Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Različica za tisk ni več podprta in lahko vsebuje napake pri upodabljanju. Prosimo, v brskalniku posodobite zaznamke in namesto tega uporabite privzeto funkcijo brskalnika za tiskanje.
Gibanje točke na Gaussovi ravnini . Točka se giblje od točke z =1, s hitrostjo iz v časovnem razmiku π. Po gibanju na razdalji 1 prispe v izhodišče 0
Eulerjeva enáčba (tudi Eulerjeva identitéta ali Eulerjev obrazec ) [òjlerjeva ~] povezuje pet za matematiko zelo pomembnih števil 0 , 1 , π , i in e
e
i
π
+
1
=
0
.
{\displaystyle e^{i\pi }+1=0\!\,.}
Enačbo je zapisal Leonhard Euler .
Splošna oblika Eulerjeve enačbe je:
e
i
y
=
cos
y
+
i
sin
y
.
{\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y\!\,.}
Ta enačba je del enačbe:
e
z
=
e
x
+
i
y
=
e
x
e
i
y
,
{\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}\!\,,}
kjer je z kompleksno število (x + iy ).
Eulerjeva enačba kaže na matematično lepoto . Tri osnovne dvočlene aritmetične operacije se pojavijo natanko enkrat: seštevanje , množenje in potenciranje .
Izpeljava
Eulerjeva enačba je posebni primer Eulerjeve formule iz kompleksne analize :
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\!\,}
za poljubni realni x . Argumenta za trigonometrični funkciji sinus in kosinus morata biti v radianih . Če je:
x
=
π
,
{\displaystyle x=\pi \!\,,}
potem velja posebej:
e
i
π
=
cos
π
+
i
sin
π
.
{\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \!\,.}
Ker je:
cos
π
=
−
1
,
{\displaystyle \cos \pi =-1\!\,,}
sin
π
=
0
,
{\displaystyle \sin \pi =0\!\,,}
sledi:
e
i
π
=
−
1
.
{\displaystyle e^{i\pi }=-1\!\,.}
Posplošitev
Eulerjeva enačba je poseben primer splošnejše enačbe, da je vsota vseh n -tih korenov enote , pri n > 1, enaka 0:
∑
k
=
0
n
−
1
e
2
π
i
k
/
n
=
0
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi ik/n}=0\!\,.}
Eulerjevo enačbo dobimo z n = 2.