	teserakt teserakt (tes)
9	(1,1,1,1) + (0,0,0,1)√2	runcinirani teserakt (runcinirana 16 celica) mali diprizmoteseraktiheksadekahoron (sidpith)
10	(1,1,1,1) + (0,0,1,1)√2	kantelirani teserakt mali rombski teserakt (srit)
11	(1,1,1,1) + (0,0,1,2)√2	runcinirana 16 celica prizmatorombski teserakt (prit)
12	(1,1,1,1) + (0,1,1,1)√2	prisekani teserakt prisekani teserakt (tat)
13	(1,1,1,1) + (0,1,1,2)√2	runciprisekani teserakt (runcikantelirana 16 celica) prizmatorombski heksadekahoron (proh)
14	(1,1,1,1) + (0,1,2,2)√2	kantiprisekani teserakt veliki rombski teserakt (grit)
15	(1,1,1,1) + (0,1,2,3)√2	omniprisekana 16 celica (omniprisekani teserakt) veliki disprizmatoteseraktiheksadekahoron (gidpith)

Ta skupina ima diploidno ikozitetrahorsko simetrijo reda 24*48=1152: 48 simetrij oktaedra za vsakih 24 celic.

#	Ime	Slika oglišč	Coxeter-Dinkinov in Schläflijevi simboli	Število celic po položaju				Število elementov
				položaj 3 (24)	položaj 2 (96)	položaj 1 (96)	položaj 0 (24)	Celice	Stranske ploskve	Robovi	Oglišča
22	24 celica (isto kot rektificirana 16 celica) (ico)		{3,4,3}	(6) (3.3.3.3)				24	96	96	24
23	rektificirana 24 celica (isto kot kantelirana 16 celica) (rico)		t1{3,4,3}	(3) (3.4.3.4)			(2) (4.4.4)	48	240	288	96
24	prisekana 24 celica (isto kot kantiprisekana 16 celica) (tico)		t0,1{3,4,3}	(3) (4.6.6)			(1) (4.4.4)	48	240	384	192
25	kantelirana 24 celica (srico)		t0,2{3,4,3}	(2) (3.4.4.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	144	720	864	288
26	*runcinirana 24 celica (spic)		t0,3{3,4,3}	(1) (3.3.3.3)	(3) (3.4.4)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	240	672	576	144
27	*dvojno prisekana 24 celica (cont)		t1,2{3,4,3}	(2) (3.8.8)			(2) (3.8.8)	48	336	576	288
28	kantiprisekana 24 celica (grico)		t0,1,2{3,4,3}	(2) (4.6.8)		(1) (3.4.4)	(1) (3.8.8)	144	720	1152	576
29	runciprisekana 24 celica (prico)		t0,1,3{3,4,3}	(1) (4.6.6)	(2) (4.4.6)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.4.4)	240	1104	1440	576
30	*omniprisekana 24 celica (gippic)		t0,1,2,3{3,4,3}	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.6)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.8)	240	1392	2304	1152
31	alternirana prisekana 24 celica †(isto kot prirezana 24-celica) (sadi)		h0,1{3,4,3}	(3) (3.3.3.3.3)		(4) (3.3.3)	(1) (3.3.3)	144	480	432	96

(*) Tako kot je 5 celica sebi dualna je tudi 24 celica sebi dualna in tako imajo tri imena, označena z zvezdico, dvakrat toliko simetrij. To pa da skupaj 2304 (razširjana ikozitetrahorna grupa [[3,4,3]]).

(†) Prirezana 24-celica kljub imenu ni analog prirezani kocki, ker se dobi z alternacijo iz prisekane 24 celice. Njena številka simetrije je 576, (ionsko zmanjšana ikozitetrahorna grupa, [3⁺,4,3]).

#	Name Coxeter-Dinkinov Schläflijev simbol	Graf				Schleglov diagram		Ortogonalna projekcija
		F4 [12]	B4 [8]	B3 [6]	B2 [4]	oktaeder usrediščen	dualni oktaeder usrediščen	oktaeder usrediščen
22	24 celica (ico) (rektificirana 16 celica) {3,4,3}
23	rektificirana 24 celica (rico) (kantelirana 16 celica) t1{3,4,3}
24	prisekana 24 celica (tico) (kantiprisekana 16 celica) t0,1{3,4,3}
25	kantelirana 24 celica (srico) t0,2{3,4,3}
26	*runcinirana 24 celica (spic) t0,3{3,4,3}
27	*dvojno prisekana 24 celica (cont) t1,2{3,4,3}
28	kantiprisekana 24 celica (grico) t0,1,2{3,4,3}
29	runciprisekana 24 celica (prico) t0,1,3{3,4,3}
30	*omniprisekana 24 celica (gippic) t0,1,2,3{3,4,3}
31	alternirana prisekana 24 celica †(isto kot prirezana 24-celica) (sadi) h0,1{3,4,3}

Koordinate oglišč za vseh 15 oblik je podanih v nadaljevanju, vključno z dualno obliko dveh pravilnih 24 celic. (dualne oblike so prikazane v mastnem tisku.) Aktivni kolobarji v prvem in drugem vozlu generirajo točke, ki so v prvem stolpcu. Aktivni kolobarji v tretjem in četrtem vozlu generirajo točke v drugem stolpcu. Vsota vsake izmed teh točk so permutirane po položaju koordinat in znaku kombinacij. To generira vse koordinate oglišč. Dolžina robov je enaka 2.

Edina izjema je prirezana 24-celica, ki je generirana s polovico permutacij koordinat, samo parno število koordinat se izmenjuje. φ=(√5+1)/2.

Koordinate skupine 24 celic

Osnovne točke t(0,1)	Osnovne točke t(2,3)	Schläflijev simbol	Ime	Coxeter-Dinkinov diagram
	(0,0,1,1)√2	t0{3,4,3}	24 celica
	(0,1,1,2)√2	t1{3,4,3}	rektificirana 24 celica
	(0,1,2,3)√2	t0,1{3,4,3}	prisekana 24 celica
	(0,1,φ,φ+1)√2	h0,1{3,4,3}	prirezana 24-celica
(0,2,2,2) (1,1,1,3)		t2{3,4,3}	Birectified 24-cell (rektificirana 24 celica)
(0,2,2,2) + (1,1,1,3) +	(0,0,1,1)√2 "	t0,2{3,4,3}	kantelirana 24 celica
(0,2,2,2) + (1,1,1,3) +	(0,1,1,2)√2 "	t1,2{3,4,3}	dvojno prisekana 24 celica
(0,2,2,2) + (1,1,1,3) +	(0,1,2,3)√2 "	t0,1,2{3,4,3}	kantiprisekana 24 celica
(0,0,0,2) (1,1,1,1)		t3{3,4,3}	trojno rektificirana 24 celica (24 celica)
(0,0,0,2) + (1,1,1,1) +	(0,0,1,1)√2 "	t0,3{3,4,3}	runcinirana 24 celica
(0,0,0,2) + (1,1,1,1) +	(0,1,1,2)√2 "	t1,3{3,4,3}	dvojno kantelirana 24 celica (kantelirana 24 celica)
(0,0,0,2) + (1,1,1,1) +	(0,1,2,3)√2 "	t0,1,3{3,4,3}	runciprisekana 24 celica
(1,1,1,5) (1,3,3,3) (2,2,2,4)		t2,3{3,4,3}	trojno prisekana 24 celica (prisekana 24 celica)
(1,1,1,5) + (1,3,3,3) + (2,2,2,4) +	(0,0,1,1)√2 " "	t0,2,3{3,4,3}	runciprisekana 24 celica (runciprisekana 24 celica)
(1,1,1,5) + (1,3,3,3) + (2,2,2,4) +	(0,1,1,2)√2 " "	t1,2,3{3,4,3}	dvojno kantiprisekana 24 celica (kantiprisekana 24 celica)
(1,1,1,5) + (1,3,3,3) + (2,2,2,4) +	(0,1,2,3)√2 " "	t0,1,2,3{3,4,3}	omniprisekana 24 celica

Ta skupina ima diploidno heksakozihorično simetrijo reda 120*120=24*600=14400: 120 je za vsakega od 120 dodekaedrov ali 24 za vsakega od 600 tetraedrov.

#	Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način)	Slika oglišč	Coxeter-Dinkin in Schläflijevi simboli	Število celic po položaju				Število elementov
				položaj 3 (120)	položaj 2 (720)	položaj 1 (1200)	položaj 0 (600)	Celice	Stranske ploskve	Robovi	Oglišča
32	120 celica (hi)		{5,3,3}	(4) (5.5.5)				120	720	1200	600
33	rektificirana 120 celica (rahi)		t1{5,3,3}	(3) (3.5.3.5)			(2) (3.3.3)	720	3120	3600	1200
36	prisekana 120 celica (thi)		t0,1{5,3,3}	(3) (3.10.10)			(1) (3.3.3)	720	3120	4800	2400
37	kantelirana 120 celica (srahi)		t0,2{5,3,3}	(1) (3.4.5.4)		(2) (3.4.4)	(1) (3.3.3.3)	1920	9120	10800	3600
38	runcinirana 120 celica (tudi runcinirana 600 celica) (sidpixhi)		t0,3{5,3,3}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	2640	7440	7200	2400
39	dvojno prisekana 120 celica (tudi dvojno prisekana 600 celica) (xhi)		t1,2{5,3,3}	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)	720	4320	7200	3600
42	kantiprisekana 120 celica (grahi)		t0,1,2{5,3,3}	(2) (4.6.10)		(1) (3.4.4)	(1) (3.6.6)	1920	9120	14400	7200
43	runciprisekana 120 celica (prix)		t0,1,3{5,3,3}	(1) (3.10.10)	(2) (4.4.10)	(1) (3.4.4)	(1) (3.4.3.4)	2640	13440	18000	7200
46	omniprisekana 120 celica (tudi omniprisekana 600 celica) (gidpixhi)		t0,1,2,3{5,3,3}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) <>(4.4.6)	(1) (4.6.6)	2640	17040	28800	14400

#	Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način)	slika oglišč	Coxeter-Dinkinov in Schläflijevi simboli	Število celic po položaju				Število elementov
				položaj 3 (120)	položaj 2 (720)	položaj 1 (1200)	položaj 0 (600)	Celice	Stranske ploskve	Robovi	Oglišča
35	600 celica (ex)		{3,3,5}				(20) (3.3.3)	600	1200	720	120
34	rektificirana 600 celica (rox)		t1{3,3,5}	(2) (3.3.3.3.3)			(5) (3.3.3.3)	720	3600	3600	720
41	prisekana 600 celica (tex)		t0,1{3,3,5}	(1) (3.3.3.3.3)			(5) (3.6.6)	720	3600	4320	1440
40	kantelirana 600 celica (srix)		t0,2{3,3,5}	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.5)		(1) (3.4.3.4)	1440	8640	10800	3600
[38]	runcinirana 600 celica (tudi runcinirana 120 celica) (sidpixhi)		t0,3{3,3,5}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (3.4.4)	(1) (3.3.3)	2640	7440	7200	2400
[39]	dvojno prisekana 600 celica (tudi dvojno prisekana 120 celica) (xhi)		t1,2{3,3,5}	(2) (5.6.6)			(2) (3.6.6)	720	4320	7200	3600
45	kantiprisekana 600 celica (grix)		t0,1,2{3,3,5}	(1) (5.6.6)	(1) (4.4.5)		(2) (4.6.6)	1440	8640	14400	7200
44	runciprisekana 600 celica (prahi)		t0,1,3{3,3,5}	(1) (3.4.5.4)	(1) (4.4.5)	(2) (4.4.6)	(1) (3.6.6)	2640	13440	18000	7200
[46]	omniprisekana 600 celica (tudi omniprisekana 120 celica) (gidpixhi)		t0,1,2,3{3,3,5}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.6)	2640	17040	28800	14400

#	Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način)	projekcije na Coxeterjevo ravnino						Schleglovi diagrami
		F4 [12]	[20]	H4 [30]	H3 [10]	A3 [4]	A2 [3]	Dodekaeder usrediščen	Tetraeder usrediščen
32	120 celica (hi)
33	rektificirana 120 celica (rahi)
34	rektificirana 600 celica (rox)
35	600 celica (ex)
36	prisekana 120 celica (thi)
37	kantelirana 120 celica (srahi)
38	runcinirana 120 celica (tudi runcinirana 600 celica) (sidpixhi)
39	dvojno prisekana 120 celica (tudi dvojno prisekana 600 celica) (xhi)
40	kantelirana 600 celica (srix)
41	prisekana 600 celica (tex)
42	kantiprisekana 120 celica (grahi)
43	runciprisekana 120 celica (prix)
44	runciprisekana 600 celica (prahi)
45	kantiprisekana 600 celica (grix)
46	omniprisekana 120 celica (tudi omniprisekana 600 celica) (gidpixhi)

