ЭСБЕ/Эллипс

Эллипс. — Предположим, что на плоскости даны две точки ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle F_{1}.}$ Геометрическое место точки ${\displaystyle M,}$ для которой сумма расстояний ${\displaystyle MF}$ и ${\displaystyle MF_{1}}$ — величина постоянная, есть кривая линия, называемая Э. Точки ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle F_{1}}$ суть фокусы. Если в точке ${\displaystyle F}$ или ${\displaystyle F_{1}}$ поместить источник света, то лучи после отражения от дуги Э. соберутся в ${\displaystyle F_{1}}$ или ${\displaystyle F.}$ Отсюда и происходит название фокус (очаг, foyer, Brennpunkt). Точка О, делящая прямолинейный отрезок ${\displaystyle FF_{1}}$ пополам, есть центр кривой. Это значит, что в точке О делится пополам всякая хорда, проходящая через эту точку. Введем обозначения:

${\displaystyle ~MF+MF_{1}=2a}$, ${\displaystyle ~FF_{1}=2c}$, ${\displaystyle b={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}$.

Если начало координат возьмем в точке O, ось x-ов направим по линии ${\displaystyle FF_{1}}$, ось у-ов по перпендикуляру к ${\displaystyle FF_{1}}$, то уравнение Э. будет

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$.

Вид этой кривой изображен на табл. 1, фиг. 1 (XVI, 740). Отложим по оси х-ов расстояние ${\displaystyle OD}$, равное ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{c}}}$, в ту сторону, где находится точка ${\displaystyle F}$, и проведем прямую ${\displaystyle DE}$ перпендикулярно к оси x-ов. Эта прямая называется директриссой. Расстояние ${\displaystyle M}$ до этой прямой обозначим через ${\displaystyle MP}$. Для всякой точки ${\displaystyle M}$ Э. отношение ${\displaystyle {\frac {MF}{MP}}}$ есть величина постоянная, называемая эксцентриситетом и обозначаемая буквой ${\displaystyle ~e}$. В нашем случае ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$. Это показывает, что для Э. ${\displaystyle ~e<1}$. По другую сторону центра лежит фокус ${\displaystyle F_{1}}$ и соответствующая ему директрисса ${\displaystyle D_{1}E_{1}}$. Точки пересечения Э. с осью х-ов (на ней находятся фокусы) обозначим через ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle a_{1}}$, а с осью у-ов через ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle B_{1}}$. В таком случае

${\displaystyle AA_{1}=2a}$, ${\displaystyle BB_{1}=2b}$.

‎${\displaystyle AA_{1}}$ назыв. большой осью Э., а ${\displaystyle BB_{1}}$ — малой осью. Точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle B_{1}}$ назыв. вершинами Э. Мы предполагаем, что ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ находятся на положительных частях осей координат, а ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle B_{1}}$ — на отрицательных. Если начало координат перенесем в ${\displaystyle A_{1}}$ и сохраним прежнее направление осей координат, то уравнения Э. будет

${\displaystyle ~y^{2}=2px+qx^{2}}$,

‎где ${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$, ${\displaystyle q=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$. Число ${\displaystyle 2p}$ называется параметром. Уравнение

${\displaystyle r={\frac {p}{1+e\cos \phi }}}$

‎выражает Э. относительно полярной системы координат, причем полюс находится в фокусе, а полярная ось проходит через вершину Э. При пересечении конуса плоскостью, удовлетворяющей некоторым условиям, получается Э. См. Конические сечения (XV, 954).