Квадратный корень

Квадра́тный ко́рень из числа ${\displaystyle a}$ (корень 2-й степени, ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$) — число ${\displaystyle x}$, дающее ${\displaystyle a}$ при возведении в квадрат^[1]. Равносильное определение: квадратный корень из числа ${\displaystyle a}$ — решение уравнения ${\displaystyle x^{2}=a.}$ Операция вычисления значения ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ называется «извлечением квадратного корня» из числа ${\displaystyle a}$.

Наиболее часто под ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle a}$ подразумеваются вещественные числа, но существуют и обобщения для комплексных чисел и других математических объектов, например матриц и операторов.

Пример для вещественных чисел: ${\displaystyle {\sqrt {9}}=\pm 3,}$ потому что ${\displaystyle {(\pm 3)}^{2}=9.}$ У квадратного корня существуют два противоположных, то есть отличающихся знаком, значения (положительное и отрицательное числа), и это затрудняет работу с корнями. Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого при ${\displaystyle a\geqslant 0}$ всегда неотрицательно (а на положительных ${\displaystyle a}$ — положительно); в примере это число 3.

При рациональных ${\displaystyle a}$ уравнение ${\displaystyle x^{2}=a}$ не всегда разрешимо в рациональных числах. Более того, такое уравнение, даже при положительном ${\displaystyle a}$, разрешимо в рациональных числах тогда и только тогда, когда и числитель и знаменатель числа ${\displaystyle a}$, представленного в виде несократимой дроби, являются квадратными числами.

Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения: ${\displaystyle |{\sqrt {r}}-p/q|>{\frac {1}{Cq^{2}}}}$, где ${\displaystyle C}$ зависит от ${\displaystyle r}$^[2][3]. Верно и то, что любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.

Теорема. Для любого положительного числа ${\displaystyle a}$ существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.^[4]

Неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа ${\displaystyle a}$ называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$^[5].

Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа ${\displaystyle a}$ часто обозначают как ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$, однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:

${\displaystyle -1=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1}$ (что, конечно, неверно!)

Ошибка возникла из-за того, что квадратный корень является многозначной функцией. В частности, существуют два квадратных корня из 1: -1 и +1.

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

${\displaystyle a=|a|e^{i\phi }}$,

то (см. Формула Муавра)

${\displaystyle {\sqrt {a}}={\sqrt {|a|}}e^{i(\phi +2\pi k)/2}}$,

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k = 0 и k = 1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.

Существует и чисто алгебраическое представление для корня из ${\displaystyle a+bi}$; оба значения корня имеют вид ${\displaystyle \pm (c+di)}$ где:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$

${\displaystyle d=\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$

Здесь sgn — функция «знак», а радикалы обозначают обычный арифметический корень из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением ${\displaystyle c+di}$ в квадрат^[6].

Пример: для квадратного корня из ${\displaystyle 3+4i}$ формулы дают два значения: ${\displaystyle 2+i;\;-2-i.}$

Квадратный корень является элементарной функцией и частным случаем степенной функции ${\displaystyle x^{\alpha }}$ с ${\displaystyle \alpha =1/2}$. Арифметический квадратный корень является гладким при ${\displaystyle x>0}$, в нуле же он непрерывен справа, но не дифференцируем.^[7]

Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, листы которой соединяются в нуле.

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. ^[8]

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots ,}$ при ${\displaystyle |x|\leqslant 1}$.

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем ${\displaystyle {\sqrt {S}}\approx 2\cdot 10^{n}.}$

Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем ${\displaystyle {\sqrt {S}}\approx 6\cdot 10^{n}.}$

Два и шесть используются потому, что ${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {1\cdot 10}}}={\sqrt[{4}]{10}}\approx 2}$ и ${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {10\cdot 100}}}={\sqrt[{4}]{1000}}\approx 6\,.}$

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку ${\displaystyle 2^{\left\lfloor D/2\right\rfloor }}$ (здесь D это число двоичных цифр).

${\displaystyle |BH|={\sqrt {|AH|\cdot |HC|}}}$

В частности, если ${\displaystyle |AH|=1}$, а ${\displaystyle |HC|=x}$, то ${\displaystyle |BH|={\sqrt {x}}}$ ^[9]

Последовательные приближения рассчитываются по формуле: ${\displaystyle {\begin{cases}x_{0}=a\\x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\end{cases}}}$ тогда ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\sqrt {a}}}$

Этот метод сходится очень быстро. Например, если для ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ взять начальное приближение ${\displaystyle x_{0}=2,}$ то получим:

${\displaystyle x_{1}={\frac {9}{4}}=2{,}25;\ x_{2}={\frac {161}{72}}=2{,}23611;\;x_{3}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779.}$

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа N с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так 31234,567 можно представить, как 03 12 34, 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.

1. Записать число N (в примере — 69696) на листке.
2. Найти ${\displaystyle a}$, квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа N (старшая группа — самая левая не равная нулю), а квадрат ${\displaystyle a+1}$ больше группы старших разрядов числа. Записать найденное ${\displaystyle a}$ справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера ${\displaystyle a^{2}=2^{2}=2\cdot 2=4<6}$, а ${\displaystyle (a+1)^{2}=3^{2}=3\cdot 3=9>6}$).
3. Записать квадрат ${\displaystyle a}$ под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов N выписанного квадрата числа ${\displaystyle a}$ и записать результат вычитания под ними.
4. Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число ${\displaystyle b}$. (На первом шаге примера это число просто есть ${\displaystyle b=2\cdot 20=40}$, на втором ${\displaystyle b=26\cdot 20=520}$).
5. Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа N справа от результата вычитания. Назовем ${\displaystyle c}$ число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число ${\displaystyle c=296}$, на втором ${\displaystyle c=2096}$). Если сносится первая группа после десятичной точки числа N, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
6. Теперь нужно найти такое ${\displaystyle a}$, что ${\displaystyle (b+a)\cdot a}$ меньше или равно ${\displaystyle c}$, но ${\displaystyle (b+(a+1))\cdot (a+1)}$ больше, чем ${\displaystyle c}$. Записать найденное ${\displaystyle a}$ справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что ${\displaystyle a}$ окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как ${\displaystyle (40+6)\cdot 6=46\cdot 6=276<296}$, но ${\displaystyle (40+7)\cdot 7=47\cdot 7=329>296}$) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
7. Записать число ${\displaystyle (b+a)\cdot a}$ под ${\displaystyle c}$. Провести вычитание столбиком числа ${\displaystyle (b+a)\cdot a}$ из ${\displaystyle c}$ и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Наглядное описание алгоритма:

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида ${\displaystyle x\circ x=a}$ и для других объектов: матриц^[10], функций^[11], операторов^[12] и т. п. В качестве операции ${\displaystyle \circ }$ при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.

В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть ${\displaystyle (G,\cdot )}$ — группоид и ${\displaystyle a\in G}$. Элемент ${\displaystyle x\in G}$ называется квадратным корнем из ${\displaystyle \ a}$ если ${\displaystyle \ x\cdot x=a}$.

• Быстрый инверсный квадратный корень
• Вложенные радикалы
• День квадратного корня
• Итерационная формула Герона
• Квадратное уравнение
• Корень (математика)
• Кубический корень
• Теорема Абеля — Руффини

• Алгоритмы вычисления квадратного корня
• A geometric view of the square root algorithm
• Соловьев Ю., Старый алгоритм