#	Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način)	slika oglišč	Coxeter-Dinkinov diagram	Število celic po položaju					Število elementov
				položaj 0 (8)	položaj 1 (24)	položaj 2 (8)	položaj 3 (8)	položaj alt (96)	3	2	1	0
[12]	polteserakt (isto kot 16 celica) (hex)		t0{31,1,1}			(4) (3.3.3)	(4) (3.3.3)		16	32	24	8
[17]	prisekani polteserakt (isto kot prisekana 16 celica) (thex)		t0,1{31,1,1}	(1) (3.3.3.3)		(2) (3.6.6)	(2) (3.6.6)		24	96	120	48
[11]	kantelirani polteserakt (isto kot rektificirani teserakt) (rit)		t0,2{31,1,1}	(1) (3.3.3)		(1) (3.3.3)	(3) (3.4.3.4)		24	88	96	32
[16]	kantiprisekani polteserakt (isto kot dvojno prisekani teserakt) (tah)		t0,1,2{31,1,1}	(1) (3.6.6)		(1) (3.6.6)	(2) (4.6.6)		24	96	96	24
[22]	rektificirani polteserakt (isto kot rektificirana 16 celica) (isto kot 24 celica) (ico)		t1{31,1,1}	(2) (3.3.3.3)		(2) (3.3.3.3)	(2) (3.3.3.3)		48	240	288	96
[23]	runcikantelirani polteserakt (isto kot kantelirana 16 celica) (isto kot rektificirana 24 celica) (rico)		t0,2,3{31,1,1}	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)	(1) (3.4.3.4)	(1) (3.4.3.4)		24	120	192	96
[24]	omniprisekani polteserakt (isto kot kantiprisekana 16 celica) (isto kot prisekana 24 celica) (tico)		t0,1,2,3{31,1,1}	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)	(1) (4.6.6)	(1) (4.6.6)		48	240	384	192
[31]	snub polteserakt (isto kot prirezana 24-celica) (sadi)		s{31,1,1}	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)	144	480	432	96

#	Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način) Coxeter-Dinkinov diagram	projekcije na Coxeterjevo ravnino			Schleglovi diagrami		vzporedni trirazsežni
		B4 [8/2]	D4 [6]	D3 [2]	kocka usrediščena	tetraeder usrediščen	D4 [6]
[12]	polteserakt (isto kot 16 celica) (hex) t0{31,1,1}
[17]	prisekani polteserakt (isto kot prisekana 16 celica) (thex) t0,1{31,1,1}
[11]	kantelirani polteserakt (isto kot rektificirani teserakt) (rit) t0,2{31,1,1}
[16]	kantiprisekani polteserakt (isto kot dvojno prisekani teserakt) (tah) t0,1,2{31,1,1}
[22]	rektificirani polteserakt (isto kot rektificirana 16 celica) (isto kot 24 celica) (ico) t1{31,1,1}
[23]	runcikantelirani polteserakt (isto kot kantelirana 16 celica) (isto kot rektificirana 24 celica) (rico) t0,2,3{31,1,1}
[24]	omniprisekani polteserakt (isto kot kantiprisekana 16 celica) (isto kot prisekana 24 celica) (tico) t0,1,2,3{31,1,1}
[31]	prirezani polteserakt (prirezana 24-celica) (sadi) s{31,1,1}

Osnovna točka lahko generira koordinate politopa tako, da se vzame vse permutacije koordinat in kombinacij predznakov. Dolžina robov bo tako √2. Nekateri politopi imajo po dve možni točki generiranja. Tem točkam lahko dodamo predpono parne, kar naj kaže, da štejemo samo permutacije s parnim predznakom.

#	Osnovna točka	Johnsonovo in Bowersovo ime	Coxeter-Dinkinov diagram	Sorodni B4 Coxeter-Dinkinov diagram	Sorodni F4 Coxeter-Dinkinov diagram
[12]	(0,0,0,2)	16 celica
[22]	(0,0,2,2)	rektificirana 16 celica
[17]	(0,0,2,4)	prisekana 16 celica
[11]	(0,2,2,2)	kantelirana 16 celica
[23]	(0,2,2,4)	kantelirana 16 celica
[16]	(0,2,4,4)	dvojno prisekana 16 celica
[24]	(0,2,4,6)	kantiprisekana 16 celica
[31]	(0,1,φ,φ+1)/√2	prirezana 24-celica
[12]	parna (1,1,1,1)	polteserakt (16 celica)
[11]	parna (1,1,1,3)	kantelirani polteserakt (kantelirana 16 celica)
[17]	parna (1,1,3,3)	prisekan polteserakt (prisekana 16 celica)
[16]	parna (1,3,3,3)	kantiprisekan polteserakt (kantiprisekana 16 celica)

Obstaja eden newythoffianov uniformni konveksni polihoron, ki je znan kot velika antiprizma. Ta je sestavljena iz 20 petstranih antiprizem. Te tvorijo dva pravokotna obroča, ki sta povezana s 300 tetraedri. Ta je analogna trirazsežni antiprizmam, ki so sestavljene iz dveh vzporednih mnogokotnikov, povezanih s pasom trikotnikov. V nasprotju z njimi velika antiprizma ne spada v neskončno skupino uniformnih politopov. Njihovo simetrijsko število je 400 (ionsko zmanjšana Coxeterjeva grupa).

#	Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način)	Slika	Slika oglišč	Coxeter-Dinkinov diagram in Schläflijevi simboli	celice po vrsti		Število elementov
							Celice	Stranske ploskve	Robovi	Oglišča
47	velika antiprizma (gap)			ni simbola	300 (3.3.3)	20 (3.3.3.5)	320	20 {5} 700 {3}	500	100

Prizmatični politop je kartezični produkt dveh politopov z nižjo razsežnostjo. Znani primeri so trirazsežne prizme, ki so produkt mnogokotnika in daljice. Prizmatične uniformne polihorone sestavljata dve neskončni skupini:

• poliederske prizme: produkt daljice in uniformnega poliedra. Ta skupina je neskončna, ker vsebuje trirazsežne prizme in antiprizme.
• duoprizme: produkt dveh mnogokotnikov.

Najbolj razumljiva družina prizmatičnih polihoronov so poliederske prizmeki so produkt poliedra z daljico. Celice takšnega polihorona sta dva identična uniformna poliedra, ki ležita v vzporednih ravninah (imenujemo jih osnovne celice) povezuje ju plast prizem (to so stranske celice). Ta družina vključuje prizme 75 neprizmatičnih uniformnih poliedrov.

Znanih je 18 konveksnih poliederskih prizem, ki jih naredimo iz 5 platonskih teles in 13 arhimedskih teles ter neskončno družino trirazsežnih prizem in antiprizem. Simetrijsko število poliedrskih prizem je dvakrat večje kot za osnovne poliedre.

#	Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način)	Slika	Coxeter-Dinkinov diagram in Schläflijevi simboli	Celice po vrsti			Število elementov
							Celice	Stranske ploskve	Robovi	Oglišča
48	tetraederska prizma (tepe)		t0{3,3}×{}	2 3.3.3	4 3.4.4		6	8 {3} 6 {4}	16	8
49	prisekana tetraederska prizma (tuttip)		t0,1{3,3}×{}	2 3.6.6	4 3.4.4	4 4.4.6	10	8 {3} 18 {4} 8 {6}	48	24
[51]	rektificirana tetraederska prizma (isto kot oktaederska prizma) (ope)		t1{3,3}×{}	2 3.3.3.3	4 3.4.4		6	16 {3} 12 {4}	30	12
[50]	kantelirana tetraederska prizma (isto kot kubootaederska prizma) (cope)		t0,2{3,3}×{}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4	16	16 {3} 36 {4}	60	24
[54]	kantiprisekana tetraedrska prizma (isto kot prisekana oktaederska prizma) (tope)		t0,1,2{3,3}×{}	2 4.6.6	8 6.4.4	6 4.4.4	16	48 {4} 16 {6}	96	48
[59]	Prirezana tetraederska prizma (isto kot ikozaederska prizma) (ipe)		s{3,3}×{}	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4		22	40 {3} 30 {4}	72	24

#	Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način)	Slika	Coxeter-Dinkinov diagram in Schläflijevi simboli	Celice po vrsti				število elementov
								Celice	Stranske ploskve	Robovi	Oglišča
[10]	kubična prizma (isto kot teserakt) (isto kot 4-4 duoprizma) (tes)		t0{4,3}×{}	2 4.4.4	6 4.4.4			8	24 {4}	32	16
50	kubooktaedrska prizma (isto kot kantelirana tetraedrska prizma) (cope)		t1{4,3}×{}	2 3.4.3.4	8 3.4.4	6 4.4.4		16	16 {3} 36 {4}	60	24
51	oktaederska prizma (isto kot rektificirana tetraedrska prizma) (isto kot tristrana antiprizmatična prizma) (ope)		t2{4,3}×{}	2 3.3.3.3	8 3.4.4			10	16 {3} 12 {4}	30	12
52	rombikubooktaederska prizma (sircope)		t0,2{4,3}×{}	2 3.4.4.4	8 3.4.4	18 4.4.4		28	16 {3} 84 {4}	120	96
53	prisekana kubična prizma (ticcup)		t0,1{4,3}×{}	2 3.8.8	8 3.4.4	6 4.4.8		16	16 {3} 36 {4} 12 {8}	96	48
54	prisekana oktaederska prizma (isto kot kantiprisekana tetraederska prizma) (tope)		t1,2{4,3}×{}	2 4.6.6	6 4.4.4	8 4.4.6		16	48 {4} 16 {6}	96	48
55	prisekana kubooktaederska prizma (gircope)		t0,1,2{4,3}×{}	2 4.6.8	12 <4.4.4	8 4.4.6	6 4.4.8	28	96 {4} 16 {6}<>12 {8}	192	96
56	prirezana kubična prizma (sniccup)		s{4,3}×{}	2 3.3.3.3.4	32 3.4.4	6 4.4.4		40	64 {3} 72 {4}	144	48

#	Johnsonovo ime (okrajšava na Bowersov način)	Slika	Coxeter-Dinkinov diagram in Schläflijevi simboli	Celice po vrsti				Število elementov
								Celice	Stranske ploskve	Robovi	Oglišča
57	dodekaederska prizma (dope)		t0{5,3}×{}	2 5.5.5	12 4.4.5			14	30 {4} 24 {5}	80	40
58	ikozaederska prizma (iddip)		t1{5,3}×{}	2 3.5.3.5	20 3.4.4	12 4.4.5		34	40 {3} 60 {4} 24 {5}	150	60
59	ikozaederska prizma (isto kot prirezana tetraedrska prizma) (ipe)		t2{5,3}×{}	2 3.3.3.3.3	20 3.4.4			22	40 {3} 30 {4}	72	24
60	prisekana dodekaederska prizma (tiddip)		t0,1{5,3}×{}	2 3.10.10	20 3.4.4	12 4.4.5		34	40 {3} 90 {4} 24 {10}	240	120
61	rombiikozidodekaederska prizma (sriddip)		t0,2{5,3}×{}	2 3.4.5.4	20 3.4.4	30 4.4.4	12 4.4.5	64	40 {3} 180 {4} 24 {5}	300	120
62	prisekana ikozaederska prizma (tipe)		t1,2{5,3}×{}	2 5.6.6	12 4.4.5	20 4.4.6		34	90 {4} 24 {5} 40 {6}	240	120
63	prisekana ikozaedrska prizma (griddip)		t0,1,2{5,3}×{}	2 4.6.4.10	30 4.4.4	20 4.4.6	12 4.4.10	64	240 {4} 40 {6} 24 {5}	480	240
64	prirezana dodekaedrska prizma (sniddip)		s{5,3}×{}	2 3.3.3.3.5	80 3.4.4	12 4.4.5		94	240 {4} 40 {6} 24 {10}	360	120

Druga skupina je neskončna družina uniformnih duoprizem, ki so produkt dveh pravilnih mnogokotnikov.

Njihov Coxeter-Dinkinov diagram ima obliko

Ta družina se prekriva s prvim ko je eden izmed "faktorjev" mnogokotnikov kvadrat. Produkt je enak hiperprizmi katere osnovnica je trirazsežna prizma. Simetrijsko število duoprizme katere faktorja sta p-kotnik in q-kotnik (to da "p,q-duoprizmo") je 4pq kadar je p≠q; v primeru, da sta oba faktorja p-kotnika. Simetrijsko število je 8p². Tudi teserakt lahko obravnavamo kot duoprizmo 4,4.

Elementi p,q-duoprizme (p ≥ 3, q ≥ 3) so:

• Celice: p q-stranskih prizem, q p-stranskih prizem
• Stranske ploskve: pq kvadrati, p q-kotniki, q p-kotniki
• Robovi: 2pq
• Oglišča: pq

Ime	Coxeterjev graf	Celice
3-3 duoprizma (triddip)		6 tristranih prizem
3-4 duoprizma (tisdip)		3 kocke, 4 tristrane prizme
4-4 duoprizma (tes)		8 kock (isto kot teserakt)
3-5 duopriprizma (trapedip)		3 petstranih prizem, 5 tristrane prizme
4-5 duoprizma (squipdip)		4 petstranih prizem, 5 kocke
5-5 duoprizma (pedip)		10 petstranih prizem
3-6 duoprizma (thiddip)		3 šeststrane prizme, 6 tristranih prizem
4-6 duoprizma (shiddip)		4 šeststranih prizem, 6 kock
5-6 duoprizma (phiddip)		5 šeststranih prizem, 6 petstranih prizem
6-6 duoprizma (hiddip)		12 šeststranih prizem

Neskončna množica uniformnih prizmatičnih prizem se prekriva z 4-p duoprizmami: (p≥3) - - p cubes and 4 p-gonal prisms – (vse so enake kot 4-p duoprizme)

Ime	Coxeterjev graf	Celice
tristrana prizmatična prizma (tisdip)		3 kocke in 4 tristrane prizme (isto kot 3-4 duoprizma)
Square prismatic prism (tes)		4 kocke in 4 kocke (isto kot 4-4 duoprizma in isto kot teserakt)
petstrana prizmatična prizma (squipdip)		5 kock in 4 petstranih prizem (isto kot 4-5 duoprizma)
šeststrana prizmatična prizma (shiddip)		6 kock in 4 šeststranih prizem (isto kot 4-6 duoprizma)
sedemstrana prizmatična prizma (shedip)		7 kock in 4 sedemstrane prizme (isto kot 4-7 duoprizma)
osemstrana prizmatična prizma (sodip)		8 kock in 4 osemstranih prizem (isto kot 4-8 duoprizma)

Neskončna množica uniformih antiprizmatičnih prizem se lahko konstruira s pomočjo dveh vzporednih uniformnih antiprizem: (p≥3) - - 2 p-strane antiprizme povezane z 2 p-stranima prizmama in 2p tristranih prizem.

Ime	Coxeterjev graf	Celice	Slika
tristrana antiprizmatična prizma (ope)		2 oktaedra povezana z 8 tristranimi prizmami (isto kot oktaederska prizma)
kvadratna antiprizmatična prizma (squapip)		2 kvadratni antiprizmi povezani z 2 kockama in 8 tristranimi prizmami
petstrana antiprizmatična prizma (pappip)		2 petstrani antiprizmi povezani z 2 petstranima prizmama in 10 tristranimi prizmami
šeststrana antiprizmatična prizma (happip)		2 šeststrani antiprizmi povezani z 2 šeststranima prizmama in 12 tristranimi prizmami
sedemstrana antiprizmatična prizma (heappip)		2 sedemstrani antiprizmi povezani z 2 sedemstranima prizmama in 14 tristranih prizem
osemstrana antiprizmatična prizma (oappip)		2 osemstrani antiprizmi povezani z 2 osemstranima prizmama in 16 tristranimi prizmami

P-strana antiprizmatična prizma ima 4p trikotnike, 4p kvadratov in 4 p-kotne stranske ploskve. Ima 10p robov in 4p oglišč.

Znanih je veliko alternacij uniformnega polihorona, ki se jih lahko obravnava kot uniformne, ker vsebujejo preveč parametrov, ki jim morajo zadoščati.

Za prirezana telesa niso uniforma za razliko od njihovih trirazsežnih analogov. samo prirezana 24-celica je uniformna, čeprav bi bilo boljše, če bi jo imenovali polprirezana 24-celica ali prirezani polteserakt, ker je polni snub družine D₄ s polteseraktom kot alterniranim teseraktom.

• prirezana 5-celica (snip), s{3,3,3}, , 10 ikozaedrov, 20 oktaedrov, in 60 tetraedri
• prirezani teserakt (snit), s{4,3,3}, , s 16 ikozaedrov, 32 oktaedrov, 24 kvadratnih antiprizem, 8 prirezanih kock in 192 tetraedrov
• polna prirezana 24-celica (snico), s{3,4,3}, , from 48 prirezanih kock, 192 oktaedrov in 576 tetraedrov
• prirezana 120-celica (snahi), s{5,3,3}, , 1200 oktaedrov, 600 ikozaedrov, 720 petstranih antiprizem, 120 prirezanih dodekaedrov in 7200 tetraedrov

Poliederske prizme lahko alterniramo v , toda ne dajo uniformnih rešitev.

1. prirezana tetraedrska antiprizma, s{3,3,2} , 2 ikozaedra povezana s 6 tetraedri in 8 oktaedri s 24 tetraedri v izmenjujočih se luknjah.
2. prirezana kubična antiprizma, s{4,3,2} , 2 prirezani kocki povezani z 12 tetraedri, 6 kvadratnimi antiprizmami in 8 oktaedri ter z 48 tetraedri v izmenjujočih se luknjah.
3. prirezana dodekaedrska antiprizma, s{5,3,2} , 2 prirezana dodekaedra sta povezana s 30 tetraedri, 12 petstranih antiprizem in 20 oktaedrov s 120 tetraedri v izmenjajočih se luknjah.

Duoprizme , t_0,1,2,3{p,2,q} lahko alterniramo v , s{p,2,q}, ki se imenujejo duoantiprizme, ki v splošnem ne morajo postati uniformne. Edina konveksna uniformna rešitev je trivialni primer of p=q=2, which is a lower symmetry construction of the tesseract , t_0,1,2,3{2,2,2}, ki je konstrukcija teserakta z alternacijo 16 celice, , s{2,2,2}.

