Гравитационный парадокс

Гравитацио́нный парадо́кс, или парадокс Неймана — Зелигера, — историческая космологическая проблема, вытекающая из классической теории тяготения^[1] и формулирующаяся следующим образом:

Парадокс назван по именам впервые опубликовавших его немецких учёных К. Неймана и Г. Зелигера. Гравитационный парадокс оказался самым серьёзным затруднением теории тяготения Ньютона, и обсуждение этой темы сыграло значительную роль в осознании научным сообществом того факта, что классическая теория тяготения непригодна для решения космологических проблем^[2]. Многочисленные попытки улучшить теорию тяготения увенчались успехом в 1915 году, когда А. Эйнштейн завершил разработку общей теории относительности, в которой данный парадокс не имеет места^[3].

Если плотность вещества ρ произвольно распределена в пространстве, то создаваемое им гравитационное поле в классической теории определяется гравитационным потенциалом φ. Для нахождения этого потенциала надо решить уравнение Пуассона^[1]:

${\displaystyle \Delta \varphi =-4\pi G\rho ,}$

Здесь ${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная. Общее решение этого уравнения записывается в виде^[1]:

${\displaystyle \varphi =-G\int {\frac {\rho dV}{r}}+C,}$

(1)

где r — расстояние между элементом объёма dV и точкой, в которой определяется потенциал φ, С — произвольная постоянная.

В 1894—1896 годах немецкие учёные К. Нейман и Г. Зелигер, независимо друг от друга, проанализировали поведение интеграла в формуле (1) для всей бесконечной Вселенной. Выяснилось, что если средняя плотность вещества во Вселенной ненулевая, то интеграл расходится. Более того, чтобы потенциал принимал конечное значение, необходимо^[1], чтобы средняя плотность вещества во Вселенной с ростом ${\displaystyle r}$ убывала быстрее, чем ${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}.}$ Если указанное условие нарушено, то, как показал Зелигер, в зависимости от способа перехода к пределу в интеграле действующая на произвольное тело сила тяготения может принимать любое значение, включая бесконечное^[4].

Зелигер заключил, что с ростом масштаба во Вселенной средняя плотность вещества должна быстро убывать и в пределе стремиться к нулю. Этот вывод противоречил традиционным представлениям о бесконечности и однородности Вселенной и порождал сомнение в том, пригодна ли ньютоновская теория для исследования космологических проблем^[5].

На рубеже XIX—XX веков были предложены несколько вариантов решения проблемы.

Проще всего предположить, что во Вселенной существует лишь конечное количество вещества. Эту гипотезу рассматривал ещё Исаак Ньютон в письме Ричарду Бентли^[6]. Анализ показал, что подобный «звёздный остров» со временем, под действием взаимовлияния звёзд, либо соединится в одно тело, либо рассеется в бесконечной пустоте^[7]. А. Эйнштейн, рассматривая принцип однородного распределения вещества в бесконечной Вселенной, писал^[8]:

Это представление несовместимо с теорией Ньютона. Больше того, последняя требует, чтобы мир имел нечто вроде центра, где плотность числа звёзд была бы максимальной, и чтобы эта плотность убывала с расстоянием от центра так, что на бесконечности мир был бы совсем пустым. Звёздный мир должен представлять собой конечный остров в бесконечном океане пространства.

Это представление не очень удовлетворительно само по себе. Оно неудовлетворительно ещё и потому, что приводит к следствию, что свет, излучаемый звёздами, а также отдельные звёзды звёздной системы должны непрерывно удаляться в бесконечность, никогда не возвращаясь и не вступая во взаимодействие с другими объектами природы. Такой мир, материя которого сконцентрирована в конечном пространстве, должен был бы медленно, но систематически опустошаться.

Иерархическая, или «фрактальная» космология, восходящая ещё к учёному XVIII века Иоганну Ламберту, явилась более изощрённой попыткой решить проблему. Ламберт в 1761 году опубликовал «Космологические письма о строении Вселенной», где предположил, что Вселенная устроена иерархично: каждая звезда с планетами образует систему первого уровня, далее эти звёзды объединяются в систему второго уровня и т. д. В 1908 году шведский астроном Карл Шарлье показал, что в иерархической модели Ламберта для устранения гравитационного парадокса достаточно предположить для каждых двух соседних уровней иерархии следующее соотношение между размерами ${\displaystyle R_{k}}$ систем и средним числом ${\displaystyle N_{k}}$ систем нижнего уровня в системе следующего уровня^[9]:

${\displaystyle {\frac {R_{k}}{R_{k-1}}}>{\sqrt {N_{k}}},}$

то есть размеры систем должны расти достаточно быстро. В XXI веке идеи Шарлье почти не имеют последователей, так как модель Ламберта (и фрактальная космология вообще) противоречит ряду современных наблюдательных данных, в особенности различным косвенным свидетельствам малости колебаний гравитационного потенциала в видимой вселенной^[10].