46 Wythoffovih polihoronov vključuje šest konveksni pravilni polihoron. Ostalih 40 se dobi iz pravilnih polihoronov z operacijo, ki ohranja večino njihovih simetrij. Tako jih lahko razvrstimo glede na njihove simetrijske grupe, ki jih imajo.

Geometrijske operacije, ki omogočajo dobiti 40 uniformnih polihoronov iz pravilnih polihoronov, je operacija prisekanja. Polihoron lahko prisekamona robovih, ogliščih ali stranskih ploskvah. To vodi k dodajanju celic, ki odgovarjajo tem elementom. To je prikazano tudi v spodnji preglednici.

Coxeter-Dinkinov diagram kaže štiri zrcala Wythoffovega kalejdoskopa kot vozle. Robovi med vozli so označeni s celimi števili in st tem kažejo kot med zrcali (π/n radianov ali 180/n stopinj). Obkroženi vozli kažejo katera zrcala so za določeno obliko aktivna. Zrcalo je aktivno glede na oglišče, ki ne leži na njem.

Operacija	Schläflijev simbol	Coxeter-Dinkinov diagram	Opis
Starševsko telo	t0{p,q,r}		Prvotna pravilna oblika {p,q,r}
Rektifikacija	t1{p,q,r}		Operacija prisekanja se izvaja tako dolgo, da prvotni robovi degenerirajo v točko.
Dvojna rektifikacija	t2{p,q,r}		Stranska ploskev se popolnoma priseka do točke. Isto kot rektificirani dual.
Trojna rektifikacija (dual)	t3{p,q,r}		Celice se prisekajo do točke. Pravilno dualno telo {r,q,p}
Prisekanost	t0,1{p,q,r}		Vsako oglišče se odreže tako, da sredina prvotnega roba ostane. Kjer je oglišče se pojavi nova celica, ki je starševska slika oglišč. Tudi vsaka prvotna celica se enako prireže.
Dvojno prisekanje	t1,2{p,q,r}		Prisekanje med rektificirano obliko in dualom rektificirane oblike.
Trojno prisekanje	t2,3{p,q,r}		Prisekani dual {r,q,p}.
Kantelacija	t0,2{p,q,r}		Prisekanje uporabljeno za robove in oglišča. Določa razvojno stopnjo med pravilno in dualno rektificirano obliko.
Dvojna kantelacija	t1,3{p,q,r}		Kantelirani dual {r,q,p}.
Runcinacija (ali razširitev)	t0,3{p,q,r}		Prisekanje uporabljeno na celicah, stranskih ploskvah in robovih. Določa razvojno stopnjo med pravilno obliko in dualom.
Kantiprisekanje	t0,1,2{p,q,r}		Skupna uporaba operacij kantelacija in prisekanje.
Dvojno kantiprisekanje	t1,2,3{p,q,r}		Kantiprisekani dual {r,q,p}.
Runciprisekanje	t0,1,3{p,q,r}		Uporaba dveh operacij runcinacije in prisekanja .
Runcikatelacija	t0,1,3{p,q,r}		Runciprisekani dual {r,q,p}.
Omniprisekanost (ali bolj določeno runcikantiprisekanost)	t0,1,2,3{p,q,r}		Uporaba vseh treh operacij.
prirezanost	s{p,q,r}		Alternacija omniprisekane oblike (obroči so zamenjani z luknjami).

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Uniform Polychoron«. MathWorld.
• konveksni uniformni polihoroni
  • Uniformni, konveksni politopi v štirih razsežnostih (nemško)
• Uniformni politopi v štirih razsežnostih (angleško)
• Konveksni uniformni polihoroni osnovani na pentahoronu (5-celica) (angleško)
• Konveksni uniformni polihoroni osnovani na teseraktu (8 celica) in heksadekakronu (16 celica) (angleško)
• Konveksni uniformni polihoroni osnovani na ikozitetrahoronu (24 celica) (angleško)
• Konveksni uniformni polihoroni osnovani na hekatoniikozahoronu (120 celica) in heksakozihoronu (600 celica) (angleško)
• Nenormalni konveksni uniformni polihoron
  • Konveksni uniformni prizmatični polihoroni (angleško)
  • Uniformni polihoroni dobljeni iz glomeričnih tetraedrov B4 (angleško)
  • Java apleti Arhivirano 2011-07-18 na Wayback Machine. (angleško)