Третья группа гипотез содержала различные модификации закона всемирного тяготения. Немецкий физик Август Фёппль предположил (1897), что во Вселенной существует вещество с отрицательной массой, компенсирующее избыток тяготения^[11]. Гипотезу о существовании вещества с отрицательной массой ещё в 1885 году выдвинул английский математик и статистик Карл Пирсон, он считал, что «минус-вещество», отталкиваясь от обычного, переместилось в отдалённые районы Вселенной, но некоторые известные звёзды с быстрым собственным движением, возможно, состоят из такого вещества^[12]. Уильям Томсон (лорд Кельвин) (1884 год) аналогичную гасящую роль отводил эфиру, который, по его мнению, притягивает только сам себя, создавая дополнительное давление^[13].

Ряд учёных пытались исходить из необъяснимого в рамках ньютоновской теории аномального смещения перигелия Меркурия. Простейшим вариантом была «гипотеза Холла», согласно которой квадрат расстояния в формуле закона всемирного тяготения следует заменить на немного бо́льшую степень. Такая корректировка достигала сразу двух целей — гравитационный парадокс исчезал (интегралы становились конечными), а смещение перигелия Меркурия можно было объяснить, подобрав подходящий показатель степени для расстояния. Однако, как вскоре выяснилось, движение Луны не согласуется с новым законом^[14].

Зелигер и Нейман предложили ещё одну модификацию закона всемирного тяготения:

${\displaystyle F=G\cdot {m_{1}\cdot m_{2} \over R^{2}}e^{-\lambda R}}$

В ней дополнительный множитель ${\displaystyle e^{-\lambda R}}$ обеспечивает более быстрое, чем у Ньютона, убывание тяготения с расстоянием. Подбор коэффициента затухания ${\displaystyle \lambda }$ позволял также объяснить смещение перигелия Меркурия, однако движение Венеры, Земли и Марса переставало соответствовать наблюдениям^[15].

Были и другие попытки улучшить теорию гравитации, но до работ А. Эйнштейна все они были безуспешны — новые теории либо не объясняли в полной мере смещение перигелия Меркурия, либо давали ошибочные результаты для других планет^[14].

С 1870-х годов начали появляться первые гипотезы о том, что для решения парадокса следует предположить у Вселенной неевклидову геометрию (Шеринг, Киллинг, позднее Шварцшильд и Пуанкаре)^[16]. Немецкий астроном Пауль Харцер^[нем.] склонялся к мнению, что кривизна пространства положительна, поскольку тогда объём Вселенной конечен, и наряду с гравитационным отпадает т��кже фотометрический парадокс^[17]. Однако объяснить смещение перигелия Меркурия с помощью этой гипотезы не удалось — расчёты показали, что получается неправдоподобно большая кривизна пространства^[16].

Ньютоновская теория тяготения, как выяснилось в начале XX века, неприменима для расчёта сильных полей тяготения. В современной физике она заменена на общую теорию относительности А. Эйнштейна (ОТО). Новая теория тяготения привела к созданию науки космологии, включающей ряд разнообразных моделей устройства мироздания^[18]. В этих моделях гравитационный парадокс не возникает, поскольку сила тяготения в ОТО есть локальное следствие неевклидовой метрики пространства-времени, и поэтому сила всегда однозначно определена и конечна^[19][3].

Первую статью по релятивистской космологии опубликовал сам Эйнштейн в 1917 году, она называлась «Вопросы космологии и общая теория относительности» (нем. Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie). В этой статье Эйнштейн сослался на гравитационный парадокс как доказательство неприменимости ньютоновской теории в космологии, и заключил: «Эти трудности, по-видимому, нельзя преодолеть, оставаясь в рамках теории Ньютона»^[20].

• Космологические парадоксы
• Фотометрический парадокс

• Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения. Истоки и формирование. 1900—1915 гг. — М.: Наука, 1981. — С. 34—37, 55—56. — 352 с.
• Джеммер М. Понятие массы в классической и современной физике. — М.: Прогресс, 1967. — С. 134—135.
  • Переиздание: Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00363-6.
• Зельманов А. Л. Нерелятивистский гравитационный парадокс и общая теория относительности // Научные доклады высшей школы. Физико-математические науки. — 1958. — № 2. — С. 124.
• Киппер Α. Я. О гравитационном парадоксе // Сб.: Вопросы космогонии. — 1962. — Т. 8. — С. 58—96.
• Климишин И. А. Релятивистская астрономия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1989. — С. 41—46. — ISBN 5-02-014074-0.
• Новиков И. Д. Гравитационный парадокс // Физическая энциклопедия (в 5 томах) / Под редакцией акад. А. М. Прохорова. — М.: Советская Энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 531—532. — ISBN 5-85270-034-7.
• Новиков И. Д. § 12. Гравитационный парадокс // Эволюция Вселенной. — 2-е изд. — М.: Наука, 1983.
• Эйнштейн А. О специальной и общей теории относительности (общедоступное изложение) // Собрание научных трудов. — М.: Наука, 1965. — Т. I. — С. 530—600. — 700 с.
• Norton, John D. The Cosmological Woes of Newtonian Gravitation Theory // H. Goenner, J. Renn, J. Ritter, T. Sauer, eds. The Expanding Worlds of General Relativity: Einstein Studies. — Boston: Birkhauser, 1999. — Vol. 7. — P. 271—322.

• Павленко А. Н. Принцип наблюдаемости  (неопр.). Институт философии РАН. Дата обращения: 8 мая 2014.

Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